1.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间向量运算的坐标表示核心知识点，通过类比平面向量运算，系统梳理空间向量加减、数乘、数量积的坐标表示，共线与垂直的坐标条件，以及模、夹角公式和两点间距离公式，构建从概念探究到几何应用的学习支架。 资料以问题链引导类比推理，如通过平面向量运算类比空间向量坐标表示，培养数学思维。结合正方体、三棱柱等几何模型设计例题，将坐标运算与线面关系证明结合，提升数学建模能力。分层训练题和课堂小结帮助学生课中理解知识，课后查漏补缺，强化数学运算与逻辑推理素养。

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课标要求 1.掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）. 2.会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 　　前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，能否可以探究出空间向量运算的坐标表示呢？ 知识点一｜空间向量运算的坐标表示 问题1　（1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b的坐标表示吗？ 提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3），λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. （2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？ 提示：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a·b＝（a1i＋a2j＋a3k）·（b1i＋b2j＋b3k）.利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 【知识梳理】 1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝　（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 减法 a－b＝　（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 数乘 λa＝　（λa1，λa2，λa3）　（λ∈R） 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 2.设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝　（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标　减去　起点坐标. 【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝，q＝，求下列各式的值： （1）p＋2q； 解：由于A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，－1，－2）， 所以p＝＝（2，1，3），q＝＝（2，0，－6）. p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）. （2）3p－q； 解：3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）. （3）（p－q）·（p＋q）. 解：（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2＝（22＋12＋32）－[22＋02＋（－6）2]＝－26. 【规律方法】 空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解方程（组），求出其坐标. 训练1　（1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（　D　） A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24） C.（－6，8，24） D.（－5，6，24） 解析：∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D. （2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件＝（－）的点P的坐标为（5，，0）. 解析：法一（直接法）　因为＝（－），所以－＝，＝＋（－）＝（2，－1，2）＋[（4，5，－1）－（－2，2，3）]＝（5，，0），所以点P的坐标为（5，，0）. 法二（间接法）　设P（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.因为＝（－）＝（3，，－2），所以解得则点P的坐标为（5，，0）. 知识点二｜空间向量平行、垂直的坐标表示 问题2　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b的坐标表示吗？ 提示：a∥b⇒（a1，a2，a3）＝λ（b1，b2，b3）（λ∈R）⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3；a⊥b⇒a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 【知识梳理】 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有： （1）平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔　a1＝λb1　，　a2＝λb2　，　a3＝λb3　（λ∈R）； （2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　. 　　提醒：（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb（b≠0）；（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 【例2】（链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； 证明：如图，以A为坐标原点，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）.由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）. ＝（1，0，1），＝（，0，），＝（－，－，）. 因为＝2，·＝1×（－）＋1×＝0， 所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH. （2）A1G⊥平面EFD. 证明：＝（，1，－1），＝（1，－，0），＝（1，0，）. 因为·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0， 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE. 因为DF∩DE＝D，DF，DE⊂平面EFD，所以A1G⊥平面EFD. 【规律方法】 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 训练2　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A.1 B. C. D. 解析：D　ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2），（ka＋b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝. （2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求 证：AM∥平面BDE. 证明：如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为（，，0），（0，0，1）. ∴＝（－，－，1）. 又点A，M的坐标分别是（，，0），（，，1）， ∴＝（－，－，1）. ∴＝.又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 知识点三｜空间夹角、距离的计算 问题3　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推导出空间两点的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1）， 于是｜｜＝＝ ， 所以P1P2＝｜｜＝ ， 因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， 则AB＝｜｜＝ . 【知识梳理】 1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝　　. 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜｜＝　　. 　　提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜；（2）求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式. 【例3】（链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，AA'＝2，点N是A'A的中点. （1）求｜｜； 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）. 则＝（1，－1，1）， ｜｜＝＝. （2）求cos＜，＞的值. 解：由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B'（0，1，2）. 因为＝（1，－1，2），＝（0，1，2）， 所以｜｜＝＝， ｜｜＝＝， ·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3， cos＜，＞＝＝＝. 【规律方法】 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题. 训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. （1）求BP的长； 解：如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）. 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2. ∴P（0，0，2）. ∴BP＝＝4. （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解：由（1）得，＝（2，0，－2）， ＝（－2，－3，0）， ∴cos＜，＞＝ ＝＝－， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为. 向量概念的推广 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝（a1，a2，…，an）. 对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则 a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）； λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R； a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn； ｜a｜＝. n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的“距离”｜AB｜＝. 【迁移应用】 某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩. 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即 ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）， 其中aij为第j门课程的平均成绩. 1.〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　） A.a＋b＝（7，－5，0） B.a－b＝（5，－1，4） C.a·b＝8 D.｜a｜＝ 解析：AC　因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝＝3，故D不正确.故选A、C. 2.〔多选〕已知a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），则下列结论不正确的是（　　） A.b∥c B.a∥b C.a⊥b D.a⊥c 解析：ABD　对于A，由向量b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），可得≠≠，所以向量b与c不共线，所以A不正确；对于B，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），可得≠≠，所以向量a与b不共线，所以B不正确；对于C，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），可得a·b＝2×2＋3×0＋（－1）×4＝0，所以a⊥b，所以C正确；对于D，由a＝（2，3，－1），c＝（－4，－6，2），可得a·c＝2×（－4）＋3×（－6）＋（－1）×2≠0，所以向量a与c不垂直，所以D不正确.故选A、B、D. 3.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为. 解析：∵＝（0，3，3），＝（－1，1，0），∴｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴cos＜，＞＝＝，又∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝. 4.如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. （1）写出点E，F的坐标； （2）求证：A1F⊥C1E. 解：（1）E（a，x，0），F（a－x，a，0）. （2）证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a）， ∴＝（－x，a，－a），＝（a，x－a，－a）， ∴·＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0， ∴⊥，∴A1F⊥C1E. 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量的坐标运算； （2）空间向量平行、垂直的坐标表示； （3）空间向量夹角、模的坐标表示. 2.应体会 （1）在探究空间向量运算的坐标表示时，运用了类比联想的数学思想； （2）在证平行与垂直、求长度及夹角时要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 （1）两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； （2）讨论向量夹角时，易忽略向量共线的情况； （3）要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别. 1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B. 2.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°. 3.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（　　） A. B. C.1 D. 解析：D　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，∴即解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝. 4.在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B（1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　） A.（－1，－1，3） B.（3，0，1） C.（1，1，2） D.（1，－1，2） 解析：B　由＝（1，2，1），＝（1，－1，0），显然，不共线，根据平面向量基本定理可得＝λ＋μ＝（λ＋μ，2λ－μ，λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符合条件，此时λ＝1，μ＝2.故选B. 5.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：C　∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定是直角三角形. 6.〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的有（　　） A.（2a＋b）∥a B.5｜a｜＝｜b｜ C.a⊥（5a＋6b） D.a与b夹角的余弦值为 解析：BC　因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而≠≠，所以2a＋b与a不共线，故A不正确；因为｜a｜＝，｜b｜＝5，所以5｜a｜＝｜b｜，故B正确；因为a·（5a＋6b）＝5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，所以a⊥（5a＋6b），故C正确；因为a·b＝－5，所以cos＜a，b＞＝＝－，故D不正确. 7.〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（　　） A.若｜a｜＝2，则m＝± B.若a⊥b，则m＝－1 C.不存在实数λ，使得a＝λb D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2） 解析：AC　由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误. 8.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是. 解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为. 9.在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为（3，0，1）. 解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三点共线，则∥，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所以＝（a－1，2，b＋3），＝（1，1，2），则＝＝，解得则P（3，0，1）. 10.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：CF⊥平面DEF； （2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），C（0，1，0），F（，，0），G（1，1，）. 所以＝（1，1，0），＝（，，－），＝（，－，0），＝（1，0，），＝（0，－1，）. （1）证明：因为·＝×1－×1＝0，·＝×－×＝0， 所以⊥，⊥，即CF⊥DB，CF⊥EF， 又DB，EF⊂平面DEF，DB∩EF＝F， 故CF⊥平面DEF. （2）因为·＝×1＋×0＋（－）×＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝， 所以cos＜，＞＝＝＝. 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. 11.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（　　） A.（－∞，－6） B.（－∞，－6）∪（－6，） C.（，＋∞） D.（－∞，） 解析：B　因为向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，所以a·b＜0，且a，b不共线，则a·b＝－10＋3t＜0，解得t＜.当a∥b时，t＝－6，所以实数t的取值范围为（－∞，－6）∪（－6，）.故选B. 12.已知向量a＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为（　　） A.（，－，） B.（，－，－） C.（－，－，） D.（－，－，－） 解析：C　设＝λ，因为A（－3，－1，4），B（－2，－2，2），所以＝（1，－1，－2），＝（λ，－λ，－2λ），＝（3，1，－4），＝－＝（λ－3，－λ－1，－2λ＋4），因为⊥a，所以－2（λ－3）＋（－λ－1）＋（－2λ＋4）＝0，解得λ＝，又A（－3，－1，4），＝（，－，－），所以点E的坐标为（－，－，）. 13.已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为28. 解析：由已知得＝（2，－6，4），＝（－4，－2，6），所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝2，所以cos＜，＞＝＝＝，又＜，＞∈[0，π]，则sin＜，＞＝＝，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝×2×2××2＝28. 14.在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题. 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），所以·＝4－2（a＋b），·＝8－2b. 选择①：因为（＋）⊥（－）， 所以（＋）·（－）＝0，＝，得a＝b， 若·＝0，得4－2（a＋b）＝0，则a＝b＝1， 故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝6. 选择②：因为｜｜＝，所以＝，得a＝， 若·＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝. 故存在点E（0，，2），F（，2，2），满足EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝5. 选择③：因为0＜cos＜，＞＜1，所以与不共线， 所以b≠2－a，即a＋b≠2， 则·＝4－2（a＋b）≠0， 故不存在点E，F满足EF⊥A1C. 15.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]. （1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若＝，求向量的斜60°坐标； ②若＝[2，t，0]，且⊥，求｜｜. 解：（1）由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k， 所以a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k， 所以a＋b＝[0，3，5]. （2）设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k， ①＝－ ＝（＋）－（＋） ＝－＋＋ ＝－2i＋2j＋k＝［－2，2，］. ②由题得＝＋＋＝2i＋2j＋3k， 因为＝[2，t，0]，所以＝2i＋tj， 由⊥知·＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0⇒4i2＋2tj2＋（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0⇒4＋2t＋（4＋2t）·＋3＋＝0⇒t＝－2. 则｜｜＝｜2i－2j｜＝ ＝＝＝2. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $