1.4 练习5　用空间向量研究夹角问题 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量求夹角，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，通过多样化题型巩固线线角、线面角、二面角计算，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线面角、异面直线所成角基本计算|选择题为主（1-5题），直接应用向量夹角公式，对应新授课基础目标| |能力提升|动态点、坐标系下夹角计算、多面体综合|含多选题（8-9）、填空题（10-12），涉及存在性、最值问题，强化推理能力| |综合应用|折叠问题、存在性探究、多问解答题|解答题（13-14）、复杂情境题（15-16），需建立空间模型，体现数学建模与创新意识|

1.4 练习5　用空间向量研究夹角问题 1. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 (　C　) A. 120° B. 60° C. 30° D. 以上均不正确 【解析】 ∵直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角为120°，∴直线l与平面α所成的角为90°－(180°－120°)＝30°. 2. (2025·福建厦门期中)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 可得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，A1(0，0，1)，C(0，1，0)，则＝(1，0，1)与＝(0，1，－1)，∴cos<>＝，∴异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为. 3. (2025·山东泰安高二期中)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点，则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 取AC中点O，则OB＝AB＝，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1，D，∴，由图可知，平面AA1C1C的法向量为n＝(1，0，0).设A1D与平面AA1C1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|＝，故A1D与平面AA1C1所成的角的正弦值为. 4. (2025·江苏无锡期中)如图所示，在一个45°的二面角的棱上，有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　D　) A. 1 B. 2 C. D. 3 【解析】 ∵，∴2·2·2·，由题意，⊥⊥，则·＝0，·＝0，∴2·，∵线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且二面角大小为45°，∴<>＝135°，而AB＝2，AC＝1，BD＝2，于是＝1＋4＋8＋2×2＝9，∴||＝3. 5. (2025·重庆高二期中)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝2，AB＝1，则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为(　A　) A. B. C. D. 【解析】 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，2)，设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝2，则m＝(2，2，1)，∴cos＜，m＞＝，∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为. 6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是 (　A　) A. B. C. D. 【解析】 设正方体的棱长为1，＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，O，B1(1，1，1)，∴＝(－1，1，0)，则＝(－λ，λ，0)，又A1(1，0，1)，∴P(1－λ，λ，1)，∴.连接B1D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可知B1D⊥平面A1BC1，∴＝(1，1，1)是平面A1BC1的一个法向量， ∴sin θ＝|cos<>| ＝ ＝. 当λ＝时，sin θ取得最大值；当λ＝0或1时，sin θ取得最小值. 7. (2025·四川成都期中)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.据此可知，若平面α的方程为x－y＋z＋1＝0，直线l是两平面x－y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 由题意平面α的一个法向量是m＝(1，－1，1)，平面x－y＋2＝0与2x－ z＋1＝0的法向量分别是a＝(1，－1，0)，b＝(2，0，－1)，设直线l的一个方向向量为n＝(x，y，z)，则∴取x＝1得n＝(1，1，2)，∴cos<m，n>＝，∴直线l与平面α所成角的正弦值为. 8. (多选)(2025·江苏常州期中)直线l的方向向量为u，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2，则下列命题中，为真命题的是(　BCD　) A. 若u⊥n1，则直线l⊥平面α B. 若n1⊥n2，则平面α⊥平面β C. 若cos<n1，n2>＝，则平面α，β所成锐二面角的大小为 D. 若cos<u，n1>＝，则直线l与平面α所成角的大小为 【解析】 由u⊥n1，则直线l∥平面α或l⊂α，A错误；由n1⊥n2，则平面α⊥平面β，B正确；若cos<n1，n2>＝，设平面α和平面β所成角为θ，且θ∈，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝，∴平面α，β所成锐二面角的大小为，C正确；设直线l与平面α所成角为γ，则sin γ＝|cos<u，n1>|＝，且γ∈，∴直线l与平面α所成角的大小为，D正确. 9. (多选)在棱长为a的正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，则下列说法中，正确的是(　ABD　) A. 四边形B'EDF是菱形 B. 异面直线A'C与DE所成角的余弦值为　 C. 直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为 D. 平面B'EDF与平面ABCD的夹角的正弦值为 【解析】 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A'(0，0，a)，B'(a，0，a)，E，F，∴，则，∴四边形B'EDF是平行四边形，由正方体的性质知DE＝DF，因此四边形B'EDF为菱形，A正确；＝(a，a，－a)，，则cos<>＝，故异面直线A'C与DE所成角的余弦值为，B正确；设平面B'EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝2，则x＝1，z＝1，即n＝(1，2，1)，∵＝(0，a，0)，∴cos<，n>＝，∴直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为，C错误；易知平面ABCD的一个法向量是m＝(0，0，1)，∵cos<m，n>＝，∴平面B'EDF与平面ABCD的夹角的余弦值为，其正弦值为，D正确. 10. (2025·云南昆明高二期中)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，P为线段C1D的中点，直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为 　.  【解析】 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，D1(0，2，2)，C1(2，2，2)，D(0，4，0)，P(1，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则则平面AB1D1的一个法向量n＝(1，1，－1)，∴∥n，即直线D1P⊥平面AB1D1，故直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为. 11. (2025·河南洛阳模拟)如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则二面角A－SB－C的余弦值为 　.  【解析】 以O为坐标原点，以OC，OA，OS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ∵SO＝AB＝4，AC＝BC，可得S(0，0，4)，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，则＝(2，0，－4)，＝(2，2，0)，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝2，可得y＝－2，z＝1，∴n＝(2，－2，1)，平面SAB的一个法向量为＝(2，0，0)，设二面角A－SB－C的大小为θ，由图可得0＜θ＜，则cos θ＝|cos<n，>|＝，∴二面角A－SB－C的余弦值为. 12. (2025·江苏徐州期中)如图所示，在三棱柱中ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝ 　.  【解析】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示： 依题意，设BM＝a，CN＝b，AB＝1，则AA1＝2，AC＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，M(1，0，a)，N(0，1，b)，＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)，则令z＝－1，得m＝(a，b，－1)，平面ABC的法向量n＝(0，0，1)，由平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，得cos＝|cos<m，n>|＝，化简得a2＋b2＝，当a取得最大值时，B1M最小，此时b＝0，amax＝，且tan∠AMB＝，∴∠AMB＝. 13. 如图所示，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小； (2)直线AD与平面BCD所成角的大小； (3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. 解： 在平面ABC内过点B作z轴垂直于BC，在平面BCD内过点B作x轴垂直于BC.∵平面ABC⊥平面DBC，∴∠xBz＝90°，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz. 设AB＝a，则A，C(0，a，0)，D， ∴＝(0，a，0)，. (1)·＝0，∴AD⊥BC，∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°. (2)设直线AD与平面BCD所成的角为θ1， ∵n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，∴sin θ1＝|cos<，n>|＝， ∴θ1＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°. (3)设m＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则∴ 取x＝1，则z＝1，y＝，∴m＝(1，，1). ∴cos<m，n>＝.设平面ABD和平面BDC的夹角为θ2，则cos θ2＝|cos<m·n>|＝. 14. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点. (1)证明：EF∥平面ABC； 证明： 以A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，2，0)，C(2，0，2)，A1(0，0，0)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，E(1，0，0)，F，∴. 易知平面ABC的一个法向量为m＝(1，0，0)，∵·m＝0，∴⊥m，又EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC. (2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值； 【解析】 由(1)知，＝(2，0，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，2，0).设平面CC1D的法向量为u＝(x1，y1，z1)，则取y1＝2，可得u＝(0，2，1)， 则cos<，u>＝， ∴直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为. (3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值. 解： 由(1)知，＝(2，0，2)，＝(0，1，0).设平面A1CD的法向量为v＝(x2，y2，z2)， 则取x2＝1，可得v＝(1，0，－1)，则cos<u，v>＝， ∴平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为. 15. (2024·福州山海联盟高二期中)正方形ABCD的边长为2，O为正方形的中心，E为AB的中点，F为CD的中点，将△ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为时，平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 如图所示，连接OA，OC，由已知可得，OA＝OB＝OC＝OD＝，OA⊥BD，OC⊥BD，∴△AOB，△COD均为直角三角形，∠AOC即为二面角A－BD－C的平面角.∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴OE＝AB＝1，OF＝CD＝1，且∠BOE＝∠DOF＝45°，∴·×1×cos 45°＝1，·×1×cos 135°＝－1，·＝1×1×cos∠EOF＝.由＝2，可得＝2.同理＝2＝2，∴·＝(2)·(2)＝4·2·2·＝4×2×1－2×(－1)－()2＝，∴cos∠AOC＝cos<>＝，故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为. 16. (2024·深圳中学检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2. (1)取PC的中点N，证明：DN∥平面PAB； 证明： 取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2).∵N为PC的中点，∴N(0，0，1)，∴＝(1，0，1).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 由＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，n可以为(0，1，0)，∴·n＝0.又DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB. (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； 解： 由(1)知＝(0，2，0)，＝(－1，1，－2). 设直线AC与PD所成的角为θ，则cos θ＝，∴直线AC与PD所成角的余弦值为. (3)线段PD上是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 解： 存在.设M(x，y，z)，且＝λ，0≤λ≤1， ∴∴M(－λ，λ－1，2－2λ). 设平面ACM的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 由＝(0，2，0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，利用即 可得平面ACM的一个法向量为m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)， ∴|cos<m，n>|＝，解得λ＝，或λ＝2(舍去)，∴M，∴，　 ∴平面ACM的一个法向量为m＝.设BM与平面MAC所成的角为φ，则sin φ＝|cos<，m>|＝，∴φ＝30°. 故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 练习5　用空间向量研究夹角问题 1. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 ( 　) A. 120° B. 60° C. 30° D. 以上均不正确 2. (2025·福建厦门期中)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为( 　) A. B. C. D. 3. (2025·山东泰安高二期中)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点，则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为( 　) A. B. C. D. 4. (2025·江苏无锡期中)如图所示，在一个45°的二面角的棱上，有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( 　) A. 1 B. 2 C. D. 3 5. (2025·重庆高二期中)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝2，AB＝1，则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为( 　) A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是 ( 　) A. B. C. D. 7. (2025·四川成都期中)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.据此可知，若平面α的方程为x－y＋z＋1＝0，直线l是两平面x－y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( 　) A. B. C. D. 8. (多选)(2025·江苏常州期中)直线l的方向向量为u，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2，则下列命题中，为真命题的是( 　) A. 若u⊥n1，则直线l⊥平面α B. 若n1⊥n2，则平面α⊥平面β C. 若cos<n1，n2>＝，则平面α，β所成锐二面角的大小为 D. 若cos<u，n1>＝，则直线l与平面α所成角的大小为 9. (多选)在棱长为a的正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，则下列说法中，正确的是( 　) A. 四边形B'EDF是菱形 B. 异面直线A'C与DE所成角的余弦值为　 C. 直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为 D. 平面B'EDF与平面ABCD的夹角的正弦值为 10. (2025·云南昆明高二期中)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，P为线段C1D的中点，直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为 .  11. (2025·河南洛阳模拟)如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则二面角A－SB－C的余弦值为 .  12. (2025·江苏徐州期中)如图所示，在三棱柱中ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝ .  13. 如图所示，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小； (2)直线AD与平面BCD所成角的大小； (3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. 14. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点. (1)证明：EF∥平面ABC； (2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值； (3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值. 15. (2024·福州山海联盟高二期中)正方形ABCD的边长为2，O为正方形的中心，E为AB的中点，F为CD的中点，将△ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为时，平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为( 　) A. B. C. D. 16. (2024·深圳中学检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2. (1)取PC的中点N，证明：DN∥平面PAB； (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； (3)线段PD上是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $