黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年第二学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末考试 高一 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1．复数的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（ ） A．-4 B．1 C．2 D．4 3．已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的值为（ ） A． B． C．或 D． 4．掷一枚质地均匀的骰子一次，掷到点数为4的概率为（ ） A． B． C． D． 5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 6．已知向量，，且与的夹角为．若与垂直，则实数的值是（ ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 7．已知向量与的夹角为，，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 8．已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9．有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（ ） A．极差为4 B．中位数为6.5 C．平均数为7 D．方差为3.5 10．在中，，，，则（ ） A． B．的面积为3 C． D． 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一．所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A．长方体中含有两个相同的等腰四面体 B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．从2名男生和3名女生中随机选出2人参加某项活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率为________． 13．高一学年有男生300人，女生700人．小明按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样方法，得到男生、女生的平均身高分别为和．如果小明从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则高一年级全体学生的平均身高约为________cm． 14．已知球的体积为，点，，，均在球表面上，若为正三角形，且，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分） 在正方体中， （1）求异面直线和所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线和平面所成的角． 16．（本小题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 17．（本小题满分15分） 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上一点，且，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 18．（本小题满分17分） 2026年5月25日至5月31日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周．为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 19．（本小题满分17分） 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）（ⅰ）若，，用坐标，，，表示； （ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $