精品解析：甘肃陇南市成县第一中学、第二中学、成州中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学 高二下学期期末考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（ ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C 2. 已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，根据三点共线，则存在实数，满足，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 可得，， 因为三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得. 故选：A. 3. 设，若为实数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数. 【详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以. 5. 一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定几何体的形状为圆锥与圆柱的组合体，根据已知条件所给数据，求出组合体的体积即可. 【详解】直角梯形绕其较长的底旋转一周后，所得的几何体是半径为4、高为2的圆柱和半径为4、高为3的圆锥组成，所以,体积，故选C. 【点睛】本题考查旋转体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维判断能力，计算能力，是基础题. 6. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( ) A. 180种 B. 240种 C. 360种 D. 420种 【答案】D 【解析】 【分析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求． 【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种， 若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花； 或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2种， 若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种， 故最多有+2+=420种栽种方案， 故选D． 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集． 【详解】函数的定义域为， 则 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角恒等变换得到，再利用同角三角函数商数关系求解 【详解】因为， 所以， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ） A. 该组样本数据的极差为6 B. 该组样本数据的平均数为7 C. 该组样本数据的第60百分位数为7 D. 该组样本数据的标准差为 【答案】AB 【解析】 【详解】由题知，该组样本数据的极差为，A正确； 平均数为，B正确； 因为，故第60百分位数为第4个数据8，C错误； 方差：， 标准差：，D错误. 10. 已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，由，故圆心为，A错误； B选项，联立抛物线与圆消去得， 解得或，当时，，不合要求，舍去； 当时，，解得，即，则，B正确； C选项，抛物线的准线为，圆心到的距离为2，等于圆的半径， 故抛物线的准线与圆相切，C正确； D选项，抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，则与圆一定相交，D正确. 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ） A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围. 【详解】如图，连接， 由题意知直线的方程为，即， 直线与双曲线的渐近线平行， 所以， 则，， 联立方程，解得，即， 对于A，因为以为直径的圆经过点，则， 因为，， 所以， 解得，则的离心率，所以A正确； 对于B，因为以为直径的圆经过点， 则，则，， 所以由双曲线的定义知，可得， 所以的离心率，所以B不正确； 对于C，若，则为线段的中点，所以， 于是由在双曲线上，得，即， 解得，所以， 则的渐近线方程为，所以C正确； 对于D，因为，所以， 由余弦定理的推论得， 即， 解得，因为点不在圆外， 所以，即，解得， 所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： （1）求出，代入公式； （2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 13. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；， 又不等式等价为：或， 得或， 所以不等式的解集为． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设n次传球后球在乙手中的概率为，结合递推关系得出数列是等比数列即可求出. 【详解】设n次传球后球在乙手中的概率为，则有， 必有， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， ， 故次传球后球在乙手中的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若边，求的面积S的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，因此，即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，而，由余弦定理， 得，则，当且仅当时取等号， ， 所以的面积S的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 17. 某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. （1）求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； （2）记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. （3）第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 【答案】（1） （2）； （3）有2家选择产品的概率最大，最大概率为 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）利用二项分布写出分布列求解期望和方差； （3）利用二项分布得到分布列求解事件概率. 【小问1详解】 设“第i次购买产品”，（i=1，2），则“第i次购买产品”， 由题意， 又为对立事件， 故 ； 【小问2详解】 每家购买产品概率均为，故， 分布列为 ； 【小问3详解】 设有家选择产品，则，设有家选择产品的概率最大，则 ， 故可列 即 整理得，又，故，此时= 故有家选择产品的概率最大，最大概率为. 18. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为 “等腰四面体”． 已知在等腰四面体 中， 分别为所在棱的中点，如图所示． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求异面直线 与 所成的角的余弦值； （3）在空间直角坐标系 中， 平面内有椭圆 ，直线 与 交于 两点． 为空间中一点，若四面体 为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围． 【答案】（1） 连接，因为， 所以，四边形为平行四边形. 又，所以， 所以四边形为菱形，所以. 同理，四边形为菱形，， 又因为四边形为菱形，交于一点， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理证平行四边形，由等腰四面体对棱相等得菱形，再证线线垂直推出线面垂直； （2）将等腰四面体补成长方体建立坐标系，用向量夹角公式求异面直线所成角的余弦值； （3）联立直线与椭圆方程，结合锐角条件求参数范围，换元后用二次函数单调性求外接球表面积范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 设， 由于，则 联立三式，可解得：， 已知，，设和形成的夹角为 ，则异面直线和所成角的余弦值等于它们方向向量夹角余弦的绝对值： . 因此异面直线和所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知可将补成长方体，设长宽高分别设为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即， ，，则. 在平面内设，由，得， 显然， ， 于是， 所以. 在中，，则为锐角， 因此，即， ， 解得，又， 不妨令，则， ，所以． 因此外接球表面积的取值范围为. 【点睛】本题核心技巧为等腰四面体补形为长方体，可解决线面、异面角问题. 19. 已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为． （1）当时，求证：与的交点位于轴右侧； （2）已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值． 【答案】（1）证明：，，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时，与的交点位于y轴右侧； （2） 【解析】 【分析】（1）联立与的方程，求出交点横坐标，令，判断交点横坐标的正负； （2）求出坐标，根据求出的值，利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，，， 则， 若，则，解得， 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学 高二下学期期末考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（ ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 3. 设，若为实数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 5. 一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( ) A. 180种 B. 240种 C. 360种 D. 420种 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ） A. 该组样本数据的极差为6 B. 该组样本数据的平均数为7 C. 该组样本数据的第60百分位数为7 D. 该组样本数据的标准差为 10. 已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ） A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 13. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若边，求的面积S的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 17. 某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. （1）求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； （2）记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. （3）第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 18. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为 “等腰四面体”． 已知在等腰四面体 中， 分别为所在棱的中点，如图所示． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求异面直线 与 所成的角的余弦值； （3）在空间直角坐标系 中， 平面内有椭圆 ，直线 与 交于 两点． 为空间中一点，若四面体 为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围． 19. 已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为． （1）当时，求证：与的交点位于轴右侧； （2）已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $