26.2.2 课时1 二次函数 y＝ax²＋k 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = ax^2 + k \) 的图象和性质，通过复习 \( y = 2x^2 \) 的开口方向、对称轴等性质，以过渡问题搭建学习支架，衔接新旧知识脉络。 其亮点在于通过“做一做”让学生动手画图、列表对比，培养几何直观与抽象能力，动态观察图象平移过程归纳规律体现推理意识，结合小试牛刀和当堂检测实例巩固知识。学生能主动探究知识联系，教师可借助结构化内容提升教学效率。

函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 y轴 （0，0） 增大 减小 二次函数y＝ax2＋k的图象又是怎样的呢？又有什么性质呢？ 复习导入 22051 26.2.2 课时1 二次函数 y＝ax²＋k 的图象和性质 22051 1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系. 学习目标 22051 做一做：画出二次函数 y=2x² ， y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 新知讲解 22051 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向 ； (3)对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 ___________________________； 抛物线 向上 y轴 ( 0，0)， ( 0，1)， ( 0，-1) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 低 小 y=0 y= -1 y=1 对称轴左侧y随x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大 22051 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 所画图像对吗？ 22051 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向 ； (3)对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是_________________________ ； 抛物线 向下 y轴 ( 0，0)， ( 0，2)， ( 0，-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小 22051 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴 y轴 最低点（0，k） 最高点（0，k） 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 归纳小结 22051 1.关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） B 小试牛刀 22051 2.关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 C 小试牛刀 22051 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 观察图象的动态过程，完成下列填空，并说说你发现的二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系. y = 2x2 新知讲解 22051 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移个单位长度得到. 二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 归纳小结 22051 3.二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 D 小试牛刀 22051 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步，即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度. 第二种方法：描点法，三步，即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 思考 22051 4.在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（　　） A B C D D 分析：∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，排除A、C； 又∵二次函数y＝﹣x2﹣1的图象开口向下，排除B. 小试牛刀 22051 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 22051 1.填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = 3x2 y = 3x2＋1 y = －4x2－5 向上 向上 向下 （0，0） (0，1) (0，-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 当堂检测 基础 22051 17 2.已知抛物线y=ax2+k. （1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________; （2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______,k=______. （3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是____________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是________________. y=-2x2-3 -0.5 -3 y=x2+5 y=x2+2 当堂检测 提升 22051 18 3.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 当堂检测 提升 22051 $