精品解析：四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年八年级下学期期末自测数学学科

四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年八年级下学期期末自测数学学科 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，下列不等式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 4. 在下列各式中，x、y同时扩大2倍，式子的值不变的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的周长是21，，分别平分和，于，且，则的面积为（ ） A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 6. 如图，中，，平分，交于点，连接，点，分别是和的中点，若的长为2.5，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7 7. 已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 10. 分解因式：______________． 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 12. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则___度． 13. 如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程及解方程组 （1）解方程：． （2）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在中，，点D、E在边BC上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的格点上，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）关于点A成中心对称的图形为，画出并写出，的坐标； （2）将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形； （3）连接，，请直接写出四边形的面积． 18. 如图，中，E、F分别是、上的点，且，连接交于O． （1）连接、，判断四边形的形状并说明理由． （2）若，，的面积为2，求的面积． （3）若，，，延长交的延长线于G，当时，则的长为______． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则的值为______． 20. 如图，直线（，是常数，）与直线交于点，则关于的不等式的解集为_________． 21. 如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为_______． 22. 已知，且，求的值为___________． 23. 如图，在中，，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则四边形的面积为__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． ①解：原式 ； ②解：原式 ； ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （2）若，求的值． 25. 某商场购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格倍少元，用元购进甲种商品的数量与用元购进乙种商品的数量相同，请回答下 列问题： （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若商场从厂家购进甲、乙两种商品共个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲个，总成本是元，求与的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本； （3）用（2）中的最少成本的再次同时购进甲、乙两种商品，在钱全部用尽的情况下，请直接写出再次购进甲、乙两种商品有多少种方案． 26. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； （1）探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年八年级下学期期末自测数学学科 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：A． 2. 若，下列不等式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题关键在于掌握其性质定理并熟练运用．根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得答案． 【详解】解：A. 若，则，故该选项正确，不符合题意； B. 若，则，故该选项正确，不符合题意； C. 若，则，故该选项正确，不符合题意； D. 若，当，时，则，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 3. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°； 当50°是底角时也可以． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 4. 在下列各式中，x、y同时扩大2倍，式子的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，换为，代入所给分式化简后和原来分式比较即可． 【详解】解：A. ，此项不符题意； B. ，此项符题意； C. ，此项不符题意； D. ，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 5. 如图，的周长是21，，分别平分和，于，且，则的面积为（ ） A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得点O到AB、AC、BC的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接OA ∵，分别平分和，于，且 ∴点O到AB、AC、BC的距离为4 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键． 6. 如图，中，，平分，交于点，连接，点，分别是和的中点，若的长为2.5，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴， 故选：B． 7. 已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将整式因式分解是解题的关键．将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状． 【详解】解： 或 或， 或，即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 8. 如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可． 【详解】由关于y的不等式组，可整理得 ∵该不等式组解集无解， ∴2a+4≥﹣2 即a≥﹣3 又∵得x＝ 而关于x的分式方程有负数解，且x≠-1 ∴a﹣4＜0且a≠2 ∴a＜4且a≠2 于是﹣3≤a＜4，且a为不等于2的整数 ∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、3 则符合条件的所有整数a的和为-2． 故选A． 【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故答案为：6． 10. 分解因式：______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 12. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则___度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 由旋转得，，则，即，由已知条件可得，根据，可得，则，进而可得． 【详解】解：由旋转得：，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE=2，进而即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB， ∴CD=DE=2， ∵AC＝5， ∴AD=5-2=3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程及解方程组 （1）解方程：． （2）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为，数轴表示如图： 【解析】 【分析】（1）先去分母，将分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程并检验即可得出结果； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：去分母得， 解得， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 数轴表示略． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行括号内的运算，再利用分式的混合运算法则化简，最后代入计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 16. 如图，在中，，点D、E在边BC上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由，得，由得到，那么，再由三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ， ， ， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的格点上，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）关于点A成中心对称的图形为，画出并写出，的坐标； （2）将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形； （3）连接，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； ，； （2） 解：如图，即为所求． （3）15． 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根平移的性质作图即可． （3）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形的面积为 ． 18. 如图，中，E、F分别是、上的点，且，连接交于O． （1）连接、，判断四边形的形状并说明理由． （2）若，，的面积为2，求的面积． （3）若，，，延长交的延长线于G，当时，则的长为______． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析； （2）； （3）4； 【解析】 【分析】（1）分别证明，，即可； （2）利用平行四边形的性质，由的面积为2，得到，再利用三角形同底等高的性质，得到的面积，再求出，则可知的面积为； （3）由是等腰直角三角形，得出，因为，得出，所以与都是等腰直角三角形，从而依次求得、、的长，则可求； 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形； 证明：由题意，在中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，以及同底等高类的三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，证明等腰直角三角形是解决问题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由已知条件易得，然后将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 20. 如图，直线（，是常数，）与直线交于点，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不等式表示的是直线位于直线的上方，且这两条直线的交点坐标为， ∴结合函数图象可知，关于的不等式的解集为． 21. 如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定；先说明四边形是平行四边形，可得，再结合已知条件求出，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵的面积是4， ∴， 故答案为：2． 22. 已知，且，求的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用对已知条件进行变形是解题的关键． 由可得，再根据可得，再结合可得，整理得，则即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 如图，在中，，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从进而即可求解． 【详解】解：如下图所示，设与交于点O，连接和， ∵点D为的中点，， ∴,，是的角平分线，是的平分线， ∴， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∵， ∴ ∴, ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． ①解：原式 ； ②解：原式 ； ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （2）若，求的值． 【答案】（1）当时，多项式有最小值，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将原式转化为，再结合解答即可； （2）先得出，，再将原式变形为，代入化简即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴当时，多项式有最小值，最小值为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 25. 某商场购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格倍少元，用元购进甲种商品的数量与用元购进乙种商品的数量相同，请回答下 列问题： （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若商场从厂家购进甲、乙两种商品共个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲个，总成本是元，求与的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本； （3）用（2）中的最少成本的再次同时购进甲、乙两种商品，在钱全部用尽的情况下，请直接写出再次购进甲、乙两种商品有多少种方案． 【答案】（1）每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元；（2）y=-10x+4000，成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3500元；（3）8种 【解析】 【分析】（1）设每个甲种商品的进价为x元，根据题意列出方程，解之即可； （2）根据题意列出表达式，求出x的范围，根据一次函数的性质得到当x=50时满足条件； （3）根据题意列出二元一次方程，求出整数解，即可得出方案数． 【详解】解：（1）设每个甲种商品的进价为x元， 由题意可得：， 解得：x=30， 经检验：x=30是原方程的解， ∴每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元； （2）∵购进甲x个，则购进乙100-x个， 则x≤100-x， ∴x≤50， 则y=30x+40（100-x）=-10x+4000， ∵-10＜0， ∴当x=50时，y最小， 即成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3500元； （3）由于最少成本为3500元， 则最少成本的为3500×=1000元， ∵1000元全部用尽， 则30x+40y=1000， ∴y=25-， 当x=4、8、12、16、20、24、28、32时，y可以取整数， 则共有8种方案． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系． 26. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； （1）探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 【答案】（1）成立， 理由是： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转，连结和， ∴， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】探究：利用SAS证明ΔABD≌ΔCAE，得BD=CE； 应用：①证明ΔACE≌ΔABD，即可得出结论； ②首先证明∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，再利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∴，，， ∴ ∴， ∴． ②∵， ∴， 又∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 又∵，， ∴在中， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明ΔACE≌ΔABD是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $