第21章一元二次方程素养练习卷 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，覆盖定义、解法、根的判别式、实际应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用结合，培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|第6题融入古代数学“圆中方形”问题，体现文化传承| |填空题|5/15|一般形式、韦达定理|第14题以转发倡议书为情境，培养数据意识| |解答题|8/75|解法应用、新定义、实际问题|第21题养鸡场面积、第22题销售利润问题，突出模型意识；第23题阅读理解题，强化转化思想与逻辑推理|

第21章一元二次方程 素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题3，共30.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列方程是一元二次方程的是(　　) A．2x2＋3x－1＝0 B．x＋y＝7 C．2x2－5y＝0 D．x2＋＝1 2．用公式法解方程2t2＝6t＋3时，a，b，c的值分别为(　　) A．2，6，3 B．2，－6，－3 C．－2，6，－3 D．2，6，－3 3．一元二次方程x2＋2x＝0的解为(　　) A．x＝－2 　　　　 B．x＝2 　　　 C．x1＝0，x2＝－2 　 D．x1＝0，x2＝2 4．对于任意实数x，多项式－x2＋2x－3的值是一个(　　) A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定正负的数 5．关于x的方程4x2－4x＋1＝0的根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 6．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题，其大意为：如图，有一个正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，设正方形的边长是x步，则列出的方程是(　　) A．π2－x2＝81 B．π(x＋6)2－x2＝81 C．π(x＋3)2－x2＝81 D．π2－x2＝81 7．一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，则x12＋3x2＋x1x2－2的值是(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 8．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4.如果把十位上的数字与个位上的数字调换位置后，所得的两位数乘以原来的两位数，积为403，则原来的两位数是(　　) A．13 B．22 C．13或31 D．22或13 9．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．若一个一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 10．如图①，点F，E同时从矩形ABCD的顶点B出发，以相同速度分别沿BA，BC运动到点A，C.△DEF的面积y与点F运动的路程x之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的周长为(　　) A．18 B．20 C．24 D．26 二、填空题(本大题共5小题，每小题3，共15) 11．将方程x(x－1)＝4(x＋1)化为一般形式为______________． 12．已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则＋的值为________． 13．如图，数轴上点A表示的数为3x＋1，点B表示的数为x2＋2x.若AB＝5，且点A在数轴的正半轴上，则x的值为________． 14．小明写了一篇环保倡议书，他将倡议书发表在某平台上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，已知经过两轮转发后，共有111人参与了这次倡议书的发表及转发，则n的值为________． 15．反比例函数y＝的图象上有一点P(x，y)，且x＋y＝5，则点P的坐标为________． 三、解答题(本大题共8小题，共75.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10)用合适的方法解下列方程： (1)2x2－7x－4＝0; (2)3x(x－2)＝2x－4. 17．(8)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 2x2＋4x－8＝0. 解：二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0.第一步 移项，得x2＋2x＝4.第二步 配方，得x2＋2x＋4＝4＋4，即(x＋2)2＝8.第三步 两边开平方，得x＋2＝±2.第四步 所以x1＝－2＋2，x2＝－2－2.第五步 (1)小明的解题过程中用到的解法是____________，从第________步开始出现错误； (2)请给出正确的解题过程． 18．(8)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝ab－a；当a<b时，a⊕b＝ab＋b. (1)填空：(－2)⊕＝________； (2)若2x⊕(x＋1)＝6，求x的值． 19．(8)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m－1＝0的根为x1，x2. (1)若x1＝4，求x2及m的值； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是此方程的两个实数根，求m的值． 20．(9)已知关于x的一元二次方程x2－x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得x1x2－x12－x22＝0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 21．(10)在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个矩形养鸡场(如图)，养鸡场的一边靠墙，墙长为22 m，围成养鸡场的板材共用去40 m，在如图所示的位置留了2个宽为2 m的门．设AB为x m. (1)用含x的式子表示AD为________m； (2)若养鸡场的面积是160 m2，求养鸡场的宽AB. 22．(10)综合与实践： 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 花卉店 售价(元/盆) 日销售量(盆) A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 (1)将以上调查数据按照一定顺序重新整理得到下表，请你补充完整． 售价(元/盆) 18 20 22 26 30 日销售量(盆) 50 模型建立 (2)分析数据的变化规律，则日销售量y盆与售价x元/盆间的数量关系为___________________________________________________． 拓展应用 (3)在(2)的条件下，小莹妈妈在销售该种花卉时，要想每天获得400元的利润，应如何定价？ 23．(12)阅读材料： 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程及方程组的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过提公因式把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的根． (1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的根是x1＝0，x2＝________，x3＝________； (2)拓展：用“转化”思想求方程 ＝x的根； (3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华先把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把绳子PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD，DC走到点C处，把绳子剩下的一段拉直，绳子的另一端恰好落在点C处，求AP的长． 答案 一、1.A　2.B　3.C　4.B　5.A　6.D　7.D　8.C 9．B　10.C　 二、11.x2－5x－4＝0　12.　13.3　14.10 15．(2，3)或(3，2) 三、16.解：(1)因为a＝2，b＝－7，c＝－4， 所以Δ＝(－7)2－4×2×(－4)＝81＞0， 所以x＝＝， 即x1＝4，x2＝－. (2)原方程可化为3x(x－2)－2(x－2)＝0， 方程左边分解因式，得(x－2)(3x－2)＝0， 所以x－2＝0或3x－2＝0，即x1＝2，x2＝. 17．解：(1)配方法；三 (2)二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0.移项，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5.两边开平方，得x＋1＝±，即x1＝－1＋，x2＝－1－. 18．解：(1) (2)当2x<x＋1，即x<1时，2x⊕(x＋1)＝2x(x＋1)＋(x＋1)＝6，整理，得(2x＋5)(x－1)＝0， 解得x1＝－，x2＝1(舍去)； 当2x≥x＋1，即x≥1时，2x⊕(x＋1)＝2x(x＋1)－2x＝6，整理，得x2＝3， 解得x1＝，x2＝－(舍去)． 所以x的值为或－. 19．解：(1)因为一元二次方程x2－6x＋m－1＝0的根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝6，x1x2＝＝m－1. 因为x1＝4，所以x2＝2. 所以m－1＝8，解得m＝9. (2)若5为等腰三角形的腰长，则此方程有一根x1＝5， 因为x1＋x2＝6，所以x2＝6－5＝1. 所以x1x2＝5×1＝m－1，解得m＝6，此时三角形的三边长为5，5，1，符合题意； 若5为等腰三角形的底边长，则此方程有两个相等的实数根，所以Δ＝b2－4ac＝36－4(m－1)＝0，解得m＝10.因为x1＝x2，x1＋x2＝6，所以x1＝x2＝3.此时三角形的三边长为5，3，3，符合题意． 综上所述，m＝6或m＝10. 20．解：(1)因为原方程有两个实数根，所以Δ＝2－4≥0，所以k≤. (2)不存在实数k，使得x1x2－x12－x22＝0成立． 理由如下：假设存在实数k，使得x1x2－x12－x22＝0成立． 因为x1，x2是原方程的两根， 所以x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋2k， 由x1x2－x12－x22＝0，得3x1x2－2＝0， 所以3－2＝0， 整理，得2＝0， 所以k＝1， 由(1)知k≤，所以k＝1不成立， 所以不存在实数k，使得x1x2－x12－x22＝0成立． 21．解：(1)(44－3x) (2)由题意得x(44－3x)＝160， 整理得3x2－44x＋160＝0， 解得x＝或x＝8. 当x＝时，44－3x＝24>22，不符合题意； 当x＝8时，44－3x＝20<22，符合题意． 综上所述，x＝8，即AB＝8 m. 答：养鸡场的宽AB为8 m. 22．解：(1)填表如下： 售价(元/盆) 18 20 22 26 30 日销售量(盆) 54 50 46 38 30 (2)y＝－2x＋90 (3)由题意得(x－15)(－2x＋90)＝400， 解得x1＝25，x2＝35， 所以要想每天获得400元的利润，该花卉应定价为25元/盆或35元/盆． 23．解：(1)－2；1 (2)方程两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0， 方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1. 当x＝－1时，＝＝1≠－1，故舍去；当x＝3时，＝3，所以方程＝x的根是x＝3. (3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m. 设AP＝x m，则PD＝(8－x)m， 因为BP＋CP＝10 m，BP＝， CP＝， 所以＋＝10， 所以＝10－，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20＋9＋x2， 整理，得5＝4x＋9， 两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0， 解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的根． 所以AP的长为4 m. 学科网（北京）股份有限公司 $