湖南益阳市桃江县第一中学2025-2026学年第二学期高一期末检测数学试题

**基本信息** 试卷以高一数学核心知识为载体，通过概率统计（如分层抽样、摸球概率）、立体几何折叠、函数新定义“偏差”等问题，融合数学眼光的空间观念、数学思维的推理能力与数学语言的数据意识，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、三角、概率、复数|第4题分层抽样结合实际班级数据，第7题单位向量夹角考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|三角恒等变换、对数指数关系、平面几何重心|第14题重心问题综合平面几何与向量表示，体现数形结合| |解答题|5题/77分|统计直方图、解三角形、概率应用、立体几何折叠、函数新定义|第18题折叠问题动态探究线面角与二面角关系，第19题“偏差”新定义考查创新思维与数学表达|

2025学年第二学期高一年级期末检测 数学试题 (本试题卷共4页，19题，时间：120分钟，满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.己知集合A=11<x≤2，B={2,-10,1 ,则4AnB= A{-2-l0yB0,12 c.{10,} D.形 2.已知向量0=(2,4)，6=(0，且16，则*的值为 1 A.-2 B.2 C.2 D.2 5π cos 3 6的值为 3 √3 1 A.2 B.2 C.2 D.2 4.高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人按性别分层，用分层随机抽样的方 法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，若样本按比例分配，则应抽取的男生人数为 A.5 B.6 C.7 D.8 5.袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个黑球，2个白球，3个黄球，从中不放 回地随机摸出2个球，能摸到白球的概率为 A司 P c.5 D.15 6.己知复数z满足z-1-i1,则z+i训的最大值为 数学 第1页（共4页） A2+1 B,V5+1 c.22+1 D.25+1 7.丙个单位向09与9满足56=0，测向量9-56与5的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150 8.在△AB 中， ∠B=30°AB=V5BC=2MN 分别是边BA,BC上的点，且满 足BA=2BM,BN=2NC,连接CM,AN交于点P,则AP与BP夹角的余弦值为 v21 4v91 √171 5V217 A.14 B.91 c.114 D.217 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数2=(m-7m+12+(m2-m-6j ,其中m∈R,则 A.若z∈R,则m=3或m=-2 B.当m=3或m=4时，复数z为纯虚数 C.若2=6-6i,则m=1 D.在复平面内，复数z对应的点在直线y=x上，则m=3 10.在正方体ABCD-4BCA中，4B=2.P=xD+y(yeD,则 A.若+y= ,则点P的轨迹为线段 AD B.若x=2,则点p的轨迹为连接棱4D的中点和棱4D中点的线段 C.若r=y P-ABC ,则三棱锥 的体积为定值 2W2 D.若》=2，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为 1,若定义在R上的函数)，且满足当>0时，()>0，并且，yeR,都有 数学 第2页（供4页） )2 下列说法正确的是 A.f(0)=0 B.()是偶函数 c.f(+)=f(x)+f0) D.若/()+2(x-3)≥0，则x≥2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a,B均为锐角， sin(a-B)=15 3 tana tan B=2,cos(a-B)= cos(2a+2B)= 13.十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当 1,1 a>0'a≠1时，d=N台b=10g,N.已知4=6'gy=6:则元ty=一 14.在平面内，直线mm,P在两直线之间且到m,n的距离分别为1,2，过P作两条相互 垂直的射线与m”分别交于M,N两点，6为△PN的重心，若设PW=a,PN=不，则 M,N MG可用a,b表示为 PG 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从 中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为 样本进行统计，将成统进行整理后，按S0,60),[6,70）,[70,80),[80,90),[0,10分 为5组，得到如图所示的频率分布直方图. 数学 第3页（共4页） 频率组距 0.035 0.025 0.020 a 05060708090100竞赛成绩/分 (1)求图中a的值： (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数： 80,100 (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在 内的学生中采用分层随机抽样的方法抽 90,100 取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在 内被抽取的人数. 16.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinC =3sinBsinA-3cosBcosA (1)求C: 3v21 (2)若边AB上的高为7，a=2,求b,c. 17.(15分)某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制，已知在甲、乙两人的比赛中，每 局比赛甲获胜的概率都为5，每局比赛结果相互独立 (1)求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； (2)求第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率； (3)求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率 18.Q7分》沟图.在矩形48CD中，4B=1,BC=5,M是线段4D上的动点，将 △ABM沿着BM折起，使点A到达点A'的位置，满足点A生平面BCDM且点A在平面 BCDM内的射影E落在线段BC上. 数学 第4页（供4页） D(M B B (I)当点M与点D重合时，证明：A'B⊥平面ACD; (2)当点M与点D重合时，求二面角A-BD-C的余弦值： (3)设直线CD与平面ABM所成的角为a,二面角A'-BM-C的平面角为B,求 sin'a.cosB 的最大值. 19,Q7分若定义在非空集合1上的函数，以及函数6的xbk,b∈R,且函数 y=f(x)-g(x,x∈1 的最大值称为8（的“箱差”. 0)函数f,xc0,小8(=-x-2,求8（国的“篇差”： (②函数f)=+1,xeL,2]g()=+1(k>0.若f,g()的“偏差”为3，求k的 值； 6面数()=-xD3引8)=2r+b,当8（因的“m差”取最小值时，求P的 值，并求出“偏差”的最小值。 数学 第5页（共4页）