26.4 第2课时最大利润问题教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

课题

26.4 第2课时　最大利润问题

授课人

教学目标

1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.

2.能够熟练掌握利用二次函数求最大利润的问题.

3.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．会用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.

教学重点

用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.

教学难点

通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问：

①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？

通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫

探究新知

探究点   实际问题与商品利润

某商品现在的售价为每件60元，经过市场调查，商家决定提高售价，同时销售数量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系为y＝－10x＋900，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

师生活动：教师引导学生回顾复习售价、进价、利润三者之

通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感

间的关系，学生回答．

教师展示问题：那么该如何定价呢？

学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.

师生活动：教师引导学生总结解题过程．

1．问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？

提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题．②利润随着价格的变化而变化．

学生先独立思考，教师给予引导．

2．教师展示解答过程，指导学生进行对比：

问题1：销售额为多少？成本为多少？

问题2：如何表示利润？[利润＝售价×数量－进价×数量，利润＝(售价－进价)×数量]

问题3：可否写出利润的函数解析式？

经过上述3个问题的分析，设利润为w元，可得w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1 300x－36 000.

问题4：根据题目要求可否得到自变量x的取值范围？

∴60≤x≤90.

问题5：当x＝________时，w最大．

因为a＝－10<0，所以函数有最大值．

当x＝－＝65时，y有最大值，为6 250.

3．教师指导、点拨，重点强调：

①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值．

4．师生总结：

教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：

悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.

①确定自变量和函数．

②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式．

③确定自变量的取值范围．

④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.

典例精析

【例】王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？

【解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，

根据题意得

解得

故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110．

（2）设合作社每天获得的利润为w元，

由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110，

则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋

本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.