第二十二章相似图形单元测试卷2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学“相似图形”单元测试卷，全面覆盖相似判定、性质、位似及应用，通过生活情境（如测量河宽、路灯高度）和动态问题设计，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行线分线段成比例、相似判定、位似性质|结合图形辨析（如第6题三角形相似判断），强化空间观念| |填空题|6/18|位似坐标变换、相似比计算|第14题以生态保护为情境，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|8/72|相似证明、动态问题（如第21题矩形动点）、实际应用（如第23题路灯测量）|第20题拓展空间相似体概念，培养创新意识；第24题位似作图，落实数学语言表达|

第二十二章相似图形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 2．如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得； 3．下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论． 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．如图，在中，为边上一点．下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴ ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， 又∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件无法证明， 故选项符合题意． 6．观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 7．已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：图中，∵， ， ∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上可知两对三角形都相似． 8．如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 9．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 10．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 12．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 14．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 15．如图，已知，若，，则_____. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 16．，且，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ， 解得： 三、解答题（每题9分，共72分） 17．在中，，交于点，交于点．已知，，，．求 (1)的长； (2)与的相似比． 【答案】(1)； (2)与的相似比为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例． （1）利用平行线分线段成比例列式计算即可求解； （2）由，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 18．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 19．如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 20．阅读理解： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设，分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又设，分别表示这两个正方体的体积，则 ． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） ．两个球体 ．两个圆锥体 ．两个圆柱体 ．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）的比等于 ；②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ． (3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为，体重为．到了九年级时，身高为，则他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）？ 【答案】(1) (2)①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方 (3)他九年级时的体重是 【分析】本题考查“平面图形的相似”知识的拓展应用，理解“相似体”的定义是解题关键． （1）根据“相似体”的概念，对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析判断； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）先算相似体对应线段的相似比，再根据“与体积成正比的量的比相似比的立方”列方程，求解并检验得结果． 【详解】（1）解：已知形状完全相同、大小不一定相等的几何体是相似体， 选项，球体的形状由半径唯一确定，任意两个球体形状完全相同，一定是相似体； 选项，圆锥体需要底面半径和高的比例一致才是相似体，否则形状不同； 选项，圆柱体需要底面半径和高的比例一致才是相似体，否则形状不同； 选项，长方体需要长、宽、高的比例都一致才是相似体，否则形状不同． 答：． （2）解：根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方． 答：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方． （3）解：设他九年级时的体重为， 已知小朋友幼儿园身高，九年级身高， 由题可知，相似比幼儿园身高九年级身高， 可得相似比， 由相似体的体重比相似比的立方， 可得 ，解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：他九年级时的体重是． 21．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 22．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒（），连接． (1)若，求的值； (2)若△NBM∽△ABC，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC= ，由题意知：BM=2t，CN= ，BN=-，由BM=BN得出方程2t=-，解方程即可； （2）当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值． 【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC=10，BC=， 由题意知：BM=2t，CN=， ∴BN=-， ∵BM=BN， ∴， 解得：． （2）当△NBM∽△ABC时， 即 解得：， ∴当时，△NBM∽△ABC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算的综合应用，解题关键是证明三角形相似． 23．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 24．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十二章相似图形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.如图，a‖bc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a, b,c于点D,E,F.若AB=6cm,BC=3cm,DF=7.5cm,则线段DE的长为 () m A D -b B E A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm 2如图，直线1C和DF被山 ll AB=3,AC=7,EF=2 所截，直线 2,则DE的 长为() B E 8 A.1 B.3 C.2 D.2 3.下列说法正确的是（) A.任意两个菱形都相似 B.对角线相等的四边形是矩形 ABCD C.在菱形 中，若对角线4C=2BD=8 ABCD 则菱形 的面积是8v2 D.甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 4.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形OABC与矩形OABC是以点 0为位似中心的位似图形，点B的坐标为⑧利).若=2，则CC的长是《） 试卷第1页，共3页 B B C C A.3 B.6 C.2 D.4 5.如图，在中，E为边BC上一点.下列给出的条件不能判定△ABE∽△DEA的是 D BE AE BEAB A,∠B=∠AEDB.∠BAE=∠DEC C.AEAD D.AE DE 6.观察下列每组三角形，不一定相似的是() 58 B 2.5 40° 35 40 7.己知如图①②中各有两个三角形，其边长或角的度数己在图中标注，图②中AB,CD 交于点0，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是() Y70 35 图① 图② A.都相似 B.都不相似 C.只有①相似 D.只有②相似 BE 2 8.如图，在。ABCD中，E是BC上一点，连接DE,交对角线AC于点P,若CE=3, 试卷第2页，共3页 AF=4,则CF的长为() 2 A.5 B.3 c 9.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的 阴影三角形与原三角形不一定相似的是() A 78 B 78° 10.如图，三角板（△ABC)在手电筒（点O)发出的光源的照射下形成了投影，三角板 与其投影的三角形（△4B'C')是位似图形，若OC:CC'=4:5,则三角板的面积与其投影 的三角形的面积比是()， B A.4:5 B.4:9 C.16:25 D.16:81 试卷第3页，共3页 二、填空题（每题3分，共18分） 1,如图，在平面直角坐标系中，已知412，)，B(4,0),以原点0为位似中心，将01B 缩小为原来的2，得到△OAB,则点A的对应点A的坐标为 3 B -2-10 1234 -2 BP 12.如图，在△4BC中，AD=2CD,CF=2BF,则DP的值为 l3.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点 F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF= A D B E 14.要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”，如图，现在小明门前的小河清澈透明， 为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们 所在的这一侧岸上选点A和点B,使得B,A,P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后 确定点C,点D,使BC⊥BP,AD⊥BP,由观测可以确定CP与AD的交点D.他们测 得AB=30m,BC=90m,AD=60m,从而确定河宽，他们测量的河宽为AP= m 试卷第4页，共3页 D l5.如图，己知AB∥EF∥CD,若AB=6cm,CD=9cm,则EF=一 D E 16.△ABC∽△DEF,且AB=10cm,BC=11cm,DE=5cm,则EF的长为 三、解答题（每题9分，共72分） 17.在△ABC中，DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.己知，AD=2,DB=4, AE=3.求 B (L)AC的长： (2)△ADE与△ABC的相似比. 18.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的 顶点上.请判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. B 19.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，BE的延长线交AC于F.已 知AD=4,AB=3,∠BAD=90°. 试卷第5页，共3页 (1)求BC的长： (2)若AE=1,求AF:FC的值. 20.阅读理解： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就 把它们叫做相似体， 如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之 Q 比都等于相似比 里-6a2 a 设S,S2分别表示这两个正方体的表面积，则S26b b 又设V,V2分别表示 这两个正方体的体积，则(. b 甲 (1)下列几何体中，一定属于相似体的是() A,两个球体B,两个圆锥体 C.两个圆柱体D.两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）的比等于_；②相 似体表面积的比等于_；③相似体体积的比等于_ (3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼 儿园时身高为l.1m,体重为18kg,到了九年级时，身高为1.65m,则他的体重是多少（不 考虑不同时期人体平均密度的变化)？ 21.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以lcm/s的速 试卷第6页，共3页 度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达 (5) 终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为 D B (1)当△PBQ的面积为4cm'时，求t的值； (2)连接D0,当P⊥D0时，求t的值. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,∠BAC=60°，动点M从点B出发， 在BA边上以每秒2Cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 V5cm的速度向点P匀速运动，设运动时间为'秒(0<1<5)，连接MW (1)若BM=BN,求t的值： (2)若△NBM-△ABC,求t的值. 23,为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯.如图AB是一种新型太 阳能路灯，已知太阳能路灯AB与墙OP相距18米，身高1.6米的小明在离路灯3米的D处 时，测得自身影长DG为1米. P P M B NO 图1 图2 试卷第7页，共3页 (I)求路灯AB的高度： (2)小明沿着DO走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是事多少米： (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的N处停下，求此时小明在墙上的影子高度. 24.如图，点A的坐标为 4,,点B的坐标为 ,,点C的坐标为 0,-1) (1)求出△ABC的面积： (2)请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△4BC,使得△4BC的面积为12.（作出 一个符合题意的图形即可) 试卷第8页，共3页