1.4 充分条件与必要条件 专项训练【4大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分条件与必要条件，以4大考点为框架，通过分层题型构建从概念辨析到综合应用的完整训练体系，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题真假的判断|6题|选择（含多选）、填空|基础概念辨析，覆盖真假命题判断及条件关系初步应用| |四种命题条件关系的判断|6题|选择|深化条件关系理解，训练充分、必要、充要及既不充分也不必要条件的判定| |利用条件关系求参数|6题|解答（含参数范围）、选择|综合应用条件关系，通过集合、方程等载体实现知识迁移| |充要条件的证明|6题|解答（证明）、选择|高阶能力训练，完成从概念理解到逻辑证明的闭环|

1.4 充分条件与必要条件 4大考点汇总 考点01 命题真假的判断 考点02 四种命题条件关系的判断 考点03 利用条件关系求参数 考点04 充要条件的证明 题型专练 考点01 命题真假的判断 1．（25-26高一上·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 2．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选）下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”的充分不必要条件是“” D．“为整数”是“为整数”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐一判断. 【详解】则有，反之，时满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，A正确； 等价于且，则“”是“”的充分不必要条件，B错误； 若，则，反之不成立，则“”的充分不必要条件是“”，C正确； “为整数”则“为整数”；当时为整数， 故“为整数”是“为整数”的充分不必要条件 ，D错误. 故选：AC 3．（25-26高一上·全国·专项训练）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合必要不充分条件的定义求出，即得的取值可能是1. 【详解】由是的必要不充分条件，得， 则由命题“是的必要不充分条件”是假命题，得， 所以的取值可能是1． 故选：A. 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 【答案】BCD 【分析】对A，根据真子集定义求解判断；对B，根据集合相等的定义求解判断；对C，根据子集的定义即可判断；对D，根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘ 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为等价于， 等价于， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列命题中，假命题的是（　　） A．是的充要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，由不等式的性质得，则是的充要条件，A正确； 对于B，，而满足，无意义，则是的必要不充分条件，B正确； 对于C，满足，但，则不是的充分条件，C错误； 对于D，满足，但；反之满足，但， 因此是的既不充分又不必要条件，D正确. 故选：C 6．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）下列命题是假命题的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“或”是“”的必要不充分条件 D．“集合”是“”的充分不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的概念以及特值法依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，若 ，则，不能得到，故错误； 对于B选项，不能得到，反之能够得到，故正确； 对于C选项，若“”成立，则需且，此时，“或”显然成立， 因此，“或”是“”的必要条件； 设，，此时“或”成立，但，即“”不成立； 因此，“或”不是“”的充分条件； 所以“或”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于D选项，由得，所以能够推出， 反之，若集合 ，可得，此时， 所以“集合”是“”的充分不必要条件，故正确. 故选：A 考点02 四种命题条件关系的判断 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，解得或，所以条件：或， 又条件：，因为条件的范围是条件的范围的一部分，所以是的充分不必要条件. 8．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 9．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 10．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 11．（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 12．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 考点03 利用条件关系求参数 13．（25-26高一上·全国·专项训练）已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 14．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 【答案】(1)，所有子集是，，， (2)或或 【分析】（1）解方程，得到集合，再根据集合子集的定义列举； （2）根据题意得，再根据集合中的元素特点分类讨论求. 【详解】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或， 即集合所以集合的所有子集是，，，. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，无解，则； 当时，，则； 当时，，则， 综上所述，实数的值为或或 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 16．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 18．（25-26高一上·甘肃临夏·阶段检测）已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 考点04 充要条件的证明 19．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 20．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 21．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 22．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 23．（25-26高一上·贵州·阶段检测）（1）已知．若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． （2）证明：“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由必要不充分条件列不等式求参数范围即可； （2）从充分、必要性两个方面判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）若p是q的必要不充分条件，则（注意等号不能同时成立），可得； （2）由两条边上的高相等，根据等面积法知：对应的两条边也相等， 所以为等腰三角形，故充分性成立， 由为等腰三角形，则两腰上对应的高必相等， 所以两条边上的高相等，必要性成立， 综上，“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件. 24．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 4大考点汇总 考点01 命题真假的判断 考点02 四种命题条件关系的判断 考点03 利用条件关系求参数 考点04 充要条件的证明 题型专练 考点01 命题真假的判断 1．（25-26高一上·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 2．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选）下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”的充分不必要条件是“” D．“为整数”是“为整数”的充要条件 3．（25-26高一上·全国·专项训练）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 5．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列命题中，假命题的是（　　） A．是的充要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的既不充分又不必要条件 6．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）下列命题是假命题的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“或”是“”的必要不充分条件 D．“集合”是“”的充分不必要条件 考点02 四种命题条件关系的判断 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 9．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 考点03 利用条件关系求参数 13．（25-26高一上·全国·专项训练）已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 18．（25-26高一上·甘肃临夏·阶段检测）已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 考点04 充要条件的证明 19．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 20．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 22．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 23．（25-26高一上·贵州·阶段检测）（1）已知．若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． （2）证明：“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 24．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $