26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，课堂导入通过一次函数与一元一次方程的实例回顾旧知，再提出二次函数与一元二次方程关系的问题，搭建从一次到二次的知识支架，引导学生迁移探索。 其亮点在于以几何直观（观察函数图象与x轴交点）和推理意识（用判别式分析根的情况）为核心，结合模型意识（小球飞行高度问题转化为方程求解）。采用表格归纳关系和分层练习，帮助学生深化理解，教师可借清晰结构提升教学效率。

1.若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_____. 2.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__________． x＝1 x＝－2 3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时, 它就变成了一个一元二次方程, 由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系. 那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？ 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 复习导入 22051 1 26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系 22051 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能应用其解决相关问题. 学习目标 22051 如图，下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ （1）y=x2-x+1；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2+x-2. 二次函数与一元二次方程的关系 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2，x2=1 新知讲解 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 归纳小结 22051 5 1.抛物线y=3x2+6x+3与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2.二次函数y=x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（     ） A．b=-3 B．b=-2 C．b=-1 D．b=2 B A 小试牛刀 22051 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？ 二次函数与一元二次方程的实际应用 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h = 20t − 5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20 = 20t − 5t2的根的问题. 新知讲解 22051 球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？ O h t 20 2 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. h=20t-5t2 22051 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （3）球从飞出到落地要用多少时间？ O t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：（1）解方程 15=20t-5t2t2-4t+3=0,得t1=1，t2=3. 结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m？为什么球不能达到20.5m的高度? h=20t-5t2 变式： O h t 20.5 （2）解方程：20.5=20t-5t2t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m. （3）解方程：0=20t-5t2t2-4t=0,得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面. 22051 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程. 为一个常数（定值） 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 新知讲解 22051 10 已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化成了一元二次方程问题． y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0 m＝ax2＋bx＋c(a≠0)0 令y＝m 二次函数 一元二次方程 转化思想 归纳小结 22051 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)0 令y＝0 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的值为0，求自变量x的值 确定抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点的横坐标 形 数 方程观点 函数观点 求一元二次方程的解 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 归纳小结 22051 3.已知二次函数y=x2-6x+8的图象，利用图象回答问题： (1)方程x2-6x+8=0的解是什么？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ x y O 2 4 8 解：(1)x1=2，x2=4. (2)x＜2或x＞4. (3)2＜x＜4. 小试牛刀 22051 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 课堂小结 22051 1．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　) A．y＝3x2－9x＋3 B．y＝2x2－4x＋12 C．y＝x2－6x＋9 D．y＝5x2－3x＋9 A 2．已知二次函数y=x2−3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是( ) A. x1=1, x2=−1 B. x1=1, x2=2 C. x1=1, x2=0 D. x1=1, x2=3 B 3．二次函数y = kx2−6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A. k<3 B. k<3且k≠0 C. k≤3 D. k≤3且k≠0 D 当堂检测 基础 22051 4.已知抛物线的部分图像如图所示，求方程的解. 解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为（），则， 解得：． ∴方程的解为或． 当堂检测 提升 22051 5.已知二次函数与x轴有两个交点． (1)求实数k的取值范围． (2)若此二次函数有最小值-3，求k的值． 解:(1)令 ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴Δ0，即，解得． (2)， ∵a=，∴x=-1时，y有最小值2k-5， ∵此二次函数有最小值-3，∴2k-5=-3， 解得k=1． 当堂检测 提升 22051 $