精品解析：江苏省苏州市姑苏区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024～2025学年第二学期 八年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 拙政园是江南园林的代表，也是苏州古典园林中面积最大的古典山水园林，苏州拙政园的窗花艺术是其一大亮点，在下列窗花图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在比例尺为的地图上，A，B两地的距离为，则A，B两地的实际距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点A在反比例函数（）的图像上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接．若，的面积是9，则k的值是（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 每年的6月日是“世界禁毒日”，为了解某校八年级位学生对“世界禁毒日”的知晓情况，从中随机抽取位学生进行调查．在这次调查中，样本容量是________． 10. 王老师对班级50位学生的血型作了统计，列出如图所示的统计表，则该班级血型的学生有________位． 组别 A型 B型 型 O型 频率 0.3 0.2 0.2 03 11. 已知与位似，位似比是，若的周长是12，则的周长是________． 12. 如图，在阳光下，旗杆在地面上的影长为，在建筑物墙面上的影长为．同一时刻，测得直立于地面长的木杆影长为，则旗杆的高度为________m． 13. 如图，在中，点E在边上，，作于点F，若，则的度数为________． 14. 已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了_________度． 15. 如图，正方形的边长为9，点E在边上，且，点F为平面内一动点，且，连接，则的最小值是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时，________． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：(x-3)2＝2x-6 18. 已知关于x一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k的值． 19. 在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 20. 从2025年春季学期起，江苏省义务教育学校的课间时间延长至15分钟．某校为了解学生喜欢的课间体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如下所示不完整的两幅统计图，其中A为“匹克球”，B为“羽毛球”，C为“乒乓球”，D为“棒球”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为______； （4）若全校共有1800名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢羽毛球． 21. 如图，已知是平行四边形的对角线，且于点C，延长至点E，使得，连接交于点O，连接．求证：四边形是矩形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． （1）求m和k的值； （2）设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 23. 2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 24. 如图，和顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 25. 新定义：如果函数G的图像与直线l相交于点和点，那么我们把叫做函数G在直线l上的“截距”． （1）求双曲线G：在直线l：上“截距”； （2）若双曲线G：与直线l：交于点和点，若双曲线G在直线l上的“截距”为，且，求b的值． 26. 如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． （1）求长； （2）求的面积． 27. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第二学期 八年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 拙政园是江南园林的代表，也是苏州古典园林中面积最大的古典山水园林，苏州拙政园的窗花艺术是其一大亮点，在下列窗花图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D不是中心对称图形，B是中心对称图形， 故选：B． 2. 在比例尺为的地图上，A，B两地的距离为，则A，B两地的实际距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例尺，根据：由比例尺 ，即可计算． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，关键是求出的面积与平行四边形的面积之比．先根据平行四边形的性质得出，求出的面积与的面积之比，即可得出点落在内的概率． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴面积占面积的， ∴点落在内的概率为， 故选：C． 4. 如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答． 【详解】解：连接AC、BD， ∵在△DAC中，G、H为CD、DA的中点， ∴HG∥AC，且HG＝AC， 在△BAC中，E、F为AB、BC的中点， EF∥AC，且EF＝AC， ∴HG∥EF，且HG＝EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴EH＝EF， ∴平行四边形EFGH是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键． 5. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，两点之间距离公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形可得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴顶点B坐标是， 故选：A． 7. 如图，在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，先由，，则，，又，所以，然后根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴ 故选：C． 8. 如图，矩形的顶点A在反比例函数（）的图像上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接．若，的面积是9，则k的值是（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 先设，得出，，，再根据的面积是9，得出，最后证明，得出，即，求得的值即可． 【详解】解：设， 则，． ∵矩形的顶点A在反比例函数（）的图像上， ∴． ∵的面积是9， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 每年的6月日是“世界禁毒日”，为了解某校八年级位学生对“世界禁毒日”的知晓情况，从中随机抽取位学生进行调查．在这次调查中，样本容量是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查样本容量，根据样本容量是抽样的样本的数量，进行作答即可，注意样本容量没有单位． 【详解】解：∵从中随机抽取位学生进行调查， ∴样本容量为． 故答案为：． 10. 王老师对班级50位学生的血型作了统计，列出如图所示的统计表，则该班级血型的学生有________位． 组别 A型 B型 型 O型 频率 0.3 0.2 02 0.3 【答案】10 【解析】 分析】本题考查了频数和频率，根据频数频率数据总数求解． 【详解】解：该班级血型的学生有：． 故答案为：10． 11. 已知与位似，位似比是，若的周长是12，则的周长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，位似比是， ∴与相似，相似比是， ∴与的周长比为， ∵的周长是12， ∴周长为8； 故答案为：8． 12. 如图，在阳光下，旗杆在地面上的影长为，在建筑物墙面上的影长为．同一时刻，测得直立于地面长的木杆影长为，则旗杆的高度为________m． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比为定值．作于E，可得矩形，利用同一时刻物高与影长的比一定得到的长度，加上的长度即为旗杆的高度． 【详解】解：作于E， ∵于C，于B， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵同一时刻物高与影长比相等， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高度为， 故答案为：29． 13. 如图，在中，点E在边上，，作于点F，若，则的度数为________． 【答案】108 【解析】 【分析】此题考查直角三角形的两个锐角互余、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由于点F，得，则，由平行四边形的性质得，则，因为，所以，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：108． 14. 已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了_________度． 【答案】150 【解析】 【分析】设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后求得焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米， ， 解析式为， 当时，， 小慧原来戴400度的近视眼镜， 小慧所戴眼镜的度数降低了度， 故答案为：150． 【点睛】考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大． 15. 如图，正方形的边长为9，点E在边上，且，点F为平面内一动点，且，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，在上取点M，使，连接，证明，得出，当在同一直线上，且点F在线段上的点处时，取最小值，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：在上取点M，使，连接， 正方形的边长为9，， ， ， ， ， ， ， 点F为平面内一动点，且， ∴点F在以C为圆心，3为半径的圆上运动， ∴当在同一直线上，且点F在线段上的点处时，取最小值， 在正方形中，， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于，过作交于，过作轴于，通过证明得出，，设，表示出，设，利用待定系数法求出直线的解析式，整理得①，结合，再利用勾股定理得到②，联立①②求出的值，即可解答． 【详解】解：过作轴于，过作交于，过作轴于， ∴， ∴， ∵将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，直线与y轴的负半轴交于点C， ∴，点必定在y轴的正半轴且在点下方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，， ∴， ∴； 设，则直线解析式为， 代入，得， 解得， 整理得：①， ∵，，， ∴， 整理得：②， 得，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、直线的旋转、求一次函数解析式、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，利用45度角构造“一线三垂直”全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：(x-3)2＝2x-6 【答案】x1＝3，x2＝5 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵(x-3)2＝2(x-3)， ∴(x-3)2-2(x-3)＝0， 则(x-3)(x-5)＝0， ∴x-3＝0或x-5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 【点睛】本题考查了一元二次方程解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，，得到关于k的一元一次方程，解之即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； 【小问2详解】 解：方程有两个相等的实数根， ， ∴或． 19. 在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． （1）利用摸到红球的概率表示摸到红球的可能性； （2）利用频率估计概率得到随机摸出一个白球的概率，则根据概率公式得到，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 解：从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率， ∴， 解得， 即m的值为3． 20. 从2025年春季学期起，江苏省义务教育学校的课间时间延长至15分钟．某校为了解学生喜欢的课间体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如下所示不完整的两幅统计图，其中A为“匹克球”，B为“羽毛球”，C为“乒乓球”，D为“棒球”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为______； （4）若全校共有1800名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢羽毛球． 【答案】（1）40 （2）图见解析 （3）36 （4）估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用项的人数除以所占的比例求出总人数即可； （2）求出项的人数，补全条形图即可； （3）用360度乘以项人数所占的比例进行计算即可； （4）用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 故本次调查共抽取了40名学生； 故答案为：40； 【小问2详解】 项的人数为：（人）， 补全条形图如图： 【小问3详解】 表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为； 故答案为：36； 【小问4详解】 （名）； 答：估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球． 21. 如图，已知是平行四边形的对角线，且于点C，延长至点E，使得，连接交于点O，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，根据平行四边形的性质得到，，根据等量代换得到，，再根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． （1）求m和k的值； （2）设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 23. 2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每件T恤衫应降价15元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可售出件； 故答案为：， 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． 24. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等证明，再由对应边成比例即可求解； （2）由，得到，变形为，再由夹角相等，即可证明相似． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴; 【小问2详解】 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 新定义：如果函数G的图像与直线l相交于点和点，那么我们把叫做函数G在直线l上的“截距”． （1）求双曲线G：在直线l：上的“截距”； （2）若双曲线G：与直线l：交于点和点，若双曲线G在直线l上的“截距”为，且，求b的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数的交点，解一元二次方程等多个知识点，解题的关键是理解“截距”这概念． （1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解； （2）先根据双曲线与直线有两个交点判断，然后求出，再根据双曲线G在直线l上的“截距”为求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得：或， ， 双曲线与直线上的“截距”； 【小问2详解】 解：∵双曲线G：与直线l：交于点和点， ∴． 根据题意可得， 即 解得：或， ， ∵双曲线G在直线l上的“截距”为， ∴， ∴． 26. 如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据折叠以及菱形得到，，然后设，则，再由相似三角形对应边成比例得到方程求解即可； （2）先得到，然后由三线合一得到，在中，由勾股定理求出，即可求解的面积． 【小问1详解】 解：延长交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵折叠 ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 27. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）以点为圆心，以为半径画弧交于E，则，证明，即可得到． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 以点为圆心，以为半径画弧交于E， 则， ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$