第三章 培优课　圆锥曲线的综合问题 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合问题，分层设计从基础概念到复杂应用，梯度合理，通过定义理解、运算推理到综合建模，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆面积、轨迹定义|单选考查定义理解，如椭圆中心弦面积最大值，夯实抽象能力| |中档|抛物线焦点弦、双曲线弦长|填空与单选结合，如抛物线焦点弦面积计算，提升运算能力| |拔高|轨迹方程推导、直线与圆锥曲线综合|解答题分问设计，如动点轨迹方程及弦长求解，培养推理与创新意识|

培优课　圆锥曲线的综合问题 1.AB为过椭圆＋＝1（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为（　　） A.b2 B.ab C.ac D.bc 2. (2025秋·楚雄州期末)已知，为直线：上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  3. (2026春·黄浦区校级期中)到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（　　） A. 一条直线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 双曲线 4. (2025·高二上·龙华期末)已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  5.（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q（m，n），点P到点Q和到y轴的距离分别为d1，d2，则（　　） A.抛物线C的准线方程为y＝－1 B.若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值等于3 C.若（m－3）2＋n2＝1，则d1的最小值等于2 D.若m－n＝－4，则d1＋d2的最小值等于－1 6. (2025·高二上·舟山期末)已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且，，则直线的方程为　　　　. 7. (2025·汕头模拟) 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，则的长为 　　　　. 8. (2025秋·贵州期末)已知动点到点的距离比它到轴的距离长，记动点的轨迹为曲线．过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点． (1) 求曲线的方程； (2) 求． 9. (2025高二上·达州期末)已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1) 求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2) 过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 培优课　圆锥曲线的综合问题 1.D　由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·｜yB｜，故当｜yB｜＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc. 2.D　设，，因为为的中点，所以，解得,即，因为点在直线上，所以，整理得，则的方程为． 3.D　设两定点为、，动点为，满足，其中为定值，当时，，点的轨迹为线段的垂直平分线，是一条直线，因此轨迹可以是一条直线，A选项不符合题意.当时，根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的一支，因此轨迹可以是双曲线的一支，B选项不符合题意. 当时，点的轨迹是以为端点、沿延长线方向延伸的一条射线，因此轨迹可以是一条射线，C选项不符合题意.D选项，完整双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间距)的点的轨迹，D选项仅为距离之差为定值，仅能对应双曲线的一支，无法形成完整的双曲线；若，则不存在满足条件的轨迹.因此轨迹一定不是双曲线，D选项符合题意.. 4.B　易知抛物线的焦点，设直线的方程为，，， 联立，消元整理可得，由韦达定理可得，因为，所以，则，故的面积为. 5.BD　由抛物线方程可知抛物线准线是l：x＝－1，A错误.当m＝n＝1时，△PQF的周长L＝｜PQ｜＋｜PF｜＋1＝d1＋dP－l＋1≥dQ－l＋1＝3，B正确.因为（m－3）2＋n2＝1，所以Q（m，n）在圆心为M（3，0），半径为1的圆上，所以d1≥｜PM｜－1，设P（，t），则｜PM｜2＝＋t2＝（t2－4）2＋8≥8，所以｜PM｜≥2，所以d1的最小值等于2－1，C错误.若m－n＝－4，则Q（m，n）在直线l1：x－y＋4＝0上，d1＋d2＝d1＋｜PF｜－1≥－1＝－1，D正确.故选B、D. 6. 　解析：由，易知与的中点重合，若且， 令，则，，即，所以且，令，，则，作差得，所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 7. 　解析：因为双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，由，得，设，，则，，所以.. 8.解：（1）设， 由题意，动点到点的距离比它到轴的距离长， 所以，即， 化简得， 当时，；当时，， 故曲线的方程是. （2）由题意得直线方程为，点为的焦点，直线与抛物线交于、两点． 设，， 由得， 化简得， 所以， 所以. 9.解：（1）由题意可得，，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以，， 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $