1.4.2 第二课时 用空间向量研究夹角问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到动态应用梯度进阶，通过选择、填空、解答题结合，巩固空间向量求夹角能力，发展逻辑推理与数学运算素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方向向量、法向量夹角概念，线线、线面、面面角计算|选择填空为主，直接考查定义（如第1题辨析线线角与方向向量夹角关系），简单几何体（长方体）计算| |综合运用|复杂几何体（正四棱锥、正四棱柱）中夹角综合计算，存在性问题|解答题为主，需建系求法向量（如第14题探究平面夹角的点存在性），培养逻辑推理| |拓展提高|动态几何（折叠问题、二面角变化）下的夹角最值|结合运动变化（如第15题二面角变化求线线角余弦值最大值），发展创新意识|

第二课时　用空间向量研究夹角问题 一、基础巩固 1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2的夹角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则(　　) A.α=θ B.α=π-θ C.cos θ=|cos α| D.cos α=|cos θ| 2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为(　　) A. B. C. D. 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,,0),n=(,,2),则两平面所成的二面角为(　　) A.60° B.30°或150° C.60°或120° D.90° 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是(　　) A.0 B. C. D. 5.在一个锐二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 7.(多选)直线l的方向向量为a,两个平面α,β的法向量分别为n,m,则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n,则直线l∥平面α B.若a∥n,则直线l⊥平面α C.若cos<a,n>=,则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos<m,n>=,则平面α,β夹角的大小为 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中心,P是A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成角的大小为　　　　.  9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.  10.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=　　　　.  11.如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. 二、综合运用 12.在正四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PA,PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切值为,则异面直线DM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 13.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,建立如图所示的空间直角坐标系,则平面BDC1的一个法向量是　　　　(答案不唯一,写出一个坐标即可),直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.  14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由. 三、拓展提高 15.如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=4,BC=CD=2,现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C的大小在时,直线AB和CD所成的角为α,则cos α的最大值为(　　) A. B. C. D. 16.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2AB,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点. (1)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小; (2)在线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 第二课时　用空间向量研究夹角问题 一、基础巩固 1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2的夹角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则(　　) A.α=θ B.α=π-θ C.cos θ=|cos α| D.cos α=|cos θ| 答案　D 解析　α=θ或α=π-θ,且α∈, 因而cos α=|cos θ|. 2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵<a,n>=, ∴l与法向量所在直线所成的角为, ∴l与α所成的角为. 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,,0),n=(,,2),则两平面所成的二面角为(　　) A.60° B.30°或150° C.60°或120° D.90° 答案　C 解析　cos<m,n>===, 所以<m,n>=60°, 因为二面角与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补, 所以两平面所成的二面角为60°或120°. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是(　　) A.0 B. C. D. 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0), 所以=,=(-2,2,0), 所以|cos<,>|==0, 即AC与BD1所成角的余弦值为0. 5.在一个锐二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由==,知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为. 6.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1), ∴=(-2,0,1). 连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D, ∴平面BB1D1D的一个法向量为 a==(-2,2,0). ∴所求角的正弦值为|cos<a,>|===. 7.(多选)直线l的方向向量为a,两个平面α,β的法向量分别为n,m,则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n,则直线l∥平面α B.若a∥n,则直线l⊥平面α C.若cos<a,n>=,则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos<m,n>=,则平面α,β夹角的大小为 答案　BCD 解析　对于A,若a⊥n,则直线l∥平面α或在平面α内,故选项A不正确; 对于B,若a∥n,则a也是平面α的一个法向量,所以直线l⊥平面α,故选项B正确; 对于C,直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值,所以若cos<a,n>=,则直线l与平面α所成角的大小为,故选项C正确; 对于D,若cos<m,n>=,则平面α,β夹角的大小为,故选项D正确. 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中心,P是A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成角的大小为　　　　.  答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,A1P=x(0≤x≤2), 则O(1,1,0),P(2,x,2), B(2,2,0),M(0,2,1),=(1,x-1,2),=(-2,0,1), 所以·=0, 所以直线BM与OP所成的角为. 9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.  答案　 解析　以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图. 设AA1=2AB=2, 则D(0,0,0),C(0,1,0), B(1,1,0),C1(0,1,2), 则=(0,1,0),=(1,1,0), =(0,1,2). 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥, 所以有 令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则 sin θ=|cos<n,>|==. 10.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=　　　　.  答案　 解析　平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1). 设平面α的法向量为u=(x,y,z), 又=(-3,4,0),=(-3,0,a), 则即 即3x=4y=az,取z=1,则u=. 而cos<n,u>==, 又∵a>0,∴a=. 11.如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. 解　建立如图空间直角坐标系, 则O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0), ∴=(-,1,-),=(,-1,-). ∴cos<,>===-. ∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为. 二、综合运用 12.在正四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PA,PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切值为,则异面直线DM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图所示,不妨设正四棱锥底面边长为2,则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为,易得其高为,取底面正方形的中心为原点O,以过点O且与AD平行的直线为x轴,以过点O且与AB平行的直线为y轴,以OP所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,-1,0),B(1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,), 则M,N, 所以=,=, 设DM与AN所成的角为θ, 则cos θ=|cos<,>|==. 13.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,建立如图所示的空间直角坐标系,则平面BDC1的一个法向量是　　　　(答案不唯一,写出一个坐标即可),直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.  答案　(-2,2,1)　 解析　不妨设AB=1,则AA1=2, 由题图可知D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),B1(1,1,0),=(1,1,0), =(0,1,-2),=(1,0,-2). 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令z=1,则y=2,x=-2. 故平面BDC1的一个法向量为n=(-2,2,1), 设CB1与平面BDC1所成角为θ, 则sin θ==. 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由. 解　假设存在点E,设AE=a(0≤a≤4). 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则有E(3,a,0),C1(0,4,2),D(0,0,0). 设平面DEC1的法向量为n=(x,y,z), 又=(0,4,2),=(3,a,0), 故 所以 即 令y=1,得x=-,z=-2, 即n=, 又易知平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1), ∴|cos<m,n>|===,解得a=3, 所以在线段AB上存在点E,使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为,此时AE=3. 三、拓展提高 15.如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=4,BC=CD=2,现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C的大小在时,直线AB和CD所成的角为α,则cos α的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　取BD的中点O, 连接AO,CO. ∵AB=BD=DA=4, BC=CD=2, ∴CO⊥BD,AO⊥BD,且CO=2,AO=2, ∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,以O为原点,OC所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则B(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0), 设二面角A-BD-C的平面角为θ, 则θ∈, ∠AOC=θ,A(2cos θ,0,2sin θ), ∴=(2cos θ,2,2sin θ), =(-2,2,0), 则cos α==. ∵θ∈,∴cos θ∈, ∴|1-cos θ|∈, ∴cos α的最大值为.故选C. 16.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2AB,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点. (1)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小; (2)在线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 解　(1)因为△PAD是正三角形, O为AD的中点,所以PO⊥AD,因为CD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD, 所以PO⊥CD,因为CD,AD⊂平面ABCD,CD∩AD=D, 所以PO⊥平面ABCD,因为底面ABCD是矩形,且O,G分别为AD,BC的中点, 所以OG∥AB,因为AB⊥AD,则OG⊥AD,以点O为坐标原点,OA,OG,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2,则AD=4,A(2,0,0),G(0,2,0),P(0,0,2),E(-1,1,),F(-1,0,), 则=(0,-1,0),=(1,1,-), 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=,可得n=(,0,1), 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 所以|cos<m,n>|==, 因此,平面EFG与平面ABCD的夹角为. (2)假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,连接GM, 设=λ=λ(2,0,-2) =(2λ,0,-2λ),其中0≤λ≤1, 则=+=(0,-2,2)+(2λ,0,-2λ)=(2λ,-2,2-2λ). 由题意可得|cos<n,>|===, 整理可得4λ2-6λ+1=0, 因为0≤λ≤1,所以λ=. 因此,在线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,此时=. 学科网（北京）股份有限公司 $