1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 　课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面的平行关系，系统阐述用方向向量和法向量证明线线、线面、面面平行的方法。通过三个递进式思考问题衔接已学的方向向量、法向量知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心，结合长方体、四棱锥等实例，通过探索性问题培养学生数学思维和应用意识。课堂小结系统归纳知识要点，助力学生构建结构化认知，既提升学生空间观念，也为教师提供优质教学范例。

1.4.1 空间中直线、平面的平行 1 学习目标 1、掌握用方向向量，法向量 2、证明线线、线面、面面间的平行关系. 空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？ 思考1：如何用直线的方向向量表示两条直线的平行？ 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行关系？ 思考3：由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 引入 l1 l2 l 思考1：如何用直线的方向向量表示两条直线的平行？ 设分别是直线的方向向量， 使得 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行关系？ 设是直线的方向向量，是平面的法向量， ， 思考3：由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 设分别是平面的法向量，则 使得 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，，，，，. 求证： 证明：如图，取平面的法向量，直线的方向向量，. 因为，，所以. 因为 所以对任意点，存在，使得. 从而. 所以，向量也是平面的法向量.故 平行 若直线l的方向向量为＝(2,0,4)，平面α的法向量为＝(－2,0，－1)，则直线l与平面α的位置关系为________________. 或重合 已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB(　　) A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行 C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交 B　 因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行. y z x A1 D1 C1 A C B O B1 P 如图，在长方体中，. 线段上是否存在点，使得平面？ 解：以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，的坐标分别为，，， 所以，. 设是平面的法向量，则，，即所以 取，则，.所以，是平面的一个法向量. 9 9 例3答案 y z x A1 D1 C1 A C B O B1 P 如图，在长方体中，. 线段上是否存在点，使得平面？ 由，，的坐标分别为，，，得，. 设点满足则， 所以. 令，得，解得， 此时平面，这样的点存在. 所以，当，即为的中点时，平面. 10 10 例3答案 利用空间向量证明线面平行的方法 (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量, 是共面向量,即满足=x+y (x,y∈R),则, , 共面,从而可证直线与平面平行. (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行. (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行. 解:存在点E使CE∥平面PAB. 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz, ∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1, 在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB? 若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由. 设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1), ∵,∴y(-1)-2(z-1)=0,① ∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量, 又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB,∴,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0. ∴y=1,代入①得z=,∴E是PD的中点, ∴当点E为PD中点时,CE∥平面PAB. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点. 求证:MN∥平面A1BD. 非开放题目不建议使用向量证明平行 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 在CC1上任取一点Q, 连接BQ,D1Q. 设正方体的棱长为1, 则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),则Q(0,1,m). (方法1)因为=(-1,-1,1), 所以,于是OP∥BD1. =(-1,0,m), 当m=时,,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D1BQ, 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 在CC1上任取一点Q, 连接BQ,D1Q. 设正方体的棱长为1, 则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),则Q(0,1,m). (方法2). 设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z), 则有n1⊥,n1⊥,因此 取x=1,则n1=(1,1,2). 又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m). 设平面D1BQ的法向量为n2=(x,y,z), 则有n2⊥,n2⊥,因此 取z=1,则n2=(m,1-m,1). 要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2, 因此,解得m=,这时Q. 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 利用空间向量证明面面平行的方法 (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明; (2)通过证明两个平面的法向量平行证明. 归纳总结 2、利用向量解决探索性问题的方法 对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题． 若有解满足题意，则存在；若没有满足题意的解，则不存在． 课堂小结 $