1.3 集合的基本运算 专项训练【10大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以10大考点为脉络，覆盖集合运算全维度，题型从基础到综合，构建概念-运算-应用的递进式训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交集/并集/补集概念及运算|各4题|选择为主，直接考查运算规则|从基本概念生成运算方法，夯实基础| |利用运算求集合或参数|各6题|选择、填空、解答题，含多选与分类讨论|从运算到参数求解，提升逻辑推理| |交并补混合运算|4题|综合选择与元素个数问题|融合单一运算，培养综合应用能力| |容斥原理应用|6题|实际情境应用题与Venn图辨析|从集合关系到计数模型，发展模型意识| |集合新定义问题|6题|创新题型与多选，考查抽象理解|拓展集合应用边界，提升数学抽象能力|

1.3 集合的基本运算 10大考点汇总 考点01 交集的概念及运算 考点02 利用交集运算求集合或参数 考点03 并集的概念及运算 考点04 利用并集运算求集合或参数 考点05 补集的概念及运算 考点06 利用补集运算求集合或参数 考点07 交并补混合运算 考点08 利用交并补混合运算求集合或参数 考点09 容斥原理的应用(Venn图) 考点10 集合新定义的问题 题型专练 考点01 交集的概念及运算 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 利用交集运算求集合或参数 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 6．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 7．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 9．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 10．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 考点03 并集的概念及运算 11．（25-26高二下·广西来宾·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·北京石景山·期末）已知集合，，则（    ） A．≥ B． C． D． 14．（25-26高二下·广东佛山·期末）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 考点04 利用并集运算求集合或参数 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 16．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 18．（2026高一·全国·专题练习）集合或.若，求的取值范围； 19．（2026高一·全国·专题练习）设 ，若 ，求 的值． 20．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点05 补集的概念及运算 21．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·福建三明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 考点06 利用补集运算求集合或参数 25．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 26．（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 27．（25-26高一·全国·课后作业）已知全集，，求实数的值. 28．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 29．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 30．（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 考点07 交并补混合运算 31．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 考点08 利用交并补混合运算求集合或参数 35．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 36．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 37．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 38．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 39．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 40．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 考点09 容斥原理的应用(Venn图) 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 42．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 43．（2026高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 44．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 45．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 46．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 考点10 集合新定义的问题 47．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 48．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 50．（25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 51．（2026高一·全国·专题练习）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 52．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算 10大考点汇总 考点01 交集的概念及运算 考点02 利用交集运算求集合或参数 考点03 并集的概念及运算 考点04 利用并集运算求集合或参数 考点05 补集的概念及运算 考点06 利用补集运算求集合或参数 考点07 交并补混合运算 考点08 利用交并补混合运算求集合或参数 考点09 容斥原理的应用(Venn图) 考点10 集合新定义的问题 题型专练 考点01 交集的概念及运算 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义求解. 【详解】，又， 所以. 3．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. 4．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因,， 则. 考点02 利用交集运算求集合或参数 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 6．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 7．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 8．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 9．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 10．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 考点03 并集的概念及运算 11．（25-26高二下·广西来宾·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 12．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 13．（25-26高二下·北京石景山·期末）已知集合，，则（    ） A．≥ B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ，所以. 14．（25-26高二下·广东佛山·期末）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，集合，则. 考点04 利用并集运算求集合或参数 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 16．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 17．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 18．（2026高一·全国·专题练习）集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 19．（2026高一·全国·专题练习）设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 20．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 考点05 补集的概念及运算 21．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 22．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 23．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 24．（25-26高二下·福建三明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可． 【详解】由，得， 因为，所以． 考点06 利用补集运算求集合或参数 25．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据补集得出或，再代入检验得出参数. 【详解】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 26．（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 27．（25-26高一·全国·课后作业）已知全集，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据补集的性质将问题转化为且或且两种情况讨论求解即可. 【详解】因为补集有性质：，且. 所以， 所以，有两种情况： 情况一：且 由，可得或，即或. 由，移项得，解得或. 所以，当同时满足这两个方程， 此时，，，成立； 所以， 情况二：且 由，解得，代入得，不成立，故无解； 综上，实数的值为 28．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【详解】（1）因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 29．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 30．（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 考点07 交并补混合运算 31．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此. 而是所有属于但不属于A的元素构成的集合， 代入，可得. 而 是所有既属于又属于B的元素构成的集合， 代入，可得. 32．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用交集运算与补集运算求解. 【详解】由题可得，又因， 则. 33．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 34．（25-26高二下·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 考点08 利用交并补混合运算求集合或参数 35．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 36．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 37．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 38．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）分和两种情况讨论，当时，首先求出，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，解得， 所以实数的取值集合. （2）因为，， 若，则，即，此时，所以成立； 若，则或， 则，解得； 综上，实数的取值范围为. 39．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 40．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 考点09 容斥原理的应用(Venn图) 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 42．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 43．（2026高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 44．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 45．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 46．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 考点10 集合新定义的问题 47．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 48．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 49．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 50．（25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 51．（2026高一·全国·专题练习）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据集合的新定义分别判断各个小题. 【详解】 ①中由于，故①不是集合上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③. 故选：D． 52．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【答案】(1)B不具有，C具有，理由见解析； (2)证明见解析； (3)110个 【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可； (2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了个抽屉，但要选个元素，则必有一个是选到相差为的个数，从而找到矛盾，可得问题得证； (3)利用抽屉原理，按连续个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最后可确定元素个数的最大值，并举例说明. 【详解】（1）当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； （2）将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $