1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三课时　空间中直线、平面的垂直 1.B　∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 2.B　已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，由于v∥n，所以l⊥α，故A错误，B正确；由于v⊥n，所以l∥α或l⊂α，故C、D错误.故选B. 3.D　由题意知E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以＝（－1，0，－2），＝（－2，y－2，z），因为CF⊥B1E，所以·＝0，即2－2z＝0，即z＝1. 4.C　由题意知＝（－1，－1，－1），＝（2，0，1），＝（x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有·＝（－1，－1，－1）·（x，－1，z）＝0，得－x＋1－z＝0　①.·＝（2，0，1）·（x，－1，z）＝0，得2x＋z＝0　②，联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为（－1，0，2）. 5.B　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B（1，0，0），E（，1，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则＝（－1，y，0），＝（，1，－a）.因为BF⊥PE，即·＝（－1）×＋y＝0，解得y＝，即F（0，，0）是AD的中点，故＝1. 6.AC　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）.∴＝（－a，－a，a），＝（0，a，a），＝（－2a，2a，0）.∴·＝0，·＝0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直. 7.AD　对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×（－）＝0，则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题；对于B，a·n＝0，则a⊥n，所以l∥α或l⊂α，故B是假命题；对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题；对于D，易得＝（－1，1，1），＝（－1，1，0），因为向量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，所以即得u＋t＝1，故D是真命题. 8.－9　解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9. 9.（－2，4，1）或（2，－4，－1）　解析：由题意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.设n＝（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴即 可得∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 10.解：（1）以B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.所以B（0，0，0），A1（0，，），A（0，，0），M（1，0，）， 则＝（1，－，），AM＝｜｜＝＝. （2）证明： 由（1）知，＝（1，－，），＝（0，，）， 则·＝（1，－，）·（0，，）＝0， 所以AM⊥BA1. 11.D　由题设知△ABC为边长为的等边三角形，且DA＝DB＝DC＝2，等边△ABC的高为＝，在正三棱锥中，以O为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴建系，如图所示，则A（0，－1，0），B（，，0），C（－，，0），D（0，0，），且P（0，0，λ），所以＝（0，1，λ），＝（，，－λ），＝（，0，0），设m＝（x，y，z）为平面PBC的法向量，则即令z＝1，得m＝（0，2λ，1），又PA⊥平面PBC，则＝km且k为实数，故λ＝.故选D. 12.BC　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），＝（0，1，0），＝（－1，0，0），从而有·＝0＋0＋1＝1，故A错误；·＝0，故B正确；·＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1，y＝1，故n＝（1，1，1），·n＝－1，故D错误. 13.（－，，1）　（4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即可） 解析：设M（x，y，z）.∵＝（1，－1，0），＝（2，1，－4），＝（x，y，z－1），＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题意，得∴∴点M的坐标为（－，，1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n·＝x1－y1＝0，n·＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝，∴n＝（1，1，）.设点N的坐标为（a，b，c），则＝（a，b，c－1）.由题知，∥n，即＝＝.∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0. 14.证明：（1）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）. 因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形. 所以C（，，0），E（，，），＝（，，0）， 设D（0，y1，0），则＝（－，y1－，0）， 由AC⊥CD得·＝0， 即－＋（y1－）＝0，解得y1＝，则D（0，，0）， 所以＝（－，，0）. 又＝（，，）， 所以·＝－×＋×＝0， 所以⊥，即AE⊥CD. （2）法一　　由（1）知＝（1，0，0），＝（，，）， 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令y＝2，则n＝（0，2，－）. 又＝（0，，－1），显然＝n，所以∥n， 所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 法二　由（1）知＝（，，），＝（0，，－1）. 所以·＝×＋×（－1）＝0， 所以⊥，即PD⊥AE. 由（1）知＝（1，0，0），所以·＝0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 15.解：（1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC. 过A作AH⊥BC于H（图略），则BH＝1，AH＝，CH＝3， ∴AC＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. （2）存在.理由如下： 由（1）知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（－1，，2）. 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合， 设＝λ，λ＞0，则＝λ， 设P（a，b，c），则（a－2，b，c）＝λ（－1－a，－b，2－c），得P（，，）. 设平面PAC的法向量为m＝（x，y，z）. 由＝（，，），＝（0，2，0），得 即 令x＝1，则z＝， ∴m＝（1，0，）为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n＝（1，，1）为平面BCEF的一个法向量. 当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　空间中直线、平面的垂直 1.若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2，0），则α与β的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 2.已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项中正确的是（　　） A.v∥n⇔l∥α B.v∥n⇔l⊥α C.v⊥n⇔l∥α D.v⊥n⇔l⊥α 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　） A.y－z＝0 B.2y－z－1＝0 C.2y－z－2＝0 D.z－1＝0 4.已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　　） A.（1，0，－2） B.（1，0，2） C.（－1，0，2） D.（2，0，－1） 5.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝（　　） A.　　　　B.1 C.2　　　　D.3 6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　） A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直 7.〔多选〕给出下列命题，其中是真命题的是（　　） A.若直线l的方向向量a＝（1，－1，2），直线m的方向向量b＝（2，1，－），则l与m垂直 B.若直线l的方向向量a＝（0，1，－1），平面α的法向量n＝（1，－1，－1），则l⊥α C.若平面α，β的一个法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α⊥β D.若平面α经过三点A（1，0，－1），B（0，1，0），C（－1，2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u＋t＝1 8.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z），向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝　　　　. 9.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为　　　　. 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝2，AA1＝，M是CC1的中点. （1）求AM的长； （2）求证：AM⊥BA1. 11.如图，在正三棱锥D-ABC中，AB＝，DA＝2，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且＝λ，若PA⊥平面PBC，则实数λ＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 12.〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中正确的是（　　） A.·＝0 B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 13.已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为　　　　；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是　　　　　. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点. （1）求证：AE⊥CD； （2）求证：PD⊥平面ABE. 15.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. （1）求证：AC⊥BF； （2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $