精品解析：黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期高一学年期末考试 数学 考试时间： 120分钟 卷面分值：150 分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28， 又，所以第百分位数为. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. 气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（ ） A. 本地区有90%的地方下雨 B. 本地区有90%的时间下雨 C. 明天出行不带雨具，一定被雨淋 D. 明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的实际意义即可判断. 【详解】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 4. 已知，，，若，则等于（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算法则进行求解. 【详解】由题意可得，， 所以，， 所以，解得 故选：C. 5. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确； 对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若且， 如图所示，取点，过点，作，则， 设，可得，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为与所成角的平面角，由，可得，即， 所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确； 对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确. 故选：C. 6. 给出下列命题，其中说法正确的是（    ） A. 若A，B为两个随机事件，则 B. 若事件A，B，C两两互斥，则 C. 若A，B为互斥事件，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【详解】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 7. 已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答. 【详解】在中，，，，则， 设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为， 三棱锥外接球球心为，半径为，有平面， 由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形， 则球心到平面的距离， 因此，所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ） A. 设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B. 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D. 利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误； 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误； 对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确. 故选: ABC. 10. 某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C. 样本的中位数为520 D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果. 【详解】 由，得，故样本数据落在区间内的频率为，A错误； 样本数据低于600的频率为，B正确； 对应的频率为，对应的频率为，所以中位数在内，故中位数为，C错误； 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为，D正确． 故选：BD 11. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据面面平行的判定定理证得平面平面，然后利用面面平行的性质定理即可判断A；利用等体积法求解体积判断B；利用补体法求出球的半径，进行表面积计算判断C；利用空间向量先表示出直线与平面所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D. 【详解】连结，如图， 对于A，因为，所以四边形为平行四边形， 所以平面平面，故平面， 同理得平面，平面，故平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面平面，从而直线平面，故A正确； 对于B，由A知，平面平面点在平面内， 所以，故B正确； 对于C，三棱锥外接球即为正四棱柱的外接球， 半径， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于D，以为坐标原点， 分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，则， 设，则，即，， 可得面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故时，取最小值，有最大值为，故D错误. 故选：ABC 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件列出总体容量和样本容量的关系式，由此可求结果. 【详解】由条件可知：， 所以， 故答案为：. 13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差. 【详解】依题意，，，， ∴（分）， ∴全班学生的平均成绩为分． 全班学生成绩的方差为 故答案为： 14. 如图，圆锥底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出直线与平面所成的角，求出OD的长，解直角三角形即可求得答案. 【详解】连接， 因为是圆锥的高，故平面，平面， 故，又点C是底面直径所对弧的中点，则， 平面，故平面， 则即为直线与平面所成的角， 因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，故， ，则, 故, 在中，, 即直线与平面所成的角的正切值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：   （1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中a的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数. 【答案】（1）50；40；10 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可先确定抽样比为，分别计算可求得结果； （2）由频率分布直方图中所有小正方形面积为1，即可解得； （3）由百分位数的定义计算即可得游客满意度分值的分位数为. 【小问1详解】 老年、中青年、少年的人数比例为， 故抽取100人，样本中老年人数为人， 中青年人数为人， 少年人数为人； 【小问2详解】 易知组距为10，由频率分布直方图可得，， 解得； 【小问3详解】 设当天游客满意度分值的分位数为， 因为，， 所以位于区间内，则，解得， 可知估计当天游客满意度分值的分位数为. 16. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可求的值； （2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【小问1详解】 ， 由，得，所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 令向量与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是. 17. 某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传. （1）求所选的3人中恰有1名男成员的概率； （2）求所选的3人中至少有2名女成员的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用古典概型公式求解. 【小问1详解】 由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为. 从5名成员随机选出3人的情况有，共10种. 所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种， 则所选的3人中恰有1名男成员的概率. 【小问2详解】 所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种， 则所选的3人中至少有2名女成员的概率. 18. 已知在中，，，． （1）求； （2）若为边上一点且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，然后依次求得和. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得， 所以， 则为锐角，且. 【小问2详解】 由于，所以锐角， 且， 所以 ， 在三角形中，由正弦定理得， 所以. 19. 已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点G，连结，先证明四边形为平行四边形，再利用直线平面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，利用勾股定理分别证明和，即分别求得和，进而利用等体积法即由可得点B到平面的距离. 【小问1详解】 证明：取中点G，连结． ∵E，G分别是的中点， ∴且． ∵F是中点，， ∴且． ∴为平行四边形． ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵E是中点，平面 ∴点E到平面的距离为． ∵，，， ∴， 且,即． ∴． ∵为平行四边形， ∴． ∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴点B到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期高一学年期末考试 数学 考试时间： 120分钟 卷面分值：150 分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 2 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（ ） A. 本地区有90%的地方下雨 B. 本地区有90%的时间下雨 C. 明天出行不带雨具，一定被雨淋 D. 明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 4. 已知，，，若，则等于（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 给出下列命题，其中说法正确的是（    ） A. 若A，B为两个随机事件，则 B. 若事件A，B，C两两互斥，则 C. 若A，B为互斥事件，则 D 若，则 7. 已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ） A. 设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B. 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D. 利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 10. 某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C. 样本的中位数为520 D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 11. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量_______． 13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 14. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：   （1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中a的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数. 16 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 17. 某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传. （1）求所选的3人中恰有1名男成员的概率； （2）求所选的3人中至少有2名女成员的概率. 18. 已知在中，，，． （1）求； （2）若为边上一点且，求的面积． 19. 已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$