2.5.1 第二课时 直线与圆的方程的实际应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“基础巩固-综合运用-拓展提高”分层设计，聚焦直线与圆的方程实际应用，通过情境化问题链实现从概念理解到建模应用的进阶，培养数学建模与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的方程、直线与圆位置关系|以涵洞、台风等简单情境设题，如第1题辨析坐标系对圆方程的影响，夯实概念理解| |综合运用|复杂场景下方程应用|结合隧道截面、轮船监测等问题，如第14题用坐标法解决监测范围问题，提升综合建模能力| |拓展提高|跨情境与历史问题探究|引入《九章算术》“圆材埋壁”古题及桥梁保护规划，如第16题融合几何与优化，发展创新思维|

第二课时　直线与圆的方程的实际应用 一、基础巩固 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　) A.x2+y2=25 B.x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立的直角坐标系的变化而变化 2.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处三角形舞台,则舞台面积的最小值为(　　) A.3- B.3+ C.3- D. 3.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A,距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则暗礁所在区域边界的方程为(　　) A.(x+20)2+(y-20)2=100 B.(x-20)2+(y+20)2=100 C.(x+20)2+(y+20)2=100 D.(x-20)2+(y-20)2=100 4.(多选)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(　　) A.6秒 B.8秒 C.10秒 D.16秒 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)(　　) A.100 B.100 C.150 D.150 6.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥,已知在某个时间段,这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为(　　) A.10米 B.10米 C.6米 D.6米 7.如图所示,A,B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B两点,C是两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围为(　　) A. B.(0,π] C. D.(0,2-π] 8.如图,是一个圆曲隧道的截面,若路面AB宽为10 m,净高CD为7 m,则此隧道截面圆的半径是　　　　m.  9.如图,两圆形车轮叠靠在墙边,已知两圆的半径分别为4和1,则它们与墙的切点A,B间的距离为　　　　.  10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为　　　　h.  11.某圆拱桥的水面跨度为20 m,拱高为4 m.现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过? 二、综合运用 12.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为(　　) A.(12-24)m B.(12+24)m C.(24-12)m D.不确定 13.如图,一公路隧道截面图的下方ABCD是矩形,且AB=4 m,BC=8 m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP=2 m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5 m,车道两边留有0.5 m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是　　　m(精确到0.01 m,≈7.141).  14.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法) 三、拓展提高 15.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其大意为:现有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯去锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少?现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分),已知弦|AB|=1尺,弓形高|CD|=1寸,则阴影部分的面积约为(　　) A.6.33平方寸 B.5.35平方寸 C.7.37平方寸 D.8.39平方寸 16.如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 第二课时　直线与圆的方程的实际应用 一、基础巩固 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　) A.x2+y2=25 B.x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立的直角坐标系的变化而变化 答案　D 解析　坐标系不同,方程则不同. 2.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处三角形舞台,则舞台面积的最小值为(　　) A.3- B.3+ C.3- D. 答案　A 解析　lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离 d==, 所以AB边上的高的最小值为-1, 所以Smin=×2×=3-. 3.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A,距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则暗礁所在区域边界的方程为(　　) A.(x+20)2+(y-20)2=100 B.(x-20)2+(y+20)2=100 C.(x+20)2+(y+20)2=100 D.(x-20)2+(y-20)2=100 答案　D 解析　易得暗礁所在区域边界为一个圆,过A作y轴的垂线,垂足为B(图略), 则∠AOB=30°, ∵|OA|=40, ∴|AB|=20,|OB|==20, ∴暗礁所在区域边界方程为 (x-20)2+(y-20)2=100. 4.(多选)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(　　) A.6秒 B.8秒 C.10秒 D.16秒 答案　AD 解析　设当圆与直线l相切时,圆心坐标为(0,m), 则圆心到直线l的距离为=, 得m=-或m=-, 所以该圆运动的时间为=6(秒)或=16(秒). 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)(　　) A.100 B.100 C.150 D.150 答案　A 解析　以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设修建的新路所在直线方程为kx-y+100k=0(k>0), 则当该直线与圆O相切时,小路长度最小, 此时=45,解得k=1, 此时求得小路长度为100 m. 6.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥,已知在某个时间段,这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为(　　) A.10米 B.10米 C.6米 D.6米 答案　C 解析　根据题意, 建立如图所示的圆拱桥模型. 设圆O的半径为R,当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为AB的中点, 即|AB|=20,|OM|=R-4, 由勾股定理, 得|AM|2==|OA|2-|OM|2, 即100=R2-(R-4)2,解得R=. 当水面上涨2米后,水面为CD,N为CD的中点, 此时|ON|=R-2, 由勾股定理,得|CD|=2|CN| =2=6米,故选C. 7.如图所示,A,B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B两点,C是两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围为(　　) A. B.(0,π] C. D.(0,2-π] 答案　C 解析　如图所示,由题意知,当两动圆外切时,围成图形面积S取得最大值,此时四边形ABO2O1为矩形, 且Smax=2×1-··12×2=2-. 8.如图,是一个圆曲隧道的截面,若路面AB宽为10 m,净高CD为7 m,则此隧道截面圆的半径是　　　　m.  答案　 解析　∵OD⊥AB, ∴AD=DB=AB=×10=5 m, 在Rt△OAD中,设半径OA=R, 则OD=CD-R=7-R, ∴OA2=OD2+AD2, 即R2=(7-R)2+52, 解得R=. ∴此隧道圆的半径OA是 m. 9.如图,两圆形车轮叠靠在墙边,已知两圆的半径分别为4和1,则它们与墙的切点A,B间的距离为　　　　.  答案　4 解析　设点E,F分别为两圆圆心,如图所示. 连EF,EA,FB并作EG⊥BF于G. 则EF=4+1=5,GF=4-1=3, ∴EG==4. 10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为　　　　h.  答案　1 解析　如图,以A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系, 则台风中心经过以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内时城市B处于危险区, 即B处于危险区时,台风中心在线段MN上, 由题意知,台风路径用方程表示为y=x, 则圆心B(40,0)到直线y=x的距离d==20, 可求得|MN|=2=20, 所以城市B处于危险区的时间为1 h. 11.某圆拱桥的水面跨度为20 m,拱高为4 m.现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过? 解　建立如图所示的坐标系,使圆心C在y轴上.依题意,有A(-10,0),B(10,0),P(0,4),D(-5,0),E(5,0). 设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2, 于是有 解此方程组,得a=0,b=-10.5,r=14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4). 把点D的横坐标x=-5代入上式, 得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1, 所以该船可以从桥下通过. 二、综合运用 12.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为(　　) A.(12-24)m B.(12+24)m C.(24-12)m D.不确定 答案　A 解析　如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6). 设圆拱所在圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 因为A,B,P在此圆上,故有 解得 故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0. 将点P2的横坐标x=6代入上式, 结合图形解得y=-24+12. 即支柱A2P2长为(-24+12)m. 13.如图,一公路隧道截面图的下方ABCD是矩形,且AB=4 m,BC=8 m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP=2 m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5 m,车道两边留有0.5 m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是　　　m(精确到0.01 m,≈7.141).  答案　3.97 解析　建立如图所示的平面直角坐标系xOy, 设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0,b),半径为r,则其方程为x2+(y-b)2=r2. 将P(0,2),D(4,0)的坐标代入以上方程, 解得b=-3,r=5, 故圆O1的方程为x2+(y+3)2=25. 过点E作AD的垂线交AD于点M,延长交弧AD于点N, 将N(-3.5,h)代入圆O1的方程, 解得h≈0.571,即|MN|≈0.571, 则|EN|≈4+0.571=4.571, 从而车辆的限高为4.571-0.6≈3.97(m). 14.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法) 解　如图,以O为原点, 东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0), B(0,30),圆O方程为 x2+y2=252. 直线AB方程:+=1, 即3x+4y-120=0.设O到AB距离为d, 则d==24<25, 所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为t,则 t==0.5(h). 所以外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5 h. 三、拓展提高 15.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其大意为:现有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯去锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少?现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分),已知弦|AB|=1尺,弓形高|CD|=1寸,则阴影部分的面积约为(　　) A.6.33平方寸 B.5.35平方寸 C.7.37平方寸 D.8.39平方寸 答案　A 解析　连接OD(图略),设半径为r. 由题意知|AD|=5寸,则|OD|=r-1, 在Rt△OAD中,|OA|2=|AD|2+|OD|2, 即r2=52+(r-1)2,解得r=13, 则sin∠AOC=, 所以∠AOC≈22.5°, 则∠AOB≈2×22.5°=45°, 所以扇形OAB的面积S1==≈66.33(平方寸), △OAB的面积S2=×10×12=60(平方寸), 所以阴影部分的面积为S1-S2≈66.33-60=6.33(平方寸). 16.如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 解　(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. 由条件知,A(0,60),C(170,0), 直线BC的斜率kBC=-tan ∠BCO=-. 又因为AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB=. 设点B的坐标为(a,b), 则kBC==-,① kAB==,② 联立①②解得a=80,b=120. 所以|BC|==150. 因此新桥BC的长为150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m, |OM|=d m(0≤d≤60). 由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170), 即4x+3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切, 故点M(0,d)到直线BC的距离是r, 即r==. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以 即 解得10≤d≤35. 故当d=10时,r=最大,即圆的面积最大. 所以当|OM|=10 m时,圆形保护区的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $