第20章 二次根式 素养练习卷 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 该单元卷聚焦二次根式，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，融合现实情境与探究活动，适配初中数学单元复习，有效培养运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式定义、性质、同类二次根式|结合数轴（第9题）考查几何直观| |填空题|5/15|有意义条件、大小比较、化简求值|开放题（第11题）培养创新意识| |解答题|8/75|混合运算、实际应用（座钟摆长）、探究结论（正数关系）|纠错任务（第17题）强化推理意识，跨学科情境（第21题）提升应用能力|

第20章 二次根式 素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题3，共30.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列各式是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2．下列计算正确的是(　　) A.－＝ B.＋＝2 C.÷＝ D.＝－4 3．下列二次根式中，与6是同类二次根式的是(　　) A. B．－ C. D. 4．估计(3＋2)×的值应在(　　) A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．关于二次根式和，下列说法错误的是(　　) A．其中的a≥0 B.≥0，≥0 C.≥ D．它们都是最简二次根式 6．已知a、b是实数，且b＝3＋－，则的值是(　　) A. B. C. D. 7．已知a＝－1，b＝＋1，则a2＋b2的值为(　　) A．8 B．1 C．6 D. 4 8．已知a、b、c是△ABC三边的长，则＋|a＋b－c|的值为(　　) A．2a B．2b C．2c D．2(a－c) 9．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是(　　) A．－3 B．3 C．－ D．－2 10．把四张形状、大小完全相同的小矩形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为矩形(长为 cm，宽为4 cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长之和是(　　) A．4 cm B．4(－4)cm C．2(＋4)cm D．16 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题3，共15) 11．请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______________． 12．比较大小：－5________－3(填“>”“<”或“＝”)． 13．当x＝2＋时，x2－4x＋103＝________． 14．若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是__________． 15．已知m，n是两个连续的正奇数，m<n，令a＝mn，则－的值为________． 三、解答题(本大题共8小题，共75.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10)计算： (1)(＋)(－)＋(－2)2； (2)÷3×(－5)． 17．(8)下面是小颖同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ＋(2－1)2 ＝＋10－4＋1第一步 ＝＋11－4第二步 ＝11－ .第三步 任务一：以上运算过程中，第一步标①处的依据是________； A.＝(a≥0，b>0) B.＝(a≥0，b>0) 任务二：以上运算过程中，第______步开始出现错误，具体错误是______________________________________________________； 任务三：请写出正确的运算过程． 18．(8)先化简，再求值：÷，其中x＝＋1，y＝－1. 19．(8)小明在写作业时，不慎将墨水滴在作业上，有一道题的数据被污染后看不清了，题目为“当x＝时，＋＝________．”小明查看答案后发现该题的结果为，请你求出x的值． 20．(9)已知△ABC的周长为2＋2，其中AC＝＋，BC＝－. (1)求AB的长度； (2)判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由； (3)求边AB上的高． 21．(10)如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，用字母T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，则计算公式为T＝2π，其中g取9.8 m/s2.(≈2.24，π取3) (1)若一个座钟的摆长为0.49 m，它每摆动一个周期发出一次“嘀嗒”声，则该座钟1 min至少发出多少次“嘀嗒”声？ (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1 s，座钟的摆长应设计为多长？(结果保留小数点后两位) 22．(10)阅读下列材料，然后解答问题： ＝＝.(一) ＝＝.(二) ＝＝＝－1.(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：＝＝＝＝－1.(四) (1)请用不同的方法化简：(在横线上写出步骤) ①参照(三)式得＝____________________________________； ②参照(四)式得＝____________________________________. (2)化简：＋＋.(保留过程) 23．(12)某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究． 【探究发现】 6＋6＝2＝12；＋＝2＝；0.3＋0.3＝2＝0.6； ＋3>2＝2；0.2＋3.2>2＝1.6；＋>2＝. 【猜想结论】 若a>0，b>0，则a＋b≥2. 【证明结论】 因为2≥0， ①当－＝0，即a＝b时，a－2＋b＝0，所以a＋b＝2； ②当－≠0，即a≠b时，a－2＋b>0，所以a＋b>2. 综上所述，若a>0，b>0，则a＋b≥2. 【应用结论】 (1)若y＝x＋(x>0)，当x取何值时，y的值最小？最小值是多少？ (2)若y＝＋x(x>5)，当x取何值时，y的值最小？最小值是多少？ 答案 一、1.B　2.C　3.C　4.C　5.D　6.C　7.C　8.B 9．C　10.D 二、11.3(答案不唯一)　12.<　13.102　14.　15.2 三、16.解：(1)原式＝7－5＋3－4＋4＝9－4. (2)原式＝－×× ＝－ ＝－. 17．解：任务一：A 任务二：一；计算(2)2时，没有将“2”平方 任务三：＋(2－1)2＝＋20－4＋1＝＋20－4＋1＝21－. 18．解：原式＝÷＝·＝. 当x＝＋1，y＝－1时， 原式＝＝＝2－. 19．解：＋＝＋ ＝＋， 由题意得，＋＝， 当x－3>0，即x>3时，＋＝， 解得x＝－3(舍去)； 当x－3<0，即x<3时，－＝， 解得x＝0.经检验，x＝0是方程的解． 综上所述，x的值为0. 20．解：(1)因为△ABC的周长为2＋2，AC＝＋，BC＝－，所以AB＝2＋2－(＋)－(－)＝2. (2)△ABC是直角三角形，理由如下： 因为AB2＝(2)2＝24，BC2＋AC2＝(－)2＋(＋)2＝24，所以AB2＝BC2＋AC2， 所以△ABC是直角三角形． (3)由(2)知△ABC是直角三角形且∠C＝90°， 所以S△ABC＝＝＝4， 所以边AB上的高为＝. 21．解：(1)1 min＝60 s．当l＝0.49时，T＝2π＝2π×＝π，所以该座钟1 min发出“嘀嗒”声的次数为＝60×＝≈＝44.8， 所以该座钟1 min至少发出44次“嘀嗒”声． (2)因为T＝2π＝1，所以l≈0.27， 即座钟的摆长应设计约为0.27 m. 22．解：(1)①＝＝－ ②＝＝＝ － (2)＋＋＝＋＋ ＝＋＋ ＝2(－1)＋2(－)＋2(－) ＝2－2＋2－2＋2－2 ＝2－2. 23．解：(1)因为x>0，所以y＝x＋≥2＝2， 且当x＝，即x＝1时，取得等号． 所以当x＝1时，y的值最小，最小值是2. (2)因为x>5，所以x－5>0，所以y＝＋x＝＋x－5＋5≥2＋5＝2×1＋5＝7， 且当x－5＝，即x＝6时，取得等号． 所以当x＝6时，y的值最小，最小值是7. 学科网（北京）股份有限公司 $