26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时 y=ax²+k的图象和性质）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过温故知新复习y=ax²的开口方向、对称轴等性质，追问变形后y=2x²+1等函数的图象变化，搭建旧知到新知的学习支架。 采用“列表—描点—画图—对比—归纳”完整探究过程，结合信息技术工具动态观察k对图象平移的影响，培养学生几何直观和推理意识，典型例题与分层练习结合，提升应用意识和运算能力。

26.2.1二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 (第一课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质) （导学案） （1）掌握用描点法绘制y=ax²+k的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值；掌握y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型. (2)经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力. (3)在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯，增强学习二次函数的信心. 重点:二次函数y=ax²+k的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律. 难点：精准理解常数k的几何意义，区分k>0和<0)时图象的平移方向；结合图象灵活运用函数性质解决比较函数值、求最值的问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：二次函数y=2x²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ 追问：如果在y=2x²的基础上变形为y=2x²+1、y=2x²-2，函数图象会发生什么变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第36-37页的内容 【学法指导】自研课本P36-37页内容 (一)将y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式. 追问1.上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ 追问2.用a.b,c表示，这里的h和k分别是什么? (二) 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 活动1.用描点法在同一坐标系中画出y=x²、y=x²+2、y=x²-2的图象. 步骤指导： 列表： 描点： 连线： 小组讨论问题： （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ （3）y=x²+2、y=x²-2的图象可由y=x²的图象如何平移得到？ 活动2.画函数图象观察图象性质 （1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2） 抛物线与抛物线有什么关系? 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … … … 描点画图，. 观察图象： (三)画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 活动3.利用信息技术工具画函数y=ax²+k的图象(不妨令a分别为和，改变k的值，可以发现，随着k的变化，二次函数y=ax²+k的图象. 在向上或向下平移，即把抛物线y=ax²向上(k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax²+k(如图). 师生归纳总结 1. 图象共性：y=ax²+k与y=ax²图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为y轴（直线x=0）. 2. 图象差异：顶点坐标不同，y=ax²顶点为(0,0)，y=ax²+k顶点为(0,k). 3. 平移规律：上加下减，当k>0时，y=ax²+k的图象由y=ax²图象向上平移k个单位； 当k<0时，y=ax²+k的图象由y=ax²图象向下平移|k|个单位. 函数y=ax²+k性质系统归纳： 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下； 对称轴：直线x=0（y轴）； 顶点坐标：(0,k)； 最值：a>0时，x=0，；a<0时，x=0，； 增减性：a>0，x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大；a<0反之. 【自研自探】 自研课本P36-37页内容 典型例题 例1.已知二次函数y=-3x²+4 （1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值； （2）说明该函数图象与y=-3x²的图象的平移关系； （3）当时，比较的大小. 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数y=x²的图象. 2. 讨论怎样画二次函数y=ax²图象. 讨论二次函数y=ax²图象的性质. 拓展提升： 1.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 课本课堂练习（P38）. 1．（2026.盐城市期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，函数的最大值是 B．开口向下，函数的最大值是 C．开口向上，函数的最小值是 D．开口向下，函数的最小值是 2．（2026.四平校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最大值为 3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ． 4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 知识技能:（1）二次函数y=ax²+k的图象是 ，对称轴为 ，顶点坐标 ；（2）a决定 和 ，决定抛物线的 和 ；(3）平移规律： （ ）；（4）掌握函数的 性、最值的 ，能比较函数 . 思想方法:（1）数形结合思想：通过图象直观分析 ， 、 ；（2）类比迁移思想：类比 ，推导y=ax²+k的性质；（3）从特殊到一般思想：通过具体 规律. 易错提醒:（1）混淆平移方向：牢记“ ”， ，不要记反；（2）忽略a的作用： ；（3）顶点坐标书写错误：y=ax²+k顶点是 ，不是 ；（4）比较函数值时，忘记利用对称轴转化 点，直接盲目判断，与a的 无关. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 (第一课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质) （导学案） （1）掌握用描点法绘制y=ax²+k的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值；掌握y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型. (2)经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力. (3)在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯，增强学习二次函数的信心. 重点:二次函数y=ax²+k的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律. 难点：精准理解常数k的几何意义，区分k>0和<0)时图象的平移方向；结合图象灵活运用函数性质解决比较函数值、求最值的问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：二次函数y=2x²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ 学生集体回顾作答，教师板书核心性质. 追问：如果在y=2x²的基础上变形为y=2x²+1、y=2x²-2，函数图象会发生什么变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第36-37页的内容 【学法指导】自研课本P36-37页内容 (一)将y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式. 追问1.上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ 通过配方，可以将“ax²+bx十c”转化为“a(x-h)²+k”的形式，即将二次函数y=ax²+bx+c转化 为y=a(x-h)²+k的形式.当分别讨论h，k的取值时，就可以建立起y=ax²+br+c与y=ax²的联系了. 追问2.用a.b,c表示，这里的h和k分别是什么? (二) 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 活动1.用描点法在同一坐标系中画出y=x²、y=x²+2、y=x²-2的图象. 步骤指导： 列表：选取对称自变量x=-2、-1、0、1、2，分别计算三个函数对应的y值； 描点：根据坐标精准描点； 连线：用平滑曲线连接各点，得到三条抛物线. 小组讨论问题： （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ （3）y=x²+2、y=x²-2的图象可由y=x²的图象如何平移得到？ 活动2.画函数图象观察图象性质 （1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2） 抛物线与抛物线有什么关系? 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … 描点画图，就得到的图象. 观察图象：可以看出，抛物线的开口向上，对称轴是у轴，顶点是(0，2)；抛 物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，-2). 可以发现，把抛物线（图中的虚线图形）向上平移2个单位长度，就得到抛物线；把抛物线向下平移2个单位长度，就得到抛物线. (三)画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 活动3.利用信息技术工具画函数y=ax²+k的图象(不妨令a分别为和，改变k的值，可以发现，随着k的变化，二次函数y=ax²+k的图象. 在向上或向下平移，即把抛物线y=ax²向上(k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax²+k(如图). 师生归纳总结 1. 图象共性：y=ax²+k与y=ax²图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为y轴（直线x=0）. 2. 图象差异：顶点坐标不同，y=ax²顶点为(0,0)，y=ax²+k顶点为(0,k). 3. 平移规律：上加下减，当k>0时，y=ax²+k的图象由y=ax²图象向上平移k个单位； 当k<0时，y=ax²+k的图象由y=ax²图象向下平移|k|个单位. 函数y=ax²+k性质系统归纳： 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下； 对称轴：直线x=0（y轴）； 顶点坐标：(0,k)； 最值：a>0时，x=0，；a<0时，x=0，； 增减性：a>0，x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大；a<0反之. 【自研自探】 自研课本P36-37页内容 典型例题 例1.已知二次函数y=-3x²+4 （1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值； （2）说明该函数图象与y=-3x²的图象的平移关系； （3）当时，比较的大小. 【分析】：本题紧扣本节课核心知识点，综合考查y=ax²+k的图象性质、平移规律和增减性应用。解题关键是先根据a的正负判断开口与增减性，根据k确定顶点与平移方式，再结合增减性比较函数值大小. 【详解】解：（1）∵a<0，k=4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0（y轴），顶点坐标为(0,4)；当x=0时，函数有最大值，最大值，无最小值. （2）根据“上加下减”平移规律：函数y=-3x²+4的图象可由抛物线y=-3x²向上平移4个单位得到. （3）a<0，抛物线开口向下，对称轴为y轴 ∴当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大. 关于y轴的对称点为x=1， ∵0<2，根据增减性，x=1时的函数值大于x=2时的函数值. ∴. 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数y=x²的图象. 2. 讨论怎样画二次函数y=ax²图象. 讨论二次函数y=ax²图象的性质. 拓展提升： 1.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴这个函数的表达式为：； （2）∵， ∴其对称轴为：， ∵， ∴图象开口向上，则当时，随的增大而减小， ∴的取值范围为． 课本课堂练习（P38）. 1．（2026.盐城市期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，函数的最大值是 B．开口向下，函数的最大值是 C．开口向上，函数的最小值是 D．开口向下，函数的最小值是 【详解】解：二次函数， 由可得抛物线开口向下；函数的最小值是， 故选：D． 2．（2026.四平校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最大值为 【详解】解：∵，且， ∴函数图象开口向上，顶点坐标为，故A、B选项错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项正确，符合题意； ∴函数的最小值为，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位， ∴y＝3x2﹣2， 故答案为：y＝3x2﹣2． 4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 知识技能:（1）二次函数y=ax²+k的图象是抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标(0,k)；（2）a决定开口方向和开口大小，k决定抛物线的上下平移位置和函数最值；（3）平移规律：上加下减（k>0上移，k<0下移）；（4）掌握函数的增减性、最值的判断方法，能比较函数值大小. 思想方法:（1）数形结合思想：通过图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比迁移思想：类比y=ax²的探究方法，推导y=ax²+k的性质；（3）从特殊到一般思想：通过具体函数图象归纳通用规律. 易错提醒:（1）混淆平移方向：牢记“上加下减”，k为负数是向下平移，不要记反；（2）忽略a的作用：判断增减性、开口方向必须先看a的正负；（3）顶点坐标书写错误：y=ax²+k顶点是(0,k)，不是(0,0)；（4）比较函数值时，忘记利用对称轴转化对称点，直接盲目判断，与a的正负无关. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $