吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第三学程考试数学试题

高一年级下学期第三学程考试数学科试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 3．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1，3，4，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为3，4，6，现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ） A．事件和相等 B．事件和互斥 C．事件和相互独立 D．事件和对立 4．学校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：cm）A：，B：，C：，D：，E：，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ）。 A．身高在区间的男生比女生多3人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在E组的人数有2人 5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（ ）杯． A．13 B．14 C．15 D．16 7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（ ）． A． B． C． D． 8．在直角边长分别为和的直角三角形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（ ）、 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ） A．若，则是直角三角形 B．若，，若有两解，则 C．若，则 D．若，，则面积最大值为 10．在以下命题中正确的是（ ） A．一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的60%分位数为11 B．已知，，，的方差为4，则，，，的方差为8 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，点是侧面内一动点，是上一动点，以上动点都含边界．则下列说法正确的为（ ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．当时，若保持，则点的运动轨迹长度 D．的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．某高中调研学生对世界杯的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是__________． 13．已知四面体的个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为__________． 14．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）设，，求的面积． 16．（15分）如图，平行六面体中，与相交于，设，，． （1）用、、表示； （2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，，求． 17．（15分）学校组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求的值； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果四舍五入取整数）； （3）学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面平面； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 19．（17分）在三棱锥中，已知、均是边长为的正三角形，棱．为侧棱上一点． （1）现对，两个顶点随机贴上写有数字1~4四个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，求事件“为偶数”的概率； （2）现对，两个顶点随机贴上写有数字八个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，若，求“二面角的平面角大于”的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $