精品解析：江苏省苏州市姑苏区2025-2026学年 八年级下学期数学期末卷

2025～2026学年第二学期 八年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 调查八年级（1）班全体学生的身高情况 B. 调查春节联欢晚会的收视率 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查新能源汽车电池的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查适合考察对象数量少，范围小，调查无破坏性的情况，判断选项即可． 【详解】解：A、八年级(1)班全体学生人数少，范围小，因此适合普查； B、调查春晚收视率，考察对象范围广，数量多，适合抽样调查； C、调查某市居民垃圾分类情况，考察对象范围大，人数多，适合抽样调查； D、调查新能源汽车电池的使用寿命，该调查具有破坏性，不适合普查，适合抽样调查． 2. 下列事件中，不可能事件是（ ） A. 购买1张福利彩票中奖 B. 367人中至少有两人生日相同 C. 一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上 D. 明天太阳从西方升起 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件，必然事件，随机事件的定义逐一判断即可，不可能事件是指一定不会发生的事件． 【详解】解：A、购买1张福利彩票中奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； B、一年最多有366天，367人中至少有两人生日相同，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； C、一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； D、太阳每天从东方升起，明天太阳从西方升起是一定不会发生的事件，属于不可能事件，符合题意． 3. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 4. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，∴A说法正确； ∵对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，∴B说法正确； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合菱形的判定定理，∴C说法正确； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，∴D说法不正确． 5. 某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 6. 如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7. 如图，在梯形中，，，点，分别是，上的动点，连接，，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点H，连接，则四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出的长，由三角形中位线定理得到，根据垂线段最短求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点H，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时点Q与点H重合， ∴的最小值为3， ∴的最小值为． 8. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论.  【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，  ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，，  ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 为了解某市八年级28000名学生的视力水平，随机抽取了1000名学生进行检测，则此次抽样调查的样本容量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本容量的定义，样本容量是样本中包含的个体的数目，据此可直接得到结果. 【详解】解：由题意可知，此次抽样调查抽取了1000名学生进行检测，样本中个体的数目为， 因此此次抽样调查的样本容量为. 10. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 11. 已知与相似且对应边的比为，若周长为8，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据对应边的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应边的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：12． 12. 从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】分别计算三个事件发生的概率，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：一副扑克牌共有张， ①抽到“A”的情况数为，概率为； ②抽到“黑桃”的情况数为，概率为； ③ 抽到“大王”的情况数为，概率为； ， 发生概率最大的是②．． 13. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果. 【详解】解： 四边形是菱形，，， 菱形的面积 14. 非零实数m，满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数，满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 16. 如图，在菱形中，点M是对角线上的点，将沿折叠，若点A的对应点恰好落在边上（点不与点B，C重合），设与交于点N，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，证明，求得，求得，，，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接，设， 由折叠的性质得，，，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，即． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【小问1详解】 解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 19. 如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据，，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的性质证明，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 某学校计划在八年级开设A（机器人）、B（图像设计）、C（打印）、D（编程）四门特色课程．为了解该校八年级学生对这四门课程的选择情况，信息老师从八年级全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人都要选且只能选择其中一门课程），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参加此次调查的学生共__________人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中C（打印）课程所对应扇形的圆心角为__________； （3）若该校八年级共有1200名学生，试估计该校八年级选择D（编程）课程的学生人数． 【答案】（1）100， （2） （3）120人 【解析】 【分析】（1）利用选择A课程的人数除以其所占的百分比可得参加此次调查的学生总人数，再求出选择B课程的人数，据此补全条形统计图即可； （2）利用乘以选择C课程的学生人数所占的百分比即可； （3）利用该校八年级的学生总人数乘以选择D课程的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：参加此次调查的学生共（人）； 则选择B（图像设计）课程的学生人数为（人）， 补全条形统计图：略． 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中C（打印）课程所对应扇形的圆心角为． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级选择D（编程）课程的学生人数为120人． 21. 如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的长，再证出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 22. 在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 （1）填空：表中__________，__________； （2）任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； （3）若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率=频数÷总次数的关系，可计算出、的值； （2）大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，由表格数据即可得出答案； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据频率的计算公式，可得， 根据频数的计算公式，可得； 【小问2详解】 解：观察表格可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是； 【小问3详解】 解：由（2）中得到的概率估计值，可得口袋中原有白球数量约为（个）， 向口袋中加入个白球后，白球总数量为个，球的总数量为个， 根据题意列方程得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 因此的值为． 23. 如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 【答案】 【解析】 【分析】设这个生物园边的长为，则，根据面积建立方程，解方程求出的值，再结合即可求解． 【详解】解：设这个生物园边的长为，则， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，超过墙长，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴这个生物园边的长为． 24. 如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当的面积为时，求t的值； （2）连接，当时，求t的值． 【答案】（1）1或4 （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 26. 综合探究 （1）如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【答案】（1）， （2）解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． （1）填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； （2）如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； （3）如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）设点的坐标为，，分三种情况：①当点在上，即时，②当点在的延长线上，即时，③当点在的延长线上，即时，根据面积之间的关系建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将代入一次函数得：， ∴点的坐标为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点是轴负半轴上一点，且点的横坐标为， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：设点的坐标为，， ∵， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ①如图，当点在上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ③如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 这个方程根的判别式为，没有实数根，舍去； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期 八年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 调查八年级（1）班全体学生的身高情况 B. 调查春节联欢晚会的收视率 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查新能源汽车电池的使用寿命 2. 下列事件中，不可能事件是（ ） A. 购买1张福利彩票中奖 B. 367人中至少有两人生日相同 C. 一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上 D. 明天太阳从西方升起 3. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 16 4. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 5. 某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在梯形中，，，点，分别是，上的动点，连接，，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 为了解某市八年级28000名学生的视力水平，随机抽取了1000名学生进行检测，则此次抽样调查的样本容量为__________． 10. 一元二次方程的根为______． 11. 已知与相似且对应边的比为，若周长为8，则的周长为______． 12. 从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 13. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为__________． 14. 非零实数m，满足，，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 16. 如图，在菱形中，点M是对角线上的点，将沿折叠，若点A的对应点恰好落在边上（点不与点B，C重合），设与交于点N，且，，则__________． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两根为，，且，求m的值． 19. 如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形． 20. 某学校计划在八年级开设A（机器人）、B（图像设计）、C（打印）、D（编程）四门特色课程．为了解该校八年级学生对这四门课程的选择情况，信息老师从八年级全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人都要选且只能选择其中一门课程），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参加此次调查的学生共__________人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中C（打印）课程所对应扇形的圆心角为__________； （3）若该校八年级共有1200名学生，试估计该校八年级选择D（编程）课程的学生人数． 21. 如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 22. 在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 （1）填空：表中__________，__________； （2）任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； （3）若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 23. 如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 24. 如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当的面积为时，求t的值； （2）连接，当时，求t的值． 26. 综合探究 （1）如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． （1）填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； （2）如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； （3）如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $