1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 学历案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第 11 期） 主备人：曹瑜娟 1.4.1（3）空间中直线、平面的垂直 自主学习【学】 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量 ；直线与平面垂 直，就是直线的方向向量与平面的法向量 ；平面与平面垂直，就是两平 面的法向量 . 如图(1) ，设直线 l1 ，l2 的方向向量分别为 u1 、u2 ，则 l1 ⊥l2 ⇔ ⇔ . ________ (1) (2) (3) 如图(2)，设直线 l 的方向向量为 u，平面α的法向量为 n，则 l⊥α⇔ ⇔ . _____________ 如图(3) ，设平面α , β的法向量分别为 n1 ，n2 ，则 α⊥β⇔ ⇔ . 师生研学【研】 例 1 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1 ，以 D 为原点为单 位正交基底建立空间直角坐标系. 求证：直线A1C 丄 BC1 . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 练 1 如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1 C1 的各棱长都为 1，M 是底 面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝CC1.求证： AB1 ⊥MN. 例 2 如图 1.4-14 ，在平行六面体ABCD 一 A1B1C1D1 中， AB = AD = AA1 = 1 ，上A1AB = 上A1AD = 上BAD = 60O ，求证： 直线A1C 丄 平面BDD1B1 . 例 3 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面 垂直. 已知：如图 1.4-15 ， l 丄 α , l β , 求证： α 丄 β . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 例 4 如图，在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC ＝CD，∠BCD ＝90° , ∠ADB =30° , E 、F 分别是 AC 、AD 的中点. 求证：平面 BEF⊥平面 ABC. 训练提升【练】 1.已知 = (3, a + b, a — b)(a, b ∈ R) 是直线 l的方向向量， = (1, 2, 3) 是平面α 的法 向量. （1）若l/ /α , 求 a ，b 的关系式； （2）若l 丄 α , 求 a ，b 的值. 2.如图，在长方体ABCD — A1B1C1D1 中，AB = 2 ，BC = CC1 = 1，E 是 CD 的中点， F 是 BC 的中点．求证：平面EAD1 丄 平面EFD1 . 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 3. 如图所示, 在四棱锥 P- ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 垂足为 A,AB⊥AD 于 A, AC⊥CD 于 C, ∠ABC=60°, PA= AB= BC, E 是 PC 的中点. 求证: (1) AE⊥CD; (2) PD⊥平面 ABE. E D A B C P 4.如图，在四棱锥E－ABCD 中，AB⊥平面 BCE ，CD⊥平面 BCE，AB ＝BC = CE ＝2CD ＝2 ， ∠BCE ＝120° , 求证：平面 ADE⊥平面 ABE. 师生总结【结】 1 ．知识网络 2 ．在证明线面垂直关系时，不要混淆直线的方向向量，平面的法向量与直 线、平面的对应关系. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $