精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高一第二学期期末考试 数学 命题人：贲腾 许笛 审题人：唐彬彬 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数求解规则直接求解即可. 【详解】由题知该组数据共有10个， ， 组数据的40%分位数为. 故选：C. 2. 复数（是虚数单位），则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后求出复数的模即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D． 3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是种，数学之和为偶数的有两种，所以所求概率为，选． 考点：古典概型． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式转化为同一形式的正弦函数，再利用正弦函数相等的条件，结合两个角的取值范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以原式变为：， 根据正弦函数性质可得：① 或②， 对于①，当时，，即，此时 能使上式成立， 对于②，因为，故， 而，不存在整数k使得，故舍去； 故选：B 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 7. 设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数. 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一： 组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】ABD 【解析】 【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ABD. 9. 在等腰中，，记，点分别是线段的中点，且点是线段（包括端点）上的一个动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 点运动到点处时， B. 点运动到线段中点处时， C. 的最小值为 D. 的最大值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质，逐项进行判断即可. 【详解】在等腰中，，， 则， 设（）， 以为原点，以、分别为轴、轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，， 由点是线段的中点，可得到， 又，所以. 对于A：当运动到点处时，由点是线段的中点， 可得，，故A正确； 对于B：点运动到线段中点处时， ， ，此时，，故B错误； 对于C：由，可得 ， 当时，取到最小值，故C正确； 对于D：由，，， 可得， ， 所以 ，在上单调递增， 所以当时，取到最大值8，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体的截面面积为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若为的中点，则三棱锥的体积为1 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，先确定截面，然后计算面积即可；对于选项B，首先确定点的轨迹，然后利用弧长公式进行计算即可；对于选项C，首先确定点到底面的距离，然后根据三棱锥体积公式求出三棱锥的体积即可；对于选项D，找出与平面所成的角的最小值和最大值，然后根据边角关系求出其正弦值即可. 【详解】对于选项A： 取线段的中点，连接，那么平面截该正方体的截面为平面. 由于，所以面积为，所以A错误； 对于选项B： 因为平面，平面， 所以，所以根据勾股定理得， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的弧. 如图所示，因为，所以，所以. 同理.所以弧长角度为，所以轨迹长度为，B正确； 对于选项C： 取的中点，连接，则. 取的中点，连接，过点作. 因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以. 又，所以. 又，且平面.所以平面. 所以点到平面的距离为点到平面的距离. 设平行直线之间的垂直距离为，则， 所以，所以点到平面的距离为. 因为平面，平面，所以. 所以. 所以三棱锥的体积为，所以C正确； 对于选项D： 作，连接. 因为平面，平面， 所以，因为，平面. 所以平面.所以与平面所成的角的正弦值为. 在中，，解得. 当点位于时，平面，此时与平面所成的角的正弦值最小为0； 当店位于处时，此时与平面所成的角的正弦值最大，最大值小于，达不到. 所以D错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 球员罚球命中的概率是0.7，球员罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立．那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______．（用小数表示） 【答案】## 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“球员和球员至少一人罚球命中”， 则其对立事件为“罚球命中两人都未罚球命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，， 所以. 故答案为：. 12. 设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 13. 甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平均数为，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲、乙两队全部队员体重的方差等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出体重的总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得. 【详解】体重的总平均数为， 则甲、乙两队全部队员体重的方差. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 15. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值； （2）根据频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出评分在，内应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 ， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； 【小问3详解】 评分在的人数为人， 评分在的人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 16. 如图，在中，角的对边为为三角形的面积，已知角满足． （1）求； （2）若分别在边上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理代入，可得，然后可求； （2）由题知可解，由，可求，设，又代入可求，同理设，再利用余弦定理可求，然后根据三角形面积计算公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理， 所以， 即， ，. 【小问2详解】 ，，，， ，， 又，， ，， 设，又，所以， 即， 设，又， 所以，解得，即， ， 所以的面积为. 17. 已知函数． （1）设函数，求在区间上的值域； （2）设函数，求的值； （3）设函数，且，成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1012 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式，并利用单调性的定义证明在区间上单调性，再利用单调性求值域即可； （2）先求出的解析式，发现，再分组求和即可； （3）先求出在上的值域是，将，成立，转化为当时，；令，，将转换为，然后根据的对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，分别求解，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，， ， ，且， 则， 由，得，， 所以，即， 所以在区间上单调递减， 因为，， 所以在区间上的值域为； 【小问2详解】 由， 则， 所以， ， 上式中一共有1012组，每组的和为1，所以； 【小问3详解】 因为，所以在上的值域是， ，成立， 意味着当时，， 令，当时，， 所以可转化为关于的函数 ， 即当时，， 已知函数的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 因为，所以； ②当，即时，在时取得最小值， 所以， 即，即，解得， 因为，所以； ③当，即时，在上单调递减， 所以，解得， 因为，所以此时无解； 综上①②③可知，实数的取值范围为. 18. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点，过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和．球面上两个对径点和以这两点为端点的两个半大圆所围成的球面图形称为球面二角形．对于球面上不在同一个大圆上的点，过任意两点的大圆上的劣弧所组成的图形称为球面三角形，记其面积为．若球面上，的对径点分别为，则球面与球面全等． （1）如图1，已知球的半径为，两个半大圆所成的锐二面角为，用表示球面二角形的面积； （2）如图2，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为． （ⅰ）若平面，平面，平面两两垂直，求球面的面积； （ⅱ）用表示球面的面积． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】(1)由两个半大圆所成的锐二面角为，根据比例求出球面二角形的面积； (2)(i)求球面二角形的面积，结合对称性求结论， (ii)求三个球面二角形的面积，由此可得，解出即可. 【小问1详解】 设球的表面积为，则， 因为两个半大圆所成的锐二面角为， 所以， 则. 【小问2详解】 (i)因为平面，平面，平面两两垂直， 所以每个球面二角形的面积为， 由球面的对称性可得； 所以球面的面积； （ii）圆弧所在大圆和圆弧所在大圆夹角为二面角，即， 那么两弧所在半圆所夹球面二角形的面积为， 同理，和所在半圆所夹球面二角形的面积为， 和所在半圆所夹球面二角形的面积为， 由球面的对称性可得 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2024—2025学年度高一第二学期期末考试 数学 命题人：贲腾 许笛 审题人：唐彬彬 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 2. 复数（是虚数单位），则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是 A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 9. 在等腰中，，记，点分别是线段的中点，且点是线段（包括端点）上的一个动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 点运动到点处时， B. 点运动到线段中点处时， C. 的最小值为 D. 的最大值为8 10. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体的截面面积为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若为的中点，则三棱锥的体积为1 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 球员罚球命中的概率是0.7，球员罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立．那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______．（用小数表示） 12. 设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是______． 13. 甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平均数为，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲、乙两队全部队员体重的方差等于______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 15. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 16. 如图，在中，角的对边为为三角形的面积，已知角满足． （1）求； （2）若分别在边上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求的面积． 17. 已知函数． （1）设函数，求在区间上的值域； （2）设函数，求的值； （3）设函数，且，成立，求实数的取值范围． 18. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点，过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和．球面上两个对径点和以这两点为端点的两个半大圆所围成的球面图形称为球面二角形．对于球面上不在同一个大圆上的点，过任意两点的大圆上的劣弧所组成的图形称为球面三角形，记其面积为．若球面上，的对径点分别为，则球面与球面全等． （1）如图1，已知球的半径为，两个半大圆所成的锐二面角为，用表示球面二角形的面积； （2）如图2，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为． （ⅰ）若平面，平面，平面两两垂直，求球面的面积； （ⅱ）用表示球面的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $