湖南长沙市周南中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷立足基础，融合数学文化与实际应用，如《九章算术》鳖臑外接球、质量监测统计分析，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交集、互斥事件概率、三角函数二倍角公式|基础概念辨析，如第2题互斥事件概率加法| |多选题|3/18|复数运算、逻辑否定、向量共线|多维度考查，如第10题综合逻辑用语与统计| |填空题|3/15|对数函数单调性、独立事件概率、《九章算术》几何体|文化渗透，如第14题结合堑堵求外接球表面积| |解答题|5/77|统计与概率、三角函数图像、立体几何体积、解三角形与柯西不等式|分层设计，如第19题从解三角形到柯西不等式应用，提升创新思维|

长沙市周南中学2026年上学期高一年级数学科期末考试试题 时量：120分量：150 命题人、审题人：谭周涛、代志强 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|-1<x≤4},N={x|0<x≤3},则M∩N= ( ) A. (0,3] B. (0,4] C.(-1,3] D.[-1,4] 2.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,且A,B互斥,则P(A∪B)= ( ) A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 3.若 则cos2α= ( ) 4.在三棱锥P—ACD中,E,F分别是棱PC,CD的中点,则EF与平面PAD的位置关系为( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.无法判断 5.已知某圆锥的底面积为4π，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ( ) A. 8π B. 4π C. 12π D. 16π 6.已知f(x)是R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( ) A. f(π)<f(-3)<f(-2) B. f(π)>f(-2)>f(-3) C. f(π)<f(-2)<f(-3) D. f(π)>f(-3)>f(-2) 7.若f(x)= Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0< <)的部分图象如图所示，则ω的值是 ( ) A. 1 B.4 C.2 D.3 8.已知函数若关于x的方程 有6个根，则m的取值范围为（ ） 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z(1+i)=-1+3i,则下列叙述正确的是( ) A. z的实部为1 B. z的共轭复数为1-2i D.复平面内表示复数z的点在第二象限 10.下列结论正确的是( ) A.“∃x∈Q,2x=3”的否定是“∀x∈Q, 2x≠3” B.“x>3”是“x>2”的必要不充分条件 C.小张5次数学周测成绩为80,84,84,86,86,则这组数据的平均数为86 D.若 是幂函数,则log₂m=1 11.已知平面向量 则下列结论正确的是( ) A.若与共线，则实数m=7 B.| |一定有最小值 C.一定存在一个实数m，使得 D.若m=1，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若对数函数 在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 . 13.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率为 14.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵. 中,AC⊥BC, 则鳖臑A₁CBC₁外接球的表面积为 ,阳马体积的最大值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.某校高一年级教师为了精准掌握学生的数学学习情况，进行了数学质量监测，最高分为140分，最低分为40分.现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140]为分组,制成了如下的频率分布直方图. (1)求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x； (2)现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人，再从这3人中选择2人分享学习经验，求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率. 16.如图，在边长为2的正方形ABCD中. (1) 求 (2) 若F为边DC上一动点，且 问当λ为何值时，可使 最小，并求出 的最小值. 17.已知函数 (1)求函数f(x)的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式； (3)若函数h(x)=f(x)-m在区间 上没有零点，求m的取值范围. 18.如图，在直三棱柱 中,已知∠ABC≠90°,AB=BC=BB₁=2, E,F分别是线段AB，BC上的动点(不含端点)，AE=BF. (1)求证: (2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面A₁EF与平面 的夹角的余弦值. 19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA+atanAcosB=2asinC. (1)求A; (2)若M为BC边的中点, 求AM的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西(AugustinLouisCauchy, 1789年—1857年)是法国著名数学家.柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用.现保持(1)的条件不变，若a=3，P是△ABC内一点，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，借助三维柯西不等式： 其中 当且仅当 时，等号成立.当 取得最小值时，求△ABC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $