1.2 集合间的基本关系 专项训练【7大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合间基本关系7大核心考点，以题型专练构建从概念判断到参数求解的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断包含关系|6题|多选与单选结合，考查元素与集合、集合间关系|从元素关系到集合包含，构建概念认知基础| |求子集(真子集)|6题|有限集与无限集结合，涉及子集个数计算|子集概念应用，衔接集合运算预备知识| |子集个数判断|6题|含参数集合与具体集合，结合子集性质|从集合元素个数到子集数量公式应用| |集合相等判断|6题|列举法与描述法表示集合，考查元素对应|相等概念与包含关系互推，强化逻辑推理| |利用相等求参数|4题|含字母集合，需分类讨论元素对应|相等条件转化为方程求解，培养数学思维| |利用包含求参数|5题|不等式表示集合，涉及参数范围讨论|包含关系转化为不等式组，提升应用意识| |空集相关问题|5题|空集性质应用与参数范围确定|空集特殊性认知，完善集合关系体系|

1.2 集合间的基本关系 7大考点汇总 考点01 判断两个集合的包含关系 考点02 求集合的子集(真子集) 考点03 判断集合的子集(真子集)的个数 考点04 判断两个集合是否相等 考点05 利用两个集合相等求参数 考点06 利用集合的包含关系求参数 考点07 空集的相关问题 题型专练 考点01 判断两个集合的包含关系 1．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 考点02 求集合的子集(真子集) 7．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 8．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 9．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 10．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 12．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 考点03 判断集合的子集(真子集)的个数 13．（2026高一·全国·专题练习）设集合，则的子集个数是（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 14．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 16．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 17．（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 18．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 考点04 判断两个集合是否相等 19．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 21．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 22．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 24．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 考点05 利用两个集合相等求参数 25．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二下·贵州贵阳·专项训练）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 27．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 28．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 考点06 利用集合的包含关系求参数 29．（2026高一·全国·专题练习）已知，若，求的值 30．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 32．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 33．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 考点07 空集的相关问题 34．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 36．（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 37．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 38．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 7大考点汇总 考点01 判断两个集合的包含关系 考点02 求集合的子集(真子集) 考点03 判断集合的子集(真子集)的个数 考点04 判断两个集合是否相等 考点05 利用两个集合相等求参数 考点06 利用集合的包含关系求参数 考点07 空集的相关问题 题型专练 考点01 判断两个集合的包含关系 1．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合与集合的包含、相等关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 2．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的特殊性以及集合和元素，集合和集合之间的子集关系一一判断即可. 【详解】对（1），，正确； 对（2），，不对； 对（3），，正确； 对（4），，表述错误，前者为元素，后者为集合，不可以用子集符号连接； 则共有2个正确. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集、真子集的定义以及元素与集合的关系求解． 【详解】， ，，故A错误； 又，，故B错误； ，故C正确，D错误． 故选：C． 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有，进而分析集合间的包含关系. 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 6．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】A 【分析】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【详解】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：A 考点02 求集合的子集(真子集) 7．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 8．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 9．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 10．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 11．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 12．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 考点03 判断集合的子集(真子集)的个数 13．（2026高一·全国·专题练习）设集合，则的子集个数是（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合， 所以集合的子集个数是． 故选：C． 14．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【详解】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 15．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据集合元素的约束条件先确定的所有可能的值，再依次代入不等式，确定的值，即得集合以及其真子集个数. 【详解】因为，所以，又，所以， 结合，可得： 当时，；当时，；当时，； 所以， 即中有5个元素，则集合的真子集个数为． 故选：B． 16．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 17．（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 18．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 考点04 判断两个集合是否相等 19．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 20．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 21．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 22．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 23．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 24．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 考点05 利用两个集合相等求参数 25．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 26．（2026高二下·贵州贵阳·专项训练）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 27．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 28．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 考点06 利用集合的包含关系求参数 29．（2026高一·全国·专题练习）已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 30．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 31．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 32．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 33．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 考点07 空集的相关问题 34．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 35．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【分析】由题意可知，计算即可求解. 【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 36．（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 37．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 38．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $