精品解析：江苏省苏州市立达中学校2025-2026学年立达中学校八年级下学期数学期末卷

2025~2026学年第二学期期末考试试卷 初二数学 一、单选题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A 、守株待兔可能发生也可能不发生，是随机事件； B 、瓮中捉鳖一定发生，是必然事件； C 、水中捞月不可能发生，是不可能事件； D 、刻舟求剑不可能成功，是不可能事件． 2. 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 3. 如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 4. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，确定，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ． 5. 为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为  米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 6. 若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 7. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 8. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为线段上一点，且，延长交于点，延长交于点，当，时，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，易得，证明，得到，推出，证明，得到，求出的长，进而得到的长，勾股定理得到的长，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】解：∵矩形，，， ∴， 取的中点，连接， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∵， ∴， ∴，即：， ∴（负值已舍掉）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造三角形的中位线，证明三角形相似． 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 【答案】 400 【解析】 【详解】解：在本次调查中，总体是某校八年级名学生对“世界读书日”的知晓情况，抽取的名学生对“世界读书日”的知晓情况是样本，样本容量为样本中个体的数目，即样本容量为． 10. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【解析】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 11. 已知，那么_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 将代入得：． 12. 如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】解：， 当或或时，． 13. 已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 14. 如图，是面积为10的内任意一点，若的面积记为，的面积记为，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到的值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， 如图，过点作交于点，交于点， 则， ，， ． ，， ． 15. 如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 16. 如图，已知等边，平面内有一点，满足，，连接并延长至，使，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕B点逆时针旋转至，连接并延长至G使，可证为等边三角形，进而可求，则可求，又因为，，所以，因为，所以当三点共线且在点异侧时，最大为，据此求解即可． 【详解】解：将绕B点逆时针旋转至，连接并延长至G使，连接， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， 是中位线， ∴， ∵， ∴当三点共线且在点异侧时，最大为， ∴的最大值为． 三、解答题：（共11小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 即，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 18. 为了提升学生身体素质，学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（足球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）补全图①中的条形统计图； （3）在扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数是__________度； （4）已知该学校共有1200名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？ 【答案】（1）100 （2）补全条形统计图，如图所示： （3）108 （4）312人 【解析】 【分析】（1）直接利用选择排球的人数除以其所占百分比即可求得总人数； （2）先求出选择足球的人数（人），再补全条形统计图即可； （3）用乘以“B”所占百分比即可； （4）用总人数乘以选择篮球的人数所占的比例即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数是（人）， 即样本容量为100； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校选择篮球的人数是312 人． 19. 一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； （3）估计袋中黑球的个数为__________只； （4）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了__________个黑球． 【答案】（1）不可能事件 （2）0.5 （3）25 （4）50 【解析】 【分析】（1）根据袋中球的颜色种类，判断摸到红球这一事件发生的可能性； （2）观察统计图，分析随着试验次数增加，黑球频率稳定在哪个常数附近； （3）利用公式：黑球个数总球数黑球频率进行计算； （4）设放入黑球个数为，根据新的频率建立一元一次方程求解． 【小问1详解】 解： 袋子里只装有黑、白两种颜色的球，   从袋子中随机摸一个红球是不可能事件． 故答案为：不可能事件； 【小问2详解】 解：由统计图可知，当摸球次数越来越大时，摸到黑球的频率波动在附近，   摸到黑球的频率会接近； 【小问3详解】 解：袋中黑球的个数（只）； 【小问4详解】 解：设小明后来放进了个黑球， 由题意得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得，   小明后来放进了个黑球． 20. 如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． （1）图1中的值为__________； （2）请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】（1）3 （2）①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【解析】 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，过点作于． （1）求证：四边形是菱形； （2）线段的长是__________cm．（直接写出答案） 【答案】（1）证明：∵平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分结合勾股定理逆定理，得到，即可证明四边形为菱形； （2）利用等积法求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积， 即， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【小问1详解】 证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 23. 如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 24. 如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积S． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）18 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 25. 某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】（1）每袋薯片应降价5元 （2）不能实现每天250元的利润，理由如下： 设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现250元的利润． 【解析】 【分析】（1）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，再根据根的判别式判断是否有根即可求解． 【小问1详解】 解：设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片应降价5元； 【小问2详解】 略 26. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 （3），理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． 【小问2详解】 解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 略． 27. 如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． （1）请证明小丽所作的四边形是正方形； （2）如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 又∵正方形中，， ∴． ∴四边形为正方形． （2）①过点作，是垂足，与相交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴, 正方形边长为，则, ∴， 即． ∴． 即． ② 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形即可； （2）①过点作，是垂足，与相交于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可； ②根据三角形面积公式得出，，再根据①的结论可知，，求出，代入得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：与正方形同底等高， ∴，． 由①的结论可知，， 则， 解得：． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末考试试卷 初二数学 一、单选题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 2. 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 8. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为线段上一点，且，延长交于点，延长交于点，当，时，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 10. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 11. 已知，那么_________． 12. 如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 13. 已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 14. 如图，是面积为10的内任意一点，若的面积记为，的面积记为，则__________． 15. 如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 16. 如图，已知等边，平面内有一点，满足，，连接并延长至，使，则的最大值是______． 三、解答题：（共11小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 为了提升学生身体素质，学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（足球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）补全图①中的条形统计图； （3）在扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数是__________度； （4）已知该学校共有1200名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？ 19. 一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； （3）估计袋中黑球的个数为__________只； （4）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了__________个黑球． 20. 如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． （1）图1中的值为__________； （2）请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，过点作于． （1）求证：四边形是菱形； （2）线段的长是__________cm．（直接写出答案） 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 23. 如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 24. 如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积S． 25. 某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 26. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． （1）请证明小丽所作的四边形是正方形； （2）如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $