甘肃陇南市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 本试卷以高二数学核心知识为载体，融入安检门检测、援鄂医护拍照、乒乓球比赛等真实情境，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列（1）、函数导数（2）、概率（3）、相关系数（4）|第3题结合安检门情境考查条件概率，体现数学眼光| |多选题|3/18|二项式定理（9）、等差数列（10）、正态分布（11）|第11题关联化学实验误差，强化数学与学科融合| |填空题|3/15|数列求和（12）、导数计算（13）、相关系数（14）|第14题直接考查统计核心概念，注重基础| |解答题|5/77|函数导数应用（15）、数列交叉排列（16）、比赛概率（17）、机器人博弈（18）、极值证明（19）|17题以乒乓球5局3胜制为背景，分层设问分布列与期望，凸显数学思维与语言表达|

参考答案 1．答案：A 解析：，，，，， 2．答案：D 解析：由导数的定义可得： . 故选：D. 3．答案：B 解析：设事件A：该观众私自携带应援物品，事件B：安检门亮灯提示，则，，，，所以. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为，所以.故选B. 4．答案：A 解析：由散点图的趋势可知且接近1，，与绝对值较小， 所以最大. 5．答案：B 解析：先将领导和队长A，B和C“捆绑”，分别当作一个整体M，N，有种不同的排法. 将N与D，E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的3个位置选1个位置排，有种不同的排法，所以共有种不同的排法. 当B与D相邻时，将B安排在中间，C，D安排在B的两侧，有种排法，然后将他们3人当作一个整体P，与E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的2个位置中选1个位置排，共有种不同的排法. 故共有种不同的排法. 故选：B. 6．答案：D 解析：,, , , , 故选项D正确. 7．答案：B 解析：因为, 又因为所有回归方程都过样本中心, 所以将点代入回归方程, 得, 解得. 8．答案：A 解析：由题意可得，离散型随机变量XY的分布列为 XY 1 2 4 P 则， 又，， 所以.故选A. 9．答案：BD 解析：由题知，得到，所以展开式共有7项，故选项A错误， 对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第4项，所以选项B正确， 对于选项C，二项式的展开式的通项公式为， 由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误， 对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为1，故选项D正确. 10．答案：BC 解析：设等差数列的首项为,因为,, 则,,整理得到,, 所以,,则,,所以, 所以,即, 所以数列是递减数列,故A错误, 对于B,因为,则,所以B正确, 对于C,由,得,由,可得,所以C正确; 对于D,因为时,,时,, 所以中最大的是,故D不正确. 11．答案：ABC 解析：对于A，B，由正态曲线可知，标准差越小，总体的分布越集中，峰值越大， 反之，标准差越大，总体的分布越分散，峰值越小， 而甲组的标准差，乙组的标准差，显然甲组的标准差更小，故甲组的峰值更大，实验数据误差分布相对乙组更集中，故A，B正确； 对于C，因为X所对应的正态曲线关于直线对称，所以， 则，故C正确； 对于D，设甲组、乙组的均值分别为，，则， ， 而对于任何正态分布都有，则， 故，故D错误. 故选ABC. 12．答案： 解析：因为,,所以, 又因为, 所以是首项为3,公比为3的等比数列, 即, 所以, 所以 . 13．答案： 解析：因为， 所以，， 所以，故， 所以， 故答案为：. 14．答案： 解析： 15．答案：(1) (2) (3) 解析：(1)，，， ，，所以切线的斜率为2， 所以切线方程为 (2)依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 由以上分析知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为-3，则， (3)由已知转化为， 又时，， 由(1)知，当时，在上单调递增，值域为R，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，a的取值范围是. 16．答案：(1),; (2) 解析：(1)且,所以,数列是以1为首项,以为公差的等差数列,,. 当时,. 也适合上式,所以,. ,即, 所以,数列为等差数列,设其公差为d,则, ,所以,数列是正项等比数列,设其公比为q,则. 由题意可得,解得, 因此,; (2)数列的前n项和为, 数列的前n项和为, ①当时,; ②当时,, 特别地,当时,也适合上式; ③当时,. 综上所述,. 所以. 17．答案：（1） （2） （3）分布列见解析， 解析：（1）设“中国队以的比分获胜”为事件M， 则. （2）在韩国队先胜第1局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况： ①中国队在第2，3，4局中连胜3局，此时的概率； ②中国队在第2，3，4局中胜2局负1局，且第5局胜， 此时的概率， 所以. （3）由题意知， 则， ， ， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 则. 18．答案：(1) (2) (3) 解析：(1)设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件M， 因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或300分比赛终止. (i)当棋手得分为0分，则2局均负，即； (ii)当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即. 因为、互斥，所以 . 所以两局后比赛终止的概率为. (2)设“3局后比赛终止”为事件D，“3局后棋手挑战成功”为事件E. 因为 ， . 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 . 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为. (3)因为n局获奖励1万元，说明甲共胜2局. (i)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前局中有3负2胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， (ii)当棋手第n局以300分比赛终止，说明前局中有1负1胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得1万元奖励”的概率 ，. 所以. 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 19．答案：(1) (2)2 (3)证明见解析 解析：(1)由题意得：， 因为是函数的一个极值点， 所以，解得：， 则， 令，则，令，则， 所以是函数的一个极值点， 所以； (2)由(1)得，定义域为， 所以问题等价于在上恒成立， 构造函数，，则， 令，，则， 所以时，，在递增， 所以，所以， 所以在递增， 所以，所以， 所以实数m的最大值为2； (3)由(2)得：时，，即， 整理得， 令，则，即， 时，，时，， …， 时，， 将以上不等式两端分别相加得： ， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年陇南第一中学高二第二学期期末考试 （数学）试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知数列满足，，则(      ) A. B.1 C.2 D.3 2．已知函数，则(      ) A.-2 B.-4 C. D. 3．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为(      ) A. B. C. D. 4．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是(      ) A. B. C. D. 5．援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为(      ). A.120 B.240 C.288 D.360 6．已知随机变量X的概率分布如下表,则(      ) x 1 2 3 P a 其中 A.2 B.0.6 C.5 D.2.4 7．已知线性相关的两个变量的取值如表所示,如果其线性回归方程为,则(      ) x 3 4 6 7 y 20 40 m 80 A.50 B.60 C.70 D.75 8．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为，已知X，Y的分布列如表所示，其中，则的值为(      ) X 1 2 P p Y 1 2 P p A.0 B.1 C.2 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是(      ) A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项 C.展开式的常数项为160 D.展开式中各项的系数和为1 10．设等差数列的公差为d,前n项和.若,,,则下列结论正确的是(      ) A.数列是递增数列 B. C. D.中最大的是 11．化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差X和乙组的实验数据误差Y均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为，，则(      ) A. B.甲组的实验数据误差分布相对于乙组更集中 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列的前n项和为,且,,,则___________. 13．，则____________________． 14．相关系数 __________. 四、解答题(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（15分）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上的最大值为-3；求a的值； (3)设，若，，使得，求a的取值范围. 16．（15分）已知数列 的前n项和为,对任意,满足 且 数列满足,,其前3项和为 (1)求数列,的通项公式; (2)将数列,的项按照“当n为奇数时,放在前面;当n为偶数时,放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列:,,,,,,,,…,求这个新数列的前33 项和. 17．（15分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队.比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是. （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）假设事件“韩国队先胜第1局”，事件“中国队获得最终的胜利”，求； （3）假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第1局的前提下，求X的分布列和数学期望EX. 18．（16分）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为200，每局比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 19．（16分）已知函数（a为常数），是函数的一个极值点. (1)求实数a的值； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数m的最大值； (3)求证：. ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $