第04讲 有理数的加法和与减法 讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、运算律，减法法则（转化为加法）及加减混合运算，结合数轴直观理解运算本质，构建从基础运算到实际应用的学习支架。 资料亮点在于以几何直观助力理解（如数轴移动演示加法法则），设计即刻训练、热点题型（如数轴距离计算、新定义运算、销售实际问题），培养运算能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

人教版（2024）七年级上册 第04讲 有理数的加法与减法 学习目标 课标标准：掌握并熟练地对有理数的加、减法以及加减混合运算，理解有理数加法的运算律，能运用运算律简化运算。能运用有理数加、减法的运算解决简单问题 素养目标：能利用数轴直观理解有理数加、减法的本质（几何直观） 重难点：熟练进行有理数加、减法的运算，并解决实际问题 知 识 点 睛 一 有理数的加法 1、有理数的加法法则 （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0 （3）一个数与0相加，仍得这个数 注意：互为相反数的两个数相加得0即，反之 2、从数轴移动看有理数的加法法则 （1）同号两数相加：一个的从原点出发先向右移动2个单位，再向右移动3个单位，最终落点的位置；一个的从原点出发先向左移动2个单位，再向左移动3个单位，最终落点的位置 （2）异号两数相加：一个的从原点出发先向右移动5个单位，再向左移动3个单位，最终落点的位置；一个的从原点出发先向左移动5个单位，再向右移动3个单位，最终落点的位置；一个的从原点出发先向左移动5个单位，再向右移动5个单位，最终落点的位置 （3）与0相加：一个的从原点出发先向右移动5个单位，再原地不动，最终落点的位置；一个的从原点出发先向左移动5个单位，再原地不动，最终落点的位置 3、有理数加法的运算律 （1）加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变 （2）加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 3、有理数加法的运算技巧 （1）两个相反数相加和为0优先相加；（2）同分母的数优先相加；（3）能凑整的数优先相加；（4）同类型的数优先相加，整数加整数，分数加分数；（5）带分数拆成整数加分数的形式进行相加 3、多个绝对值（非负数）相加和为0 每个绝对值均为0。 即刻训练：计算：4+（﹣28）+（﹣2） 答案： 考查了有理数加法法则以及运算律 即刻训练：若 答案： 考查了多个绝对值相加和为0，按照绝对值性质以及加法法则进行求解 二 有理数的减法 1、有理数的减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数 注意：①有理数的减法是有理数的加法的逆运算②减法转化为加法时一不变，两变：被减数不变；减号变加号；减数变相反数③减正=加负；减负=加正；减0不变，0减变相反数 3.利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离：数轴上两点表示的数分别为时，这两点之间的距离，即在数轴上，任意两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值（或两点之间的距离等于这两点所表示的数中较大的数减去较小的数） 2、加减混合运算 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。 同意运算后再运用加法的交换律和结合律简化运算，运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法，①读成数的和②读加减 【例】：−2−3+27−24，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24 3、数轴上两点之间的距离 在数轴上明确两点所对应的数值时，两点间距离为右边数减左边数，例如：2和8之间的距离为； 在数轴上不明确两点所对应的数值时，两点间距离为两数任意相减的绝对值，例如： 即刻训练：计算：（﹣28）﹣（﹣2） 答案： 考查了有理数减法法则 即刻训练：计算： 答案：解： 考查了有理数加、减法混合运算及运算律 热 点 题 型 归 纳 （加、减混合运算） 【例1】计算： 答案：解： 考查有理数加减混合运算、运算律，以及简便算法 （运算与数轴的结合） 【例2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且 ，下列各式中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：，根据有理数加减法法则，以及数在数轴上的表示，正确的是①和④ （运算与绝对值的结合） 【例3】已知，（1）若，求的值；（2）若，求 答案：解：（1）∵a＞0，|a|＝5，∴a＝5， 当b＝7时，|a﹣b|＝|5﹣7|＝2；当b＝﹣7时，|a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12， ∴|a﹣b|的值为2或12； （2）∵|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a＜b， 当a＝5时，b＝7，则a+b＝5+7＝12，当a＝﹣5时，b＝7，则a+b＝﹣5+7＝2， ∴a+b的值为：12或2． 考查绝对值性质，掌握去绝对值的方法，以及分情况讨论 （数轴上两点间距离） 【例4】阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．也就是说|4﹣（﹣3）|表示4与﹣3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．比如|x+3|可以写成|x﹣（﹣3）|，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣3的点之间的距离．再举个例子：等式|x﹣1|＝1的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2． 解决问题： （1）|4﹣（﹣2）|＝　 　 ； （2）若|x+3|＝7，则x＝　 　 ；若|x+3|＝|x﹣1|，则x＝　 　 ； （3）|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x的点到﹣3和1两点的距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4． 答案：解：（1）根据数轴上表示4的点与表示﹣2的点之间的距离为6可得： （2）∵|x+3|＝7，∴x+3＝±7，解得：x＝4或x＝﹣10； |x+3|＝|x﹣1|，|x+3|＝±（x﹣1），解得：x＝﹣1； （3）∵|x+3|+|x﹣1|＝4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1． 考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示 （新定义运算） 【例5】定义“※”运算，观察下列运算： （+2）※（+13）＝15，（﹣10）※（﹣12）＝22；（﹣5）※（+13）＝﹣18，（+8）※（﹣10）＝﹣18；0※（+13）＝﹣13，（﹣10）※0＝10． （1）请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号　 　 ，异号　 　 ，并把绝对值　　 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的　 　 ． （2）计算：3※2024＝　 　 ，（﹣10）※15＝　 ；（3）计算：（﹣15）※[0※（﹣7）] 答案：解：（1）得正，得负，相加；相反数； （2）3※2024＝+（3+2024）＝2027，（﹣10）※15＝﹣（10+15）＝﹣25； （3）（﹣15）※[0※（﹣7）]＝（﹣15）※7＝﹣22． 考查新定义，根据定义进行运算即可 （联系实际问题） 【例6】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 ﹣5 ﹣2 +11 ﹣7 +13 +5 （1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ （3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 答案：解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）． 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）3﹣5﹣2+11﹣7+13+5+100×7＝18+700＝718（千克）． 答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克． （3）718×（8﹣3）＝718×5＝3590（元）． 答：小王第一周销售柚子一共收入3590元． 考查实际应用中，正数和负数以及有理数的混合运算 中 考 真 题 1.（2024•长春）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（　　） A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2） 答案：，考查有理数加法法则 同 步 检 测 一．选择题 1．有五张卡片，分别标记为A、B、C、D、E，每张卡片上各写有一个正整数．现将每两张卡片上的数字相加，所得两数之和记录如表： 卡片编号 A、B B、C C、D D、E E、A 两数的和 56 58 35 60 53 以下说法错误的是（　　） A．A卡片上的数最小 B．C卡片上的数大于D卡片上的数 C．B卡片上的数最大 D．E卡片上的数仅比B卡片上的数小 2．某地冬天早晨的气温是﹣5℃，中午气温上升了7℃，则中午的气温是（　　） A．2℃ B．﹣2℃ C．﹣12℃ D．12℃ 3．已知|a|＝6，|b|＝4且a＜b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或﹣10 C．﹣10 D．以上都不是 4．如果两个数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．至少有一个负数 B．至少有一个正数 C．至少有一个为0 D．均不为0 5．已知a与﹣4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，则a+b的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．3或5 二．填空题 6．两个连续自然数之和一定是　 　 （填“奇数”或者“偶数”）． 7．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入9个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则m﹣n＝　 　 ． 8．若“方框”表示运算x﹣y+z+w，则“方框”＝　 　 ． 9．若|x|＝3，y＝﹣2且x＜y，则x+y＝ 　 　 ． 10．小李不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，则墨迹盖住的所有整数和为　 　 ． 三．解答题 11.已知|x﹣2|+|y﹣3|＝0． （1）求x，y的值；（2）已知|x+y+z|＝7，求z的值 12．如果有理数a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么式子a﹣b+2c的值是多少． 13．若|a|＝3，|b|＝1，|c|＝5，且|a+b|＝a+b，|a+c|＝﹣（a+c），求a﹣b+c的值． 14．已知|a|＝4，|b|＝6． （1）当 时，求a+b的值；（2）当|时，求a﹣b的值． 15．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　 　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 16．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行情况记录如下（单位：千米）：10，﹣9，﹣5，+7，﹣11，+2，﹣10，+6． （1）B地在A地哪个方向，距离为多少？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，出发时油箱有油25升，求途中至少还需补充多少升油？ 17．【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下：（1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和；（2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和；（3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：（+3）*（+15）＝+18；（﹣14）*（﹣7）＝+21；（﹣12）*（+14）＝﹣26； 0*（﹣15）＝+15；（+13）*0＝+13 【计算】 ①（﹣20）*（﹣5）；②（+7）*（﹣10）；③0*（﹣8）；④[（﹣5）*（+2）]*（﹣4） 18．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法；请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 19．计算： （1）6﹣（﹣5）+（﹣11）； （2）（﹣9.25）+（﹣2.8）+（+2.25）； （3）； （4）． （5）（﹣5）+（﹣2）+（+9）﹣（﹣8）； （6）； （7）（﹣49）﹣（+91）﹣（﹣5）+（﹣9）； （8）． 答 案 解 析 1． 考查了有理数的加法以及简单的逻辑推理和等量代换 2． 考查有理数的加法、正数和负数 3． 解：∵|a|＝6，|b|＝4，且a＜b，∴a＝﹣6，b＝4或a＝﹣6，b＝﹣4， 则a﹣b＝﹣2或﹣10 考查有理数的加法，以及绝对值 4． 考查有理数的加法、正数和负数 5． 解：∵a与﹣4互为相反数，∴a+（﹣4）＝0，即a＝4， ∵b的绝对值是最小的正整数，∴|b|＝1，∴b＝±1， ∴a+b＝4+1＝5或a+b＝4+（﹣1）＝3， 考查相反数的定义，绝对值的定义，有理数的加法 6． 奇数 解：设较小的自然数为n（n为自然数），则另一个连续自然数为n+1， 两数之和为n+（n+1）＝2n+1， ∵2n是2的整数倍，∴2n是偶数， ∵偶数加1为奇数，∴2n+1是奇数，即两个连续自然数之和一定是奇数． 考查有理数的加法 7．﹣8 解：﹣4﹣2+3＝﹣3， m＝﹣3﹣1﹣（﹣4）＝0， ﹣3﹣0﹣2＝﹣5， n＝﹣3﹣3﹣（﹣5）＝﹣1， m﹣n＝0﹣（﹣1）＝1． 考查的是有理数的加法 8．解：根据题意得：“方框”＝﹣2﹣3+3﹣6＝﹣8， 考查有理数的加减混合运算 9．﹣5 解：∵|x|＝3，∴x＝±3， ∵y＝﹣2且x＜y，∴x＝﹣3，∴x+y＝﹣3+（﹣2）＝﹣5， 考查有理数的加法，绝对值 10．﹣4 解：由图可知，右边盖住的整数是0、1、2，左边盖住的整数是﹣4、﹣3， ∴和为﹣4+（﹣3）+0+1+2＝﹣4， 考查数轴，有理数的加法 11.解：（1）由题意得，x﹣2＝0，y﹣3＝0，解得x＝2，y＝3； （2）∵x＝2，y＝3，|x+y+z|＝7，∴|2+3+z|＝7，∴5+z＝±7，∴z＝2或﹣12． 考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0 12．解：由已已知可得a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴原式＝1﹣（﹣1）+2×0＝1+1+0＝2． 考查有理数的加减混合运算，绝对值，有理数 13．解：∵|a|＝3，|b|＝1，|c|＝5，且|a+b|＝a+b，|a+c|＝﹣（a+c）， ∴a＝3，b＝±1，c＝﹣5， ∴a﹣b+c＝3﹣1+（﹣5）＝﹣3，或a﹣b+c＝3+1+（﹣5）＝﹣1． 考察绝对值的相关性质及加减混合运算 14．解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b±6， （1）∵|a+b|＝﹣（a+b），∴a+b≤0， ∴a＝4，b＝﹣6或a＝﹣4，b＝﹣6，∴a+b＝﹣2或﹣10； （2）∵|a+（﹣b）|＝|a﹣b|＝a﹣b≥0，∴a≥b， ∴a＝±4，b＝﹣6，∴a﹣b＝10或﹣2． 考查有理数的加减法，化简绝对值 15．解：（1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是|8﹣4|＝4，数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是|3﹣（﹣6）|＝9． （2）根据题意，得：|x﹣（﹣2）|＝12， ∴|x+2|＝12，∴x+2＝﹣12或x+2＝12，解得：x＝﹣14或x＝10， （3）∵|x+1|+|x﹣3|表示x到﹣1和3的距离之和， ∴当x在﹣1和3之间时距离和最小，最小值为|﹣1﹣3|＝4， 考查数轴上两点之间的距离，有理数的加减混合运算，绝对值， 16．解：（1）10﹣9﹣5+7﹣11+2﹣10+6＝﹣10；∴B地在A地的西面，距离10千米处； （2）（10+9+5+7+11+2+10+6）×0.5﹣25＝5（升）．答：至少还需补充5升油． 考查正数和负数，有理数的加减运算 17．解：【计算】①（﹣20）*（﹣5）＝20+5＝+25＝25； ②（+7）*（﹣10）＝7+（﹣10）＝﹣17； ③0*（﹣8）＝+8＝8； ④[（﹣5）*（+2）]*（﹣4）＝（﹣7）*（﹣4）＝+11＝11； 考查有理数的加法、绝对值 18．解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1+（﹣1）＝0． 考查有理数的加法运算 19．解：（1）原式＝6+5﹣11＝11﹣11＝0； （2）原式＝﹣9.25+2.25﹣2.8＝﹣7﹣2.8＝﹣9.8； （3）原式 ＝﹣7﹣3＝﹣10； （4）原式 ； （5）原式＝﹣5﹣2+9+8＝﹣7+9+8＝10； （6）原式＝0.85+0.75﹣2.75﹣1.85+3＝（0.85﹣1.85）+（0.75﹣2.75）+3＝﹣1﹣2+3＝0； （7）原式＝﹣49﹣91+5﹣9＝（﹣49﹣91﹣9）+5＝﹣144； （8）原式＝﹣32.44（﹣3）+（24）＝﹣4﹣2＝﹣6． 考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则 23 学科网（北京）股份有限公司 $