甘肃陇南市康县第一中学、第二中学、永兴中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过乒乓球比赛概率、新能源汽车满意率等现实情境题，考查数学思维与数据应用能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数性质、概率密度曲线、导数几何意义|基础概念辨析，如第3题瞬时速度考查数学眼光| |多选题|3/18|二项式定理、排列组合|综合应用，如第10题排列问题考查逻辑推理| |填空题|3/15|定积分、排列组合、等比数列|简洁计算，第13题小区安排考查应用意识| |解答题|5/77|概率分布、统计应用、函数导数综合|情境化探究，第16题比赛概率考查数学思维，第18题知识竞赛成绩分析体现数据观念|

参考答案 1．答案：C 解析：由题设, 因为定义域为,不等式两边同乘, 得到, 令或. 因为二次函数开口向上, 所以的解为或. 因为的定义域为, 所以最后不等式的解集为. 2．答案：C 解析：由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，σ越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误. 3．答案：A 解析：由题意得，所以， 即该质点在时的瞬时速度为. 故选：A. 4．答案：D 解析：由， 两边同时求导得， 令，则. 5．答案：D 解析：直线对应的函数为一次函数,故解释变量和响应变量是一次函数关系,故A正确. 因为样本点都落在直线上,所以样本相关系数,所以,所以B正确. 决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度,故决定系数,残差平方和为0,故C正确,D错误 故选:D 6．答案：C 解析：依题意，设合格项目的个数为X，则，则，.由每个项目合格得3分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又，所以当时，取得最大值42.故选C. 7．答案：D 解析：对于A：因为，由，只能得到，并不能得到事件A与B为对立事件，故A错误； 对于B：因为，， 由，只能得到，并不能得到，从而不能得出事件A与B为相互独立事件，故B错误； 对于C：由可得或，当时不能得出，故C错误； 对于D：因为，， 又，所以，故D正确. 故选：D. 8．答案：B 解析：设,则,当时,, 故在上单调递减, 而,故, 故选：B. 9．答案：AD 解析：对于A，因为的展开式中共有8项，所以， 故所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，令，可得所有项的系数和为，故B错误； 对于C，因为二项展开式的通项为，，1，2，…，7， 所以当，时，设项系数最大， 由解得则， 故第3项的系数最大，故C错误. 对于D，由为整数，且，1，2，…，7可知，r值可以为0，2，4，6， 所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.故选AD. 10．答案：ABC 解析：选项A:把甲、乙看成一个整体与其余3人全排列,有种排法, 甲、乙两人之间有种排法,所以共有种排法,A正确. 选项B:先排丙、丁、戊有种排法,丙、丁、戊形成4个空, 从4个空中选2个排甲、乙,有种排法,所以共有种排法,B正确. C选项:先从中间3个位置选一个给甲,有种方法,其余4人全排列,有种方法. 根据分步乘法计数原理,共有种排法,C正确. D选项:甲、乙站前排有种排法,丙、丁、戊站后排有种排法, 根据分步乘法计数原理,共有种排法,D错误. 故选:ABC 11．答案：BD 解析：, 当且仅当即,时取等号,故A错误； 因为且,所以, 设,, 时,的解为,的解为, 则在单调递增,单调递减,故最大值为,则的最大值是,故B正确； 令,,则, ,,所以在区间上单调递增, 又,,即, 即,, 即,故C错误； 由, ,,,, ,即,故D正确． 12．答案：7 解析：因为,故,即,解得 故答案为: 13．答案：36 解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组,选法有: 现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有: 根据分步乘法原理,可得不同的安排方法种 故答案为:36. 14．答案： 解析：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为q， 所以，， 由得，即， 解得或（舍）， 所以. 15．答案：(1) (2)时在上单调递增；时在上单调递增,在上单调递减 (3)证明见解析 解析：(1)当时,,的定义域为, 则, 故当时,；当时,. 故在上单调递增,在上单调递减； 又,故. (2)的定义域为,. 若,则当时,,故在上单调递增, 若,则当时,；当时,. 故在上单调递增,在上单调递减； (3)由(2)知,当时,在取得最大值,最大值为, 所以等价于,即, 设,则, 当时,,当时,. 所以在上单调递增,在上单调递减, 故当时,取得最大值,最大值为,所以当时,, 从而当时,,即. 16．答案：（1） （2） （3）分布列见解析， 解析：（1）设“中国队以的比分获胜”为事件M， 则. （2）在韩国队先胜第1局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况： ①中国队在第2，3，4局中连胜3局，此时的概率； ②中国队在第2，3，4局中胜2局负1局，且第5局胜， 此时的概率， 所以. （3）由题意知， 则， ， ， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 则. 17．答案：（1）0.7 （2）0.4 解析：（1）设事件表示“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，事件表示“用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，事件表示“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， 事件B表示“用户对S型新能源汽车满意”，则，，两两互斥， 且，，，，，， 由全概率公式得 . （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下发生的概率， . 18．答案：（1）80.5分 （2） （3） 解析：（1）由题意有分， 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为80.5分. （2）由题意有. 因为， 所以. 由题意得，，所以. （3）由频率分布直方图可知，成绩在和的频率分别为0.35和0.15. 按照分层随机抽样，在上应抽取份，在上应抽取份. 记事件A：抽测的3份试卷来自不同区间，事件B：抽测的3份试卷中有2份来自区间， 所以，， 所以. 所以抽测的3份试卷中有2份来自区间的概率为. 19．答案：(1) (2) (3)证明见解析 解析：(1)设直线与曲线相切于点处， 因为，所以①， 又因为②，①②联立解得，. (2)由(1)得， 对任意，存在，使得不等式成立， 等价于对任意，即可， 所以当时恒成立， 令，只需即可， 因为，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以， 又 ，，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，即b的最大值为. (3)由已知可得， 则， 令，则，， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学 高二下学期期末考试（数学）试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知函数,则不等式的解集为(      ) A. B. C. D. 2．已知，，且X和Y的分布密度曲线如图所示，则(      ) A. B. C. D. 3．一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为(      ) A. B. C. D. 4．若，则(      ) A.1 B.-1 C.6078 D.-6078 5．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上,则下列结论错误的是(      ) A.解释变量和响应变量线性相关 B.相关系数 C.决定系数 D.残差平方和等于1 6．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目.已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立.设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为EY，方差为DY，当最大时，(      ) A. B. C. D. 7．已知事件A，B，C的概率均不为0，下列说法正确的是(      ) A.若，则事件A与B为对立事件 B.若，则事件A与B为相互独立事件 C.若，则 D.若，则 8．已知,则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的展开式中共有8项，则下列结论正确的是(   ) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为 C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项 10．甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念,则(      ) A.5人站成一排,若甲、乙必须相邻,共有48种排法 B.5人站成一排,若甲、乙不能相邻,共有72种排法 C.5人站成一排,若甲不能站在两端,共有72种排法 D.5人站成两排,若甲、乙站前排,丙、丁、戊站后排,共有120种排法 11．已知x,,,设的最小值为N,且（e为自然对数的底数）,则下列说法正确的是(      ) A. B.的最大值是 C. D.若且,则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若,则________. 13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有____________________种. 14．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则________. 四、解答题(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（14分）已知函数. (1)当时,比较与的大小； (2)讨论的单调性； (3)当时,证明. 16．（14分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队.比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是. （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）假设事件“韩国队先胜第1局”，事件“中国队获得最终的胜利”，求； （3）假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第1局的前提下，求X的分布列和数学期望EX. 17．（15分）某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为，，. （1）求用户对S型新能源汽车的满意率； （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率. 18．（15分）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上，某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（每份试卷卷面共100分）制成的频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差s分别作为，的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望. （3）从成绩在区间和的试卷样本中用分层随机抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份试卷中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自不同区间，求抽测的3份试卷中有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，，. 19．（19分）已知函数，直线与曲线相切. (1)求a的值； (2)若对任意，存在，使得不等式成立，求b的最大值； (3)若，求证：对任意，有. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $