1.1 空间向量及其运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“空间向量及其运算”核心知识点，从空间向量的概念（定义、模、零向量等）出发，逐步延伸至线性运算（加减、数乘）、共线共面充要条件，最终衔接数量积运算（夹角、运算律、投影），构建递进式学习支架。 该资料通过题型示例（如正方体中向量辨析）与跟踪训练，结合具体实例培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）和符号表达（数学语言），课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固知识、弥补盲点。

第一章 空间向量和立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点一、空间向量及其相关概念 1.空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. 2.零向量和单位向量 （1）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0.规定：零向量的方向是任意的. （2）单位向量：模为1的向量称为单位向量. 3.共线向量 （1）如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a∥b平行，记作a∥b. （2）规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 4.相等向量和相反向量 （1）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量. （2）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a. 向量的相反向量为. 知识点二、空间向量的线性运算 1.加法运算 （1）三角形法则：首尾顺次相接，首指向尾为和.如图所示：a＋b＝＋＝. （2）平行四边形法则：共起点的两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线为两向量的和. 如图所示：a＋b＝＋＝. 2.减法运算 三角形法则：共起点，连终点，指向被减.如图所示：a－b＝. 3.数乘运算 定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算. 几何意义 当λ>0时，λa＝λ＝ 当λ<0时，λa＝λ＝ 当λ＝0时，λa＝0 知识点三、空间向量共线、共面的充要条件 1.空间向量共线的充要条件 （1）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.（此定理可以用来证明两直线平行或三点共线） （2）直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2.空间向量共面的充要条件 （1）共面向量 ①向量与直线平行：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. ②向量与平面平行：如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. ③共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 共面向量定理的推论： ①若A、B、C三点不共线，则空间一点P位于平面ABC内存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有. ②四点P，A，B，C共面对空间任意一点O（O不在平面ABC内），都有，且x+y+z=1. 题型一：空间向量的概念及应用 例1.（多选）下列命题正确的有（ ） A.两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同 B.在正方体中，必有 C.若空间向量满足，则 D.空间中任意两个单位向量必相等 例2.下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 跟踪训练： 1.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2.(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的加法满足结合律 D．任一向量与它的相反向量不相等 3.如图所示，几何体为正六棱柱，在连接顶点的向量中： （1）写出与相等的向量； （2）与,,相等吗？ 题型二：空间向量的加减运算 例1.如图，已知空间四边形，连接，分别是的中点，化简： (1); (2). 例2.如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． (1) ； (2). 跟踪训练： 1.(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A. B. C. D. 2.化简：. 题型三：空间向量的数乘运算 例1.如图,在四面体中,分别为棱的中点，连接,交于点,则为的重心，连接.化简下列各式: (1); (2). 例2.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1) ； (2) ； (3) . 跟踪训练： 1.在平行六面体 中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 2.在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式． （1）； （2）． 题型四：共线向量定理的应用 例1.如图所示，已知四边形是空间四边形，分别是边的中点，分别是边上的点，且.求证：四边形是梯形. 例2.在四面体中，点分别为的中点，若，且三点共线，则（ ） A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，则 . 2.如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且. 求证：三点共线. 3.如图所示，已知四边形都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，分别是的中点，求证：. 题型五：共面向量定理的应用 例1.如图所示，在平行六面体中，分别在和上，，，求证：四点共面. 例2.如图所示，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且，求证：. 跟踪训练： 1.已知三点不共线，平面外一点满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)判断是否在平面内. 2.已知分别是空间四边形的边的中点. 求证：（1）四点共面. （2）平面. 3.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且.求证：向量共面. 1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设，，是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 3.设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是( ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 4.满足下列条件，能说明空间不重合的，，三点共线的是( ) A. B. C. D. 5.若空间中任意四点，，，满足，其中，则( ) A.直线 B.直线 C.点可能在直线上，也可能不在直线上 D.以上都不对 6.化简： . 7.已知点在平面内，并且对空间任意一点，有，则的值为( ) A.1 B.0 C.3 D. 8.已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是 . 1.（多选）下列说法中，正确的是（ ） A.模为0是一个向量方向不确定的充要条件 B.若向量、满足，且与同向，则 C.若两个非零向量、满足，则、互为相反向量 D.的充要条件是与重合，与重合 2.化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 3.在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（ ） A. B. C. D. 4.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ） A.，， B. ，， C.，， D.，， 5.已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6.（多选）下列命题中错误的是（ ） A.若、、是空间任意四点，则 B.是、共线的充要条件 C.若共线，则直线，可能重合，故B错误； D.对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面 7.若，，，为空间四点，且，则是，，三点共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.平面内有五点，，，，，其中无三点共线，为空间一点，满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 9.如图，在长方体中，为的中点. (1)化简 . (2)用，，表示，则 . 10.有下列命题： ①若，则，，，四点共线； ②若，则，，三点共线； ③若，为不共线的非零向量，，，则； ④若向量，，是三个不共面的向量，且满足等式，则. 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）. 11.已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若确定的一点与，，三点共面，则 . 12.在平行六面体中，若，则 . 13.如图，在平行六面体中，，分别是，在上且，在上且，判断与是否共线. 14.如图，已知，，，，，，，，为空间的9个点，且，，，（此处原文可能有误，通常为或类似关系，且提到但未在已知条件定义，推测等），且，. （1）求证：，，，四点共面，，，，四点共面； （2）求证：，，三点共线. 15.如图所示，在平行六面体中，设，，.，，分别是，，的重心（原文写重心，但解析按中点计算，此处保留原文描述），试用，，表示下列各向量： （1）；（2）；（3）. 16.如图，已知，分别为四面体面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线. 1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 3.向量垂直：当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二、空间向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.已知两个非零向量a，b，他们夹角为θ， （1）a⊥b⇔a·b＝0. （2）a·a＝a2＝|a|2. （3）夹角公式：. 3.运算律 （1）(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. （2）a·b＝b·a(交换律)． （3）a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三、空间向量的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 题型一：空间向量数量积运算 例1.如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，求： （1）; （2）; （3）; （4）. 例2.已知长方体中，，， 为侧面的中心，为的中点，求： （1）； （2）. 跟踪训练： 1.已知,,和是相互垂直的单位向量，则等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知正方形的边长为2,为的中点，则 . 3.若空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4.已知空间单位向量两两的夹角都是，则向量和的夹角为（ ） A. B. C. D. 题型二：数量积的应用 例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 例2.在正三棱柱中，，为棱的中点，求异面直线与所成角的大小. 跟踪训练： 1.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.求证：. 2.如图，在直三棱柱中，，，棱，点为的中点. （1）求的模； （2）求的值. 3.已知正三棱柱的各棱长都为，分别是的中点，求的长. 题型三：求投影向量 例1.如图，四棱柱的底面是矩形，，，，，为棱的中点，则 ，在上的投影向量是 . 跟踪训练： 1.已知空间四边形中，，且，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 2.已知两个向量满足，则在方向上的投影向量为 ，投影向量的模为 . 3.如图，在三棱锥中，平面，，，. （1）确定在方向上的投影向量，并求出投影的数量； （2）确定在方向上的投影的数量. 1.如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知空间四边形中，，，则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知向量和的夹角为，且，，则等于( ) A.13 B. C.4 D.12 4.已知为单位向量，且，若，，，则实数的值为( ) A. B.3 C.6 D. 5.已知，，，则. 6.如图，在正四棱台中，分别是对角线的中点，则 ， ， . 7.如图，正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，若棱上有一点，满足且，则 . 8.如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角. 1.设为空间中的三个非零向量，下列说法正确的是 A. B. C. D.若，则 2.如图，已知正方体的棱长为，则 A. B. C. D. 3.已知两异面直线的方向向量分别为,且,则两直线的夹角为( ) A. B. C. D. 4.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，则的值为( ) A. B. C. D. 5.已知在平行六面体中，,且这三条棱彼此之间的夹角都是,则的长为( ) A.6 B. 3 C. D. 6.设平面上有四个互异的点,已知,则是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 .     8.已知与垂直，且与垂直，则 .        9.已知空间向量满足,则向量的夹角为 . 10.已知空间向量满足,则的值为 . 11.已知是异面直线，,且,则与所成的角是 . 12.已知棱长为的正方体的上底面的中心为,则的值为 .  13.如图，正四棱锥的各棱长都为. （1）用向量法证明; （2）求的值. 14.如图，已知正方体，与相交于点，连接. 求证：(1)； （2）平面. 15.如图所示，已知线段在平面内，线段，，且，，线段与所成的角为，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量和立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点一、空间向量及其相关概念 1.空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. 2.零向量和单位向量 （1）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0.规定：零向量的方向是任意的. （2）单位向量：模为1的向量称为单位向量. 3.共线向量 （1）如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a∥b平行，记作a∥b. （2）规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 4.相等向量和相反向量 （1）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量. （2）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a. 向量的相反向量为. 知识点二、空间向量的线性运算 1.加法运算 （1）三角形法则：首尾顺次相接，首指向尾为和.如图所示：a＋b＝＋＝. （2）平行四边形法则：共起点的两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线为两向量的和. 如图所示：a＋b＝＋＝. 2.减法运算 三角形法则：共起点，连终点，指向被减.如图所示：a－b＝. 3.数乘运算 定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算. 几何意义 当λ>0时，λa＝λ＝ 当λ<0时，λa＝λ＝ 当λ＝0时，λa＝0 知识点三、空间向量共线、共面的充要条件 1.空间向量共线的充要条件 （1）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.（此定理可以用来证明两直线平行或三点共线） （2）直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2.空间向量共面的充要条件 （1）共面向量 ①向量与直线平行：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. ②向量与平面平行：如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. ③共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 共面向量定理的推论： ①若A、B、C三点不共线，则空间一点P位于平面ABC内存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有. ②四点P，A，B，C共面对空间任意一点O（O不在平面ABC内），都有，且x+y+z=1. 题型一：空间向量的概念及应用 例1.（多选）下列命题正确的有（ ） A.两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同 B.在正方体中，必有 C.若空间向量满足，则 D.空间中任意两个单位向量必相等 解：当两个向量的起点相同，终点也相同时，它们必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定分别相同，故A错误. 在正方体中，向量与的方向相同，模也相等，必有，故B正确. 相等向量满足传递性，故C正确. 空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D错误. 故选：BC. 例2.下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．故答案为：①. 跟踪训练： 1.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 解：A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小.故选D. 2.(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的加法满足结合律 D．任一向量与它的相反向量不相等 解：|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC. 3.如图所示，几何体为正六棱柱，在连接顶点的向量中： （1）写出与相等的向量； （2）与,,相等吗？ 解：(1). (2)由正六棱柱的性质可知，与,,平行且相等，所以. 题型二：空间向量的加减运算 例1.如图，已知空间四边形，连接，分别是的中点，化简： (1); (2). 解：(1). (2)如图，连接. 因为分别为的中点，所以, 所以. 例2.如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． (1) ； (2). 解：(1). (2). 向量.，如图所示． 跟踪训练： 1.(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A. B. C. D. 解：A中，； B中，； C中，； D中，.故选AB. 2.化简：. 解： . 题型三：空间向量的数乘运算 例1.如图,在四面体中,分别为棱的中点，连接,交于点,则为的重心，连接.化简下列各式: (1); (2). 解：(1)如图1-1-11,连接.因为分别是的中点， 所以.因为是的重心，所以. 所以. （2）如图,连接,因为是的中点，所以. 因为是的中点，所以. 所以. 例2.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1) ； (2) ； (3) . 解：（1）. （2）因为是的中点，所以，又， 所以. （3）. 向量如图所示. 跟踪训练： 1.在平行六面体 中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 解：．故选：A. 2.在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式． （1）； （2）． 解：(1) 因为 是 的重心，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以由向量的加法法则，可知 ． 从而 ． （2）如图所示，分别取 ， 的中点 ，，连接 ，， 则四边形为平行四边形，且有，，而 ，， 所以． 题型四：共线向量定理的应用 例1.如图所示，已知四边形是空间四边形，分别是边的中点，分别是边上的点，且.求证：四边形是梯形. 证明：分别是的中点，， 则 ， 且.又不在直线上，四边形是梯形. 例2.在四面体中，点分别为的中点，若，且三点共线，则（ ） A. B. C. D. 解：若三点共线，则存在实数，使得． ，．又， 所以解得，所以．故选：B. 跟踪训练： 1.已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，则 . 解：由于三点共线，所以存在实数，使得，即， 所以，所以，所以.故答案为：1. 2.如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且. 求证：三点共线. 证明：设，因为， 所以，所以， ， 所以. 又， 所以，所以三点共线. 3.如图所示，已知四边形都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，分别是的中点，求证：. 证明：分别是的中点，又四边形都是平行四边形， ， 又， ， ， .点不在上，. 题型五：共面向量定理的应用 例1.如图所示，在平行六面体中，分别在和上，，，求证：四点共面. 证明：(方法1)(证明) 因为. 所以共面.又因为有公共点，所以四点共面. (方法2)(证明且) 则 . 所以四点共面. 例2.如图所示，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且，求证：. 证明： . 因为与不共线，所以共面.又因为，所以. 跟踪训练： 1.已知三点不共线，平面外一点满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)判断是否在平面内. 解：(1)， ， ， 向量共面. (2)由(1)知，向量共面，而它们有共同的起点，且三点不共线， 共面，即在平面内. 2.已知分别是空间四边形的边的中点. 求证：（1）四点共面. （2）平面. 证明：如图，连接. ①因为，由向量共面的充要条件知向量共面，即四点共面. ②因为，所以. 又平面,平面，所以平面. 3.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且.求证：向量共面. 证明：因为在上，且，所以. 同理.所以. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面. 1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：由题意可知“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”必要不充分条件. 故选：B. 2.设，，是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 解：.故选：C. 3.设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是( ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 解：，.且.四边形为平行四边形.故选：A. 4.满足下列条件，能说明空间不重合的，，三点共线的是( ) A. B. C. D. 解：可得共线.故选：C. 5.若空间中任意四点，，，满足，其中，则( ) A.直线 B.直线 C.点可能在直线上，也可能不在直线上 D.以上都不对 解：因为，所以，所以，即， 即，所以与共线.又，有公共起点，所以，，三点在同一直线上，即直线.故选：A. 6.化简： . 解：. 故答案为：. 7.已知点在平面内，并且对空间任意一点，有，则的值为( ) A.1 B.0 C.3 D. 解：，且，，，四点共面，，. 故选D. 8.已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是 . 解：若与共线，则，所以，所以. 故答案为：. 1.（多选）下列说法中，正确的是（ ） A.模为0是一个向量方向不确定的充要条件 B.若向量、满足，且与同向，则 C.若两个非零向量、满足，则、互为相反向量 D.的充要条件是与重合，与重合 解：A正确，模为0的向量方向是确定的. B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. C正确，由，得，所以、互为相反向量. D错误，的充要条件是，且、同向，但与，与不一定重合. 故选：AC. 2.化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 解：，故选C. 3.在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（ ） A. B. C. D. 解：在A选项中，.故选：A. 4.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ） A.，， B. ，， C.，， D.，， 解：因为，故，又与有公共点，所以，，三点共线.故选：B. 5.已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 解：.又为空间任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，且四点共面，，解得.故选：C. 6.（多选）下列命题中错误的是（ ） A.若、、是空间任意四点，则 B.是、共线的充要条件 C.若共线，则直线，可能重合，故B错误； D.对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面 解：显然A正确； 若、共线，则或，故B错误； 若共线，则直线，可能重合，故C错误； 只有当时，，，，四点才共面，故D错误.故选：BCD. 7.若，，，为空间四点，且，则是，，三点共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若，则，即，显然，，，三点共线；若，，三点共线，则有，故，整理得，令，，则，故选C. 8.平面内有五点，，，，，其中无三点共线，为空间一点，满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 解：由，，，共面可得：，得①. 由，，，共面可得，得②. 联立①②可得，，则.故选：D. 9.如图，在长方体中，为的中点. (1)化简 . (2)用，，表示，则 . 解：(1). (2)因为，所以. 10.有下列命题： ①若，则，，，四点共线； ②若，则，，三点共线； ③若，为不共线的非零向量，，，则； ④若向量，，是三个不共面的向量，且满足等式，则. 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）. 解：根据共线向量的定义，若或，且，，四点共线，故①错误，②正确；由于，所以；③正确；④也正确.故答案为：②③④. 11.已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若确定的一点与，，三点共面，则 . 解：根据，，，四点共面的条件，知存在实数，，使得成立，其中，于是，所以.故答案为：. 12.在平行六面体中，若，则 . 解：在平行六面体中，，又， 所以，，，则，，.所以.故答案为：6 13.如图，在平行六面体中，，分别是，在上且，在上且，判断与是否共线. 解：由题意，得.即，与共线. 14.如图，已知，，，，，，，，为空间的9个点，且，，，（此处原文可能有误，通常为或类似关系，且提到但未在已知条件定义，推测等），且，. （1）求证：，，，四点共面，，，，四点共面； （2）求证：，，三点共线. 解：(1)因为， 所以共面，即四点共面. 因为， 所以共面，即四点共面. (2)连接. 由题意可知， 所以. 所以三点共线. 15.如图所示，在平行六面体中，设，，.，，分别是，，的重心（原文写重心，但解析按中点计算，此处保留原文描述），试用，，表示下列各向量： （1）；（2）；（3）. 解：(1)是的中点， a＋c＋b. (2)是的中点，. (3)是的中点， . 16.如图，已知，分别为四面体面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线. 证明：设，，. 则 ， ， . . 又与有公共点，，，三点共线. 1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 3.向量垂直：当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二、空间向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.已知两个非零向量a，b，他们夹角为θ， （1）a⊥b⇔a·b＝0. （2）a·a＝a2＝|a|2. （3）夹角公式：. 3.运算律 （1）(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. （2）a·b＝b·a(交换律)． （3）a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三、空间向量的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 题型一：空间向量数量积运算 例1.如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，求： （1）; （2）; （3）; （4）. 解：（1）. （2）. （3）. （4） . 例2.已知长方体中，，， 为侧面的中心，为的中点，求： （1）； （2）. 解：如图，连接，设 ，，， 则，，. （1） =. （2）. 跟踪训练： 1.已知,,和是相互垂直的单位向量，则等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：且,.故选：A. 2.已知正方形的边长为2,为的中点，则 . 解：,， .故答案为：2. 3.若空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 解：, .故选：C. 4.已知空间单位向量两两的夹角都是，则向量和的夹角为（ ） A. B. C. D. 解：由题意，得， 所以 , . 设向量和的夹角为,则.故选：C. 题型二：数量积的应用 例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：设，，， 则，，，. ， ，， . 于是，即.同理可证，即. 又，平面，平面，平面. 例2.在正三棱柱中，，为棱的中点，求异面直线与所成角的大小. 解：如图，. . 由，且侧棱和底面垂直.得. 所以 . ，所以. 又，所以，所以异面直线与所成角的大小为. 跟踪训练： 1.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.求证：. 证明：在中，，， 由余弦定理得，，所以， 所以，则.由底面，知，则. 又，所以，即. 2.如图，在直三棱柱中，，，棱，点为的中点. （1）求的模； （2）求的值. 解：由已知得，，. ，所以. （1）因为， 所以， 所以. （2）因为，， 所以， ，，， ， 所以. 3.已知正三棱柱的各棱长都为，分别是的中点，求的长. 解：如图，设， 由题意知，且. 因为， 所以，所以，所以. 题型三：求投影向量 例1.如图，四棱柱的底面是矩形，，，，，为棱的中点，则 ，在上的投影向量是 . 解：由题图可知， 所以 = ==. . 故在上的投影向量是. 跟踪训练： 1.已知空间四边形中，，且，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 解：根据，得，所以，所以在方向上的投影向量是.故选：A. 2.已知两个向量满足，则在方向上的投影向量为 ，投影向量的模为 . 解：由题意知，，所以；则在方向上的投影向量为，在方向上的投影数量为. 故答案为：，. 3.如图，在三棱锥中，平面，，，. （1）确定在方向上的投影向量，并求出投影的数量； （2）确定在方向上的投影的数量. 解：（1）因为平面，平面，所以， 所以在方向上的投影向量为. 在中，，，所以，即在方向上的投影的数量为. （2）因为平面，平面，所以，所以. 因为，所以， 所以.又， 所以在方向上的投影的数量为. 1.如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 解：由题意可知：与的夹角为45°.故选：A. 2.已知空间四边形中，，，则的值为( ) A. B. C. D. 解： ，所以，所以. 故选：D. 3.已知向量和的夹角为，且，，则等于( ) A.13 B. C.4 D.12 解：. 故选：A. 4.已知为单位向量，且，若，，，则实数的值为( ) A. B.3 C.6 D. 解：由题意可得，，，所以， 所以，所以.故选C. 5.已知，，，则. 解：， ，，故. 故答案为：22. 6.如图，在正四棱台中，分别是对角线的中点，则 ， ， . 解：由题意得方向相同，是在同一条直线上，故；可平移到直线上，与方向相同，故；由题意知是正四棱台的高，故平面，所以，故. 故答案为：. 7.如图，正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，若棱上有一点，满足且，则 . 解：因为，所以. 因为为的中点，所以. 因为，所以. 又因为，所以，解得.故答案为：. 8.如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角. 解：不妨设正方体的棱长为1， 设，则， . ， 而， ， ，. 异面直线与所成的角为. 1.设为空间中的三个非零向量，下列说法正确的是 A. B. C. D.若，则 解：对于A，，故A正确； 对于B，因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C，，当时，满足，当时，不满足，故C错误； 对于D，若，则，当或时等式均成立，故不一定有，故D错误.故选：A. 2.如图，已知正方体的棱长为，则 A. B. C. D. 解：方法一（定义法）连接，则在中，，所以，所以. 方法二（运算法）因为，且，所以. 方法三（几何意义法）连接，则，所以在上的投影向量为，又，所以.故选：A. 3.已知两异面直线的方向向量分别为,且,则两直线的夹角为( ) A. B. C. D. 解：设向量的夹角为,则,所以,则两个向量对应的直线的夹角为.故选：B. 4.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，则的值为( ) A. B. C. D. 解：. 故选：D. 5.已知在平行六面体中，,且这三条棱彼此之间的夹角都是,则的长为( ) A.6 B. 3 C. D. 解：设,则,且,因此.由得.所以.故选：C. 6.设平面上有四个互异的点,已知,则是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解：因为, 所以,所以,即是等腰三角形. 故选：B. 7.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 .     解：. .故答案为：. 8.已知与垂直，且与垂直，则 .        解：由条件知, , 两式相减得,所以,代入上面两个式子中的任意一个，得, 所以,所以.故答案为：60°. 9.已知空间向量满足,则向量的夹角为 . 解：由,且,可得,解得,所以.又,所以.故答案为：. 10.已知空间向量满足,则的值为 . 解：, .故答案诶：-13. 11.已知是异面直线，,且,则与所成的角是 . 解：, , 又,, 异面直线所成的角是锐角或直角，与所成的角是.故答案为：60°. 12.已知棱长为的正方体的上底面的中心为,则的值为 .  解：由于, 而,则. 故答案为：1. 13.如图，正四棱锥的各棱长都为. （1）用向量法证明; （2）求的值. 解：（1）证明：,. .. （2）解：, ,. 14.如图，已知正方体，与相交于点，连接. 求证：(1)； （2）平面. 证明：(1)因为， 所以， 所以，故. （2）设正方体的棱长为，则， 所以，所以. 同理可证.又平面，，所以平面. 15.如图所示，已知线段在平面内，线段，，且，，线段与所成的角为，求的长. 解：由，可知.过点作，为垂足，连接， 则为与所成的角，即， 所以. 因为，，所以， 所以，所以. 又， 所以. 因为，，所以，. 故，所以，即的长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $