精品解析：四川省成都市双流区天府第七中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年四川省成都市天府七中八年级（下）期末数学试卷 1. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 2. 已知实数a、b，若，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. 3 C. D. 0 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将两个矩形按如图放置，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 7. 如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 8. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 9. 若，则_______． 10. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 11. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______． 12. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 13. 如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 14. （）解方程：． （）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值，其中值是方程的根． 16. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，． （1）把向上平移个单位长度得(A、B、C的对应点分别是、、，请画出； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标； （3）在（2）条件下，求边扫过的面积． 17. 教材理解页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）已知：如图，是的中位线求证：，； （2）应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系点中，，点在轴正半轴上且，直线的图象交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）在轴上找一点，使，求点的坐标； （3）如图，点是射线上一动点，过点作交轴于点，连接，当与以点、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标． 19. 在数轴上，与最接近的整数是______． 20. 若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有_____________个． 21. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明码“”译成密码是______填写由个大写字母组成的密码 22. 如图，在中，，，为中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为______． 23. 如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ______． 24. 某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． （1）求A、两种商品每件售价各多少元； （2）商品每件进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）如图，求直线解析式； （2）如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； （3）如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分． 【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四川省成都市天府七中八年级（下）期末数学试卷 1. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：A、该方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项错误； D、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； 故选B 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 已知实数a、b，若，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵a＜b，∴-2a+1＞-2b+1，原变形正确，故本选项不符合题意； B．∵a＜b，∴，必须规定x≠0，原变形不一定正确，故本选项符合题意； C．∵a＜b，∴，原变形正确，故本选项不符合题意； D．∵a＜b，∴a+x＜b+x，原变形正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零则分子为零分母不为零是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用配方法解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：C 5. 将两个矩形按如图放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母等于 0，然后代入整式列出方程计算未知数的值. 【详解】方程两边同乘x－3，得1＋3(x－3)＝－(m－x)，∵原方程有增根，∴最简公分母 x－3＝0,解得x＝3，把x＝3代入1＋3(x－3)＝－(m－x)，得m＝2，故选B. 【点睛】增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 7. 如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键． 由点，分别是的三等分点，推导出，，由，证明，则，所以，由，证明，则，所以，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：点，分别是的三等分点， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解． 【详解】解：由绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，得方程为： ， 故选：B． 9. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，正确将比例式变形是解题的关键． 直接利用比例的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 即， 故答案为：． 10. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 11. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】观察图象可得当时，，即可求解． 【详解】观察图象得：当时，，即， ∴不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键． 12. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可． 【详解】解：设另一个因式为x+n， ∴x2-3x+k=（x-2）（x+n），即x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n， ∴ ， 解得：n=-1，k=2， ∴另一个因式为x+1， 故答案为2 【点睛】此题主要考查因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握． 13. 如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定． 过点作于点，如图，根据正方形的性质得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出，利用基本作图得平分，则根据角平分线的性质得到，，然后证明得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 四边形为正方形， ， 在中，， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ． 故答案为：． 14. （）解方程：． （）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【解析】 【分析】（）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （）分别求出不等式、的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （）， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， 把不等式、的解集表示在数轴上如下： 15. 先化简，再求值，其中的值是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可进行化简，根据方程的解得， 再整体代入原式，计算出结果． 【详解】解： ． ∵， ∴， 原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向上平移个单位长度得(A、B、C的对应点分别是、、，请画出； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标； （3）在（2）条件下，求边扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，的坐标 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，作出即可； （2）根据旋转性质，作出即可； （3）根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求作，的坐标； 【小问3详解】 如图， ，，， 边扫过的面积． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了作图平移变换，旋转作图，旋转的性质，扇形面积的计算，数形结合是解题的关键． 17. 教材理解页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）已知：如图，是的中位线求证：，； （2）应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程 （2） 【解析】 【分析】（1）延长到，使，连接，依据“”判定和全等得，，进而得，，由此可判定四边形是平行四边形，则，，再根据即可得出结论； （2）连接，，由折叠性质得，，再根据得与重合，即点，，共线，进而得是的垂直平分线，则点是的中点，由此得是的中位线，则，在中，由勾股定理得，继而得，，在中，由勾股定理得，据此可得的长． 【小问1详解】 证明：延长到，使，连接，如图所示： 是的中位线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： 四边形是矩形，， ，， 由折叠性质得：，， ， 与重合， 即点，，共线， 是的垂直平分线， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 即的长为． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系点中，，点在轴正半轴上且，直线的图象交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）在轴上找一点，使，求点的坐标； （3）如图，点是射线上一动点，过点作交轴于点，连接，当与以点、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）满足条件的点有两个，点关于轴的对称点为；过点作交于点，由∽，求出，再证明≌，得到，设，求出，点关于点的对称点为，直线与轴的交点为； （3）过点作轴交于，先证明∽，得到，设，则，再证明∽，得到，则，，，所以，，当∽时，，求出；当∽时，，得出结果，不符合题意，舍去即可． 【小问1详解】 解， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； 【小问2详解】 当时，直线与轴交点， 点关于轴的对称点为， 此时， ； 过点作交于点， ，， ， ∽， ，即， 解得， ， ， 设， ， 解得或舍， ， 点关于点的对称点为， 同理得：直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ； 综上所述：点坐标为或； 【小问3详解】 过点作轴交于， ， ， ， ， ∽， ， ， 设，则， ∵， ∽， ， ， ，， ，， 当∽时，， ， 解得或舍， ； 当∽时，，  ， 解得（不符合题意，舍去）； ∴，（不符合题意，舍去） 综上所述：点坐标为． 19. 在数轴上，与最接近的整数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据无理数的意义和三次根式的性质得出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三次根式的性质和估计无理数的大小，计算出在3和3.5之间是解题关键． 20. 若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有_____________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式等知识，熟练掌握分式方程和不等式的解法是解题关键．解分式方程，根据其解的条件求出的取值范围，从而确定符合条件的的个数． 详解】解：解分式方程， 可得， ∵为正整数，为正整数， ∴且，解得， ∵， ∴，即有， ∴， ∴，12，9，3， ∴符合条件的所有正整数的个数有4个． 故答案为：4． 21. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明码“”译成密码是______填写由个大写字母组成的密码 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据表格先写出明码对应的序号，然后根据题意，求出对应的的值，再对照表格写出密码即可，解题的关键是明确题意，求出相应的的值． 【详解】解：由表格可知，明码“”对应的数字为， ∵当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴明码“”译成密码是， 故答案为：． 22. 如图，在中，，，为的中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，于点，先求出，则，根据的面积是的倍得，再由三角形的面积公式得，由此得，进而得，由折叠性质得，，，继而得，再由三角形的面积公式得，则，由此得，据此可判定四边形是平行四边形得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，，过点作于点，过点作于点，于点，如图所示： 在中，，，， ， 为的中点， ， 的面积是的倍， ， ， ， 于点， ，， ， ， ， ， 由折叠性质得：，，， 于点，于点， ， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 的长为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 23. 如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由中垂线性质及，可判定为直角三角形，设，由，可得，进而可得，，由勾股定理可得作于点，由角平分线性质知，证明∽，可得，得证，则，故AB过点作交的延长线于点，利用平行线性质和角平分线、等腰三角形判定可得由，可得∽，故得，即，整理得，解得（负根舍去），即得的长． 【详解】解：连接，由中垂线性质可知，如图所示， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ，， ，， ∴． 由勾股定理可得， ∴． 作于点，如图所示， 平分， ， ，， ． ，即， 解得． ∵，， ∴， ∴， ∴． 过点作交的延长线于点，如图所示， ， 平分， ， ， ． 由，可得， ，即， 整理可得，进一步整理得， 解得（负根舍去）， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 24. 某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． （1）求A、两种商品每件售价各多少元； （2）商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种商品每件售价元，种商品每件售价元 （2）种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式． （1）设种商品每件售价元，根据“用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍“列方程并检验，即可得到答案； （2）根据题意得，由二次函数的最值可得答案． 【小问1详解】 解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元， 用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 种商品每件售价元，种商品每件售价元； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， 当时，取最大值，最大值为元， 种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 25. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； （3）如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点横坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，由四边形的面积的面积的面积，可求，作点关于轴的对称点，则，连接，过点作，连接，则四边形是平行四边形，当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，可求四边形周长最小值为； （3）根据平移可知沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，则，，设，当时，点横坐标为，再由点的平移可求点的横坐标为；当时，点横坐标为，再由点的平移可求点横坐标为． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 点为线段的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴交于点， 设，则， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，则， 连接，过点作，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小， ， 四边形周长最小值为， 四边形周长最小为； 【小问3详解】 解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下： 将沿着射线方向平移个单位长度， 沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， ，， 设， 当时，， 解得， 点横坐标为， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点的横坐标为； 当时，， 解得， 点的横坐标为， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离，勾股定理，菱形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键． 26. 在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分． 【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 【答案】初步探究：；类比迁移：；拓展应用：（）；（） 【解析】 【分析】初步探究：证明，从而得出，即可求解； 类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，从而得出和，进而得出，从而得出，的值，可证得，从而，进而得出的值，进一步得出结果． 拓展应用：（）可推出，，从而得出，作的垂直平分线，交于，作于，作，可推出，从而得出故设，，，设，，在中，根据勾股定理得，从而求得，根据得出，从而得出，进一步得出结果； （）根据题意可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解． 【详解】初步探究：，， ，是等边三角形， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ； 类比迁移：如图， 作于， ，， ， 同理初步探究可得，， ， 不妨设，，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展应用：（）如图， 由题意不妨设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于，作， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 设，， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （）如图， ， ， 设，则，， ， ， 作垂直平分线，交于，作于， ， ， ， ， ， 由（）可得，， ， 由得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$