吉林长春市农安县第十中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026高一下学期数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 2．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ） A．众数为和 B．方差为 C．平均数为 D．第百分位数为 3．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A． B． C． D． 4．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（ ） A．事件与事件相互独立 B．事件与事件互斥 C． D． 5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点．测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是．那么测得建筑的高度为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9．若复数，则（ ）） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．是方程的一个根 10．已知向量，，则（ ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．当时，向量在向量上的投影向量为 D．若与夹角为锐角，则的取值范围为 11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．正方体的外接球表面积为 C．若平面，则的轨迹长度为 D．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，，．若，，三点共线，则实数的值为__________． 13．已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为__________． 14．中，角，，的对边分别为，，，已知，，当角有两解时，则边的取值范围为__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面． 16．（15分）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的值． （3）若，，点是线段上一点，求内角平分线的长． 17．（15分）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图： （1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数及平均数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，、分别为棱，的中点， （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19．（17分）如图四边形中，， （1）若的面积为，且为锐角，求的长度． （2）试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）求四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 9．BCD 10．BC 11．ACD 12． 13． 14． 15．【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 2分 因为底面为矩形，所以 4分 所以． 5分 【小问2详解】 因为底面为矩形，所以． 6分 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 8分 又平面，所以． 9分 又因为，且，，平面，所以平面 11分 又平面，所以平面平面 13分 16．【小问1详解】 ，由正弦定理得 1分 在中，， 2分 ，可得， 3分 ，，， 4分 又，可得． 5分 【小问2详解】 由，解得， 7分 由余弦定理得，所以， 9分 故 10分 【小问3详解】 由，， 12分 设的长为，由，， 14分 解得，即 15分 17．【详解】（1）得分的频率为；得分的频率为； 得分的频率为；所以得分的频率为 2分 设班级得分的中位数为分，于是，解得 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分 5分 班级卫生量化打分检查得分的平均数为，所以 所以班级卫生量化打分检查得分的平均数数为68分． 8分 （2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2又班级总数为40于是“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2 10分 因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗． 所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级．记这个事件为A 11分 则为两个评定为“中”的班级． 把4个评定为“良”的班级标记为1，2，3，4．2个评定为“中”的班级标记为5，6 从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中．这些点恰好为方格格点上半部分（不含对角线上的点），于是有种． 13分 事件仅有一个基本事件．所以 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为． 15分 18．【小问1详解】 取是的中点，连接，，又、分别为棱，的中点， 根据中位线的性质知，，， 1分 由平面，平面，则平面，同理平面， 3分 由都在平面内，故平面平面， 4分 又平面，所以平面； 5分 【小问2详解】 由题设，易知为等腰直角三角形，且，则， 由题设，易知四边形为直角梯形，且，，则， 综上，，则， 7分 由平面，平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面，平面，所以平面平面， 9分 而平面，且平面平面， 所以在平面上的投影在直线上，故与平面所成角为 11分 在中，，则，故， 所以与平面所在角的正弦值为； 12分 【小问3详解】 由（2）平面，平面，则，故 ， 13分 由， 15分 若点到平面的距离为，则，可得 17分 19．【小问1详解】 由题设，又，，可得， 2分 又为锐角，则， 3分 故由余弦定理得； 5分 【小问2详解】 由余弦定理得，， 7分 又，，则，， 9分 所以，为定值； 10分 【小问3详解】 由， 12分 令，则， 13分 又，则， 14分 所以， 15分 当，即时，最大，此时， 16分 所以四边形面积的最大值 17分 学科网（北京）股份有限公司 $