精品解析：河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期期末学业水平调研数学试题

河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期期末学业水平调研 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 数据2，3，5，7，9，m的极差为8，则（ ） A. 1 B. 10 C. 1或10 D. -6或17 3. 已知向量，，.若，则（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 4. 某智能园林水肥一体化设备共有6个水肥浓度调节档位，依次编号为1，2，3，4，5，6.养护人员先后随机独立选定两个档位（档位可重复选择）调试浇灌，则选定的两个档位的数字之和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（ ） A. 互斥 B. 对立 C. 相互独立 D. 相等 7. 在三棱锥中，平面，底面为正三角形，，，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某同学为了测量千寻塔的高度，在千寻塔的正东方向找到一座相邻的古建筑，高约为46m，在两建筑之间的地面上取点E（B，E，N三点在同一水平面上且共线），在E处测得楼顶A与塔顶M的仰角分别为45°和60°，在楼顶A处测得塔顶M的仰角为15°，则千寻塔的高度约为（ ） A. 66m B. 69m C. 72m D. 75m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙在某次测试中射箭20次，三人的测试成绩如下表所示，则（ ） 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 A. 甲这20次测试成绩的方差最大 B. 丙这20次测试成绩的标准差最小 C. 甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数相等 D. 甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数相等 10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数的模为5，且，则_____. 13. 设，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_____. 14. 已知某圆锥的底面直径为6，母线长为5，在该圆锥内放入一个球，则该球的表面积的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正四棱台中，，，. （1）证明：平面. （2）求该正四棱台的体积. 16. 某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动.在新一期研习活动中，研究院对100名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，），已知. （1）求a，b的值. （2）估计此次修习评分在内的参训人数. （3）将评分77分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于60%，则判定本期研习活动达标，试问本期活动是否达标?并阐述理由. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为棱的中点. （1）求异面直线与所成角的大小. （2）证明：平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在内，，，. （1）证明：平分. （2）证明：且. （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期期末学业水平调研 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 数据2，3，5，7，9，m的极差为8，则（ ） A. 1 B. 10 C. 1或10 D. -6或17 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得或，解得或. 3. 已知向量，，.若，则（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】根据题意可得，因为，所以，解得. 4. 某智能园林水肥一体化设备共有6个水肥浓度调节档位，依次编号为1，2，3，4，5，6.养护人员先后随机独立选定两个档位（档位可重复选择）调试浇灌，则选定的两个档位的数字之和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先后随机独立选定两个档位调试浇灌，共有6×6=36种选择， 其中事件“选定的两个档位数字之和为6”所包含的样本点为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5种， 故所求概率. 5. 一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】画出菱形的原图，如图1，设两条对角线交于点，则. 用斜二测画法画出菱形的直观图，如图2所示，过点作，垂足为， 则，，所以该菱形的直观图的面积为. 6. 掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（ ） A. 互斥 B. 对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【详解】因为事件“第一枚朝上的点数是奇数”， “第二枚朝上的点数是2的倍数”， ，不是整个样本空间，故不互斥不对立，也不相等， ，，，A与B相互独立. 7. 在三棱锥中，平面，底面为正三角形，，，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到线线垂直，为二面角的平面角，，进而求出各边长，由勾股定理求出答案 【详解】取的中点，连接，. 因为为正三角形，所以. 因为底面，平面，所以⊥，⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则为二面角的平面角，所以. 因为，所以，则. 因为，所以为的中点，则， 由勾股定理得. 8. 如图，某同学为了测量千寻塔的高度，在千寻塔的正东方向找到一座相邻的古建筑，高约为46m，在两建筑之间的地面上取点E（B，E，N三点在同一水平面上且共线），在E处测得楼顶A与塔顶M的仰角分别为45°和60°，在楼顶A处测得塔顶M的仰角为15°，则千寻塔的高度约为（ ） A. 66m B. 69m C. 72m D. 75m 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，，， 所以， 在中，. 在中，由，得. 在中，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙在某次测试中射箭20次，三人的测试成绩如下表所示，则（ ） 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 A. 甲这20次测试成绩的方差最大 B. 丙这20次测试成绩的标准差最小 C. 甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数相等 D. 甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数相等 【答案】BCD 【解析】 【详解】根据表中数据的对称性可得甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数均为8.5，甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数均为，C正确，D正确. 根据数据分布，乙的分布最分散，丙的分布最集中，所以乙的方差最大，丙的方差最小，标准差也最小，A错误，B正确. 10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦、余弦定理逐项分析. 【详解】已知，由二倍角公式，代入得：， 根据正弦定理，可得，代入，得， 将代入上式：， 化简提取公因式：， 因为是三角形内角，，因此：， 又，故，B错误； 根据余弦定理，代入：，整理为一元二次方程：， 解得：，边长为正，故，A正确； 根据正弦定理，代入：，C正确； 由余弦定理，代入：，D错误. 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径. 【详解】几何体共有7个面，C错误； 因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，A正确； 因为，，， 所以，所以，则，同理可证， 可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体， 其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确； 连接，，将平面与平面展开至同一平面， 如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值. 因为，，， 所以平面，则， 在图3中过作，与的延长线交于点， 则，， 所以，B正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数的模为5，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先设复数，再结合模长公式计算求解. 【详解】设，则，解得（负根舍去），所以，. 13. 设，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为在上的投影向量为，所以， 因为，是两个单位向量，所以， 即，即， 即与的夹角为. 因为，都是单位向量， 所以， 因为， ， 所以与的夹角为. 14. 已知某圆锥的底面直径为6，母线长为5，在该圆锥内放入一个球，则该球的表面积的最大值为_____. 【答案】9 【解析】 【详解】画出该圆锥的轴截面，如图所示，取的中点，连接，则. 根据题意可知所求球即为半径最大的球，设所求球的球心为O，则O在上， 设球O与切于点E，连接，则. 设球的半径为，则， 由题意可得，，所以. 由，得，即，解得， 所以该球的表面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正四棱台中，，，. （1）证明：平面. （2）求该正四棱台的体积. 【答案】（1）根据正四棱台的性质可得. 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱台的性质可得，再利用线面平行的判定证明平面. （2）求出正四棱台的高，代入体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 则，所以， 根据正四棱台的性质可得平面，则， 因为在正四棱台中，， 所以，， 所以，该正四棱台的体积为. 16. 某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动.在新一期研习活动中，研究院对100名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，），已知. （1）求a，b的值. （2）估计此次修习评分在内的参训人数. （3）将评分77分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于60%，则判定本期研习活动达标，试问本期活动是否达标?并阐述理由. 【答案】（1） （2）75 （3）超过60%的人的修习评分在77分及以上，即为40%分位数大于或等于77， 因为修习评分在内的频率为，修习评分在内的频率为，所以40%分位数在内. 所以，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人的修习评分在77分及以上，本期活动达标. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为这一性质进行求解即中； （2）根据频率和频数之间的关系进行求解即可； （3）根据百分数位的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知解得 【小问2详解】 此次修习评分在内的频率为， 所以估计此次修习评分在内的参训人数为. 【小问3详解】 略. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为棱的中点. （1）求异面直线与所成角的大小. （2）证明：平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：因为，， 所以，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）平移求异面直线的夹角. （2）通过线线垂直证明线面垂直. （3）等体积法求点到平面的距离，再结合直角三角形求线面夹角. 【小问1详解】 取的中点，连接，，则，且. 因为，，所以四边形为平行四边形，则. 因为平面，所以平面，又平面，所以. 异面直线与所成的角为，，所以， 即异面直线与所成的角为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 因为平面，为棱的中点，所以点到平面的距离为， 所以， 因为平面，平面，所以，由（2）可得， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得. 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）当时，说明前次均未抽到次品，则， 说明前次均未抽到次品，则， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）根据的取值情况，分别计算的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解； （2）可根据的含义列出关于的方程，进而求解； （3）分别分析和，再根据独立事件概率乘法公式进行证明. 【小问1详解】 由题意可知， ， . 【小问2详解】 依题意得. 即，解得或（舍去），所以. 【小问3详解】 略 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在内，，，. （1）证明：平分. （2）证明：且. （3）若，证明：. 【答案】（1）证明：根据题意可得，即， 即， 因为，所以，即平分. （2）证明：设，则，. 在中，. （3）证明：在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，即， 根据正弦定理得，即. ， 当且仅当时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）根据等式与两向量夹角的数量积定义，结合两角范围即可求解； （2）根据三角形性质即可证明； （3）根据正弦定理，得到，利用基本不等式即可求解. 【19题详解】 略 【20题详解】 略 【21题详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $