第20章 二次根式 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第20章综合评价 害 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 题号 2 5 6 10 答案 1.下列式子属于二次根式的是 A.√-7 B.√3 C. 2 D.2 2.下列式子属于最简二次根式的是 B.√/45 C.√21 D.√ .2 物 3.下列二次根式的取值范围是x≥3的是 ) A.√3-x B.√/6+2x C.√/2x-6 4.设a=(一√)2，b=√(-3)z,则a,b的大小关系是 A.a=b B.a>b C.a<b D.a+b=0 5.下列计算正确的是 A.2√3+22=2√5 B.√18÷√2=3 C.5√5×2√5=105 D. 4写- 1 6.如图，甲、乙、丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别 写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数 的有 ( 批 (2-5)2 2(2-⑧) 24-√(-3)7 甲 乙 丙 A.0张 B.1张 C.2张 D.3张 7.设√2=a,√3=b,则√2×√0.03可以表示为 A品 B.10ab C. ab D. ab 1 8.将二次根式m 中根号外的m移到根号里后得到的式 m 子为 A.-√-m B.√J-m C.√m D.m 9.已知实数a,b在数轴上的对应点如图，则化简（√a)2十 √(b-a)z-√(a+b)产的结果为 ( b A.3a B.26-a C.a+2b D.a-2b 10.南宋杰出数学家秦九韶的“三斜求积术”与西方数学家海伦公 式如出一辙： S=√p(p-a)(p-0(p-c,其中p=a+b十c.(海伦) 2 (其巾≥6（条九 S= (S为三角形的面积，a,b,c分别为三角形的三边长) 在世界数学史上，人们为了纪念这两位伟大的数学家，特将这 两个公式命名为“秦九韶一海伦”公式.已知平行四边形的两 邻边和一条对角线长分别为7,8,9，则根据公式可以求出这 个平行四边形的面积为 A.24√5 B.26√5 C.28√5 D.30√5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.方程√6x=2的解为x= 12.若√20与最简二次根式√1一m能合并成一项，则m的值为 13.电流通过导线时会产生热量，电流I(A)、导线电阻R(2)、通 电时间t(s)与产生的热量Q(J)满足Q=Rt.已知导线电阻 为82，导线2s产生72J的热量，则I的值为A. 14.已知实数m,n满足√m一3+n-12=0,则√m十√n的值为 15.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算@：a@b= √/a+b a-b 例如3@2=-5.若@8是有理数，则x的最 3-2 小正整数值为 2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)计算： 2-5√5+v (2)(3-2)2-1⑧-8 √2 17.《8分)小乐同学计算V而×（后后）十V配的部分解题步骤 如下： 解：原式=而×咨得)+4反=而×（语2）+42 (1)在以上解题步骤中用到了 ;(从下面选项中选出 两个) A.等式的基本性质 B.二次根式的化简 C.二次根式的乘法法则D.通分 (2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便 的方法解答此题。 一3 18.(9分)若a,b为实数，且a=√2b-14+√7-b+3,求√(a-b) 的值. 19.(9分)已知△ABC的周长为(5√5+2√J10)cm,面积为(20√6+ 4√5)cm,AB,BC的长分别为√/45cm和√40cm. (1)求AC的长； (2)求AC边上的高. 20.(9分)高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见 小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让 不及.据研究，高空抛物下落的时间t(s)和高度h(m)近似满 足公式一√g (不考虑风速的影响，g≈10m/s). (1)求从60m高空抛物到落地的时间. 一4 (2)已知坠物的动能(J)=10×物体质量(kg)×高度(m).某 质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个 玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由. (注：伤害无防护人体只需要65J的动能) 21.(9分)已知a=7,5,=7,5,求下列各式的值： 2 2 (1)a2b-ab; 22.(10分)阅读下列解题过程： 例：若代数式√(a一1)+√(a一3)的值是2，求a的取值范围. 解：原式=|a-1|+a-3. 当a<1时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1 (舍去)； 当1≤a≤3时，原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件； 当a>3时，原式=(a-1)十(a-3)=2a-4=2,解得a=3 (舍去)..a的取值范围是1≤a≤3. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法.请你根据上述过 程，解答下列问题： -5 (1)当2≤a≤4时，化简√/(a-2)严+√(a-4)的值是； (2)若√(a+1)z+√(a-5)=10,求a的值. 23.(10分)(1)用“=”“>”或“<”填空： 4+3 2√/4X3; 1+ 1 21X6: 5+52√5X5. (2)由(1)中各式猜想m十n与2√mn(m≥0，n≥0)的大小关 系，并说明理由 (3)请利用上述结论解答下列问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区 域用篱笆围成矩形的花圃.如图，花圃恰好可以借用一段 墙体，为了围成面积为200m的花圃，所用的篱爸至少需 要 m. 一 6数字和不小于1的结果有7种P(小奇赢)=P(小赢)=1-品=：< 后这个游戏不公平.【延伸设问】解：答案不唯一，如小康跟小奇先后抛掷这枚骰 9 子，若掷出的两数之和为奇数，则算小康赢，若为偶数，则算小奇赢。情境3：解：对于 一个普通的正方体骰子，6点出现的概率应为行，小明记录的抛掷次数为200次，中奖 的次数应为33次左右，而实际中奖次数只有5次，于是可以怀疑摆摊人所用的骰子质 量分布不均匀，对游客来说是骗局. 第24章章末复习 考点整合 1.A2.A3.A4.B5.B6.C7.D8B9.210.B11.号12. 18.解：1) (2)分别以卡片A,B,C,D代指卡片“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷 墟”.根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可 ABCDABCDABCDABCD 能的结果，其中抽取的卡片正面相同的情况有4种∴P(甲胜出)=音-}，P(乙胜 出)=1一子-子.：甲胜出的概率与乙胜出的概率不相等，“这个游戏不公平。 聚焦课标 14.解：(1)5083.5144°(2)B组的人数为50×30%=15，补全频数分布直方图如 图所示. 、人数（频数） (3)全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人 20 20 0 ABCD成绩/分 数约为1200×2010=720.(4)列表如下 50 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙)（甲，丙） (甲，丁) (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) (丁，甲)（丁，乙）（丁，丙） 由表可知，共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：2种， “P(所选的两位同学恰为甲和丙)=危-合 项目学习测高如此巧妙 情境1：解：由题意，得∠DEF=∠BCD=90°，AC=DM=1.5m,AM=CD=18m. 又：∠BDF=∠CDB.△DEFD△DCB.-8S:EF=Q.2m,DE=0.3m, AM=CD=18m,.0.号=Bg..BC=12m..AB=AC+BC=12+1.5=13.5(m) 答：树高AB为13.5m.情境2：解：(1)A(2)①如图，延长MA,NB,它 们的交点即为路灯O的位置.再连接OC,OD,并延长交地面于点P,Q,则 A心BD PQ即为CD的影子.②过点O作OF⊥MN于F,交AB于点E.由题意，C心 MF NPO 得AB=1.2m,EF=1.2m,MN=2m.AB∥MN,∴.△OAB△OMN. :票-8器即号-O品2,0F=3m答：路灯0与地面的距离为8m OF 情境3：解：由题意知∠FAM=∠BAE=90°，∴.∠EAF=∠BAM=36°.在Rt△EFA 中，∠EFA=90,m∠EAF=.AF=20m,∴EF=1an36·AF≈0.727×20 14.54(m).∴.EG=EF十FG=14.54十1.94=16.48≈16.5(m).答：“摇橹人”的高度约 为16.5m -73 综合评价答案 第20章综合评价 1.B2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.A9.A10.A11.512.-4 13.3214.3515.1【解析由题意，得x@8=, 2 一8，“该式为有理数，x的 最小正整数值为1，放答案为1.16，解，1原式=6疗-+4疗=15，(2)原式 =3-4√3+4-√9+√4=3-4√3+4-3+2=6-4√3.17.解：(1)BD(2)原式= 而×方而×后4万=厅-厅+4反=5+3反18解，由题意，得2站14 ≥0且7-b≥0，解得b=7.∴.a=3.∴.√(a-b)=√(3-7)=4.19.解：(1)△ABC 的周长为(5√5+2√10)cm,AB,BC的长分别为√45cm和√40cm,∴.AC=(55+ 2√/10)-√45-√40=5√5+2√/10-3√5-2/10=2W5(cm).(2)△ABC的面积 为(206+45)m,.AC边上的高为2X205+4=(4/30+40cm20.解：1)由 25 题意知h=60m,∴=√=25s).答：从60m高空抛物到落地的时间为 2h 25.(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下：当=3时，3=√6， 解得h=45.∴.这个玩具产生的动能为10×0.2×45=90(J).:90J>65J,.这个玩具 产生的动能会伤害到楼下的行人.21.解：：a=5,=万，E,“a十b=万， 2 ab子a-6-后.1abas-a6a-6-号e÷+号--a0地 ab (7)2-2x2=12.22.解：(1)2(2)√/八a+1)7+√/a-5)7=a+1+a 当a<-1时，原式=（一a-1)十(5-a)=4-2a=10,解得a=-3,符合条件；当-1≤ a≤5时，原式=(a十1)十(5-a)=6≠10（舍去）：当a>5时，原式=(a十1)十(a-5)= 2a-4=10,解得a=7,符合条件.∴.a=-3或a=7.23.解：(1)>>=(2)m十 n≥2√m(m≥0，n≥0).理由如下：当≥0，n≥0时，：（√m-√n)≥0，.（√m)2 2√m·√万+(Wn)2≥0.∴.m-2√mn+n≥0.∴.m十n≥2√m.(3)40 第21章综合评价 1,C2.D3.A4.A5.C6.C7.C8.B9.B10.C【解析】在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AC+BC=AB.:AC=,BD=BC=号十（号）=(AD十号) =AD+aAD+(受)AD+aAD=.六AD的长是方程+ar=分的-个正 根.故选C.11.x2-2x十1=0（答案不唯一）12.n<-113.114.115.-2或 一号【解析】抽根与系数的关系，得十=-(2k十1D=一2.“一2十 2x=x1x2,.x1-2x1十2x2-x1x2=0..x1(x1-2)-x2(x1-2)=0.∴.(x1-2)(x1 一x2)=0..x1=2或x1=x2.将x1=2代人原方程，得4十2(2k十1)十-2=0，解得k =6=一2：当=4时，4=0(2k+1)-4发-2》=0，解得=-是.综上所述k的 值为-2或-具、16.解：(1)原方程可以变形为(x-3)-(5-2)=0.方程左边分 解因式，得(x-3十5-2x)(x-3-5十2x)=0,即(2-x)(3x-8)=0..2-x=0或3.x -8=0,得=2，=号，(2)根据题意，得22x十7x-D=3(4十1)十1，整理，得 2x十x一3=0，解得=1函=一号.·满足条件的x的值为1或-号.17.解：将x =0代入(k-1)x2+6x十2-k=0,得k2一k=0,解得k=1或k=0.:k-1≠0，∴.k≠ 1,k=0.原方程为-x2十x=0,解得x1=0,x2=6.综上所述，k的值为0，另一个 根为6.18.解：任务一：三方程的右边漏加了9任务二：1=3十，四， -74 3二√四任务三：我不同意小刚同学的说法，得到的启示：我们要灵活运用配方法来解 2 一元二次方程.19.解：(1)设前三季度生产量的平均增长率为x.根据题意，得 100(1十x)2=144.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：前三季度生 产量的平均增长率为20%.(2)第四季度的芯片生产量为144×(1十20%)=172.8（万 个).172.8<175，.该目标不能实现.20.解：(1)原方程有两个实数根，.△= [-(2k+1)]-4(k+2k)≥0，解得k≤寻.(2)不存在.理由如下：由题意，得1十x= 2k+1,x1x2=k2+2k.x1x2-x1-x≥0，.3x1x2-(x1十x2)2≥0，即3(k2十2k) (2k十1)≥0.整理，得-(k一1)2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立.由(1)知，k≤ 1 ,k=1不符合题意.不存在实数k使得x1x2-x-x≥0成立.21.解：(1)28 (2)设每个模型的售价应降低x元.根据题意，得(40-x)(20十2x)=1200.整理，得x 一30x十200=0.解得x1=10,x2=20.当x=10时，40一x=40一10=30>25，符合题 意：当x=20时，40一x=40一20=20一25，不符合题意，舍去.答：每个模型的售价应降 低10元.(3)该模型平均每天的销售利润不能达到1300元.理由如下：假设该模型平 均每天的销售利润能达到1300元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售 利润为(40一y)元，平均每天可售出(20十2y)个模型.根据题意，得(40一y)(20十2y)= 1300.整理，得y2-30y十250=0.：4=(-30)2-4×1×250=-100<0，.原方程没 有实数根.假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到1300元。22.解： (1)24(2)x2+16.x-5=x2十16.x+64-64-5=(x+8)2-69.(x+8)2≥0， .(x十8)2-69≥-69.∴.当x=-8时，x2十16.x-5有最小值，最小值为-69.(3)S1> S2.理由如下：由题意，得S1=(2a十5)(3a十2)=6a2+19a十10，S,=5a(a十5)=5a2+ 25a,∴.S-S2=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a十10=(a-3)2+1,:(a-3)2≥0， .(a-3)2十1>0..S1-S2>0..S1>S2.23.解：(1)2t(5-t)(2)在Rt△PBQ 中，由勾股定理，得PB十BQ=PQ,∴.(5-t)2十(2t)2=52.整理，得t一2t=0.解得 t1=0(不符合题意，舍去)，t2=2.∴.当t=2时，PQ的长为5cm.(3)存在.由题意，得矩 形ABCD的面积为5×6=30(cm).当五边形APQCD的面积为26cm时，△PBQ的 面积为30-26=4(cm),∴号×(6-)×21=4.整理，得P-51十4=0.解得4=4,4 =1.当点Q运动到点C时，两点停止运动，.t6÷2,即t3..t=1..当t=1时 五边形APQCD的面积为26cm2, 第22章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.B9.A10.D【解 析】如图，作∠BAC的平分线AP,由图②可知，AB=BC=2X4= 8(cm.∠B=36,.∠BAC=∠C=号(180°-∠B)=72.AP 平分∠BAC,.∠BAP=∠PAC=∠B=36°..AP=BP,∠APC=72°=∠C..AP= AC=BD,∠PAC=∠B∠C=∠C△APC△BAC÷-AP=AB: PC=8(8-AP,AP=45-4=BP.1=8+4,5-4=25+2.1.(2,3》12.4 2 13.(30-105)14115.号或号【解析】在R△ABC中，∠C=90,AC=3,BC= 4,∴AB=√AC十BC=5.由折叠的性质，得DF=CF.分两种情况讨论：①当∠DFB =90时，△BDF是直角三角形.：∠DFB=∠C=90°，∠B=∠B,.△DFB∽△ACB. 器既即号：CF=号：@当∠FD8=9时，△BDF是直角三角形， 3 :∠FDB=∠C=90,∠B=∠B△BDFn△cA.∴5-，即写-CF, 3 5 C=号综上所述，CF的长是号或号.16解：1)：号=号，设a=2,b=5,则 a6=4k+5k=18,∴k=2,∴Q=4.(2):梯形AEFB∽梯形EDCP,.2-C,即 是-需EF=15E17解：：AB/CD,△AE0△CE薨-瓷 是=子又：CD∥ER,器-器=是.2)：CD/E△BEn△D EF 那DF=号BF=号CD=6、18解，I)如图，△AAG即为所求， BF -75