精品解析：山东日照市东港区部分校联考2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2024级高二下学期期末考试 数学 2026.07 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 5. 已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 6. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. “”的否定是“” C. 若，，，则的最小值为4 D. 不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 10. 已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 在上单调递增 11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数过定点________． 13. 已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 14. 已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）解不等式． 16. 设数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 17. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求的值和数列的通项公式； （2）证明：. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，函数恒成立，求实数a的取值范围； （3）设．求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 19. 设全集为U，，定义域为D的函数是关于x的“函数组”，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为R的函数，当时，有，等．若存在非空集合满足当且仅当时，函数在D上存在零点，则称是A上的“跳跃函数”． （1）设，，若函数是A上的“跳跃函数”，求集合A； （2）设，，若不存在集合A使为A上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合U的并集； （3）设，为A上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求实数a的最大值，使得对于任意，均有的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期期末考试 数学 2026.07 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合或， 因为，所以. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 3. “”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则， 令，可得，故必要性成立； 充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列， 例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立， 因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件. 4. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 5. 已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用极值点的定义得到，再利用等比数列的下标和性质即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是函数的极值点，所以是的两根， 所以，又， 则， 故选：A. 6. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，根据等差数列通项公式可得，由与的关系计算可得. 【详解】， ，即，而 是以2为首项，公差为2的等差数列， ，则， . 故选：C 7. 已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，问题化为与（）只有一个交点，数形结合确定参数范围. 【详解】令，则， 由对勾函数性质，得，则， 所以等价于，即， 由开口向上，对称轴为： 在上单调递增，，即， 在上单调递减，，即， 原函数有两个零点，即与（）只有一个交点， 由图知，的取值范围是. 8. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等比数列通项公式求出，结合等差数列通项公式得到与的关系式，根据为正整数的条件确定参数值，再计算并求对应占比． 【详解】由题意，数列前项为首项，公比为的等比数列， 第5项到第15项为公差为d的等差数列， 所以，， 所以，即， 若，则，解得，不符合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无符合条件的解， 因此，，，， 所以第天月球被太阳照亮部分占满月的比例为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. “”的否定是“” C. 若，，，则的最小值为4 D. 不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【详解】 选项A：函数有意义需满足，解得且， 即定义域为，不是，A错误； 选项B：全称量词命题的否定为存在量词命题，规则是将全称量词改为存在量词，同时否定结论， 因此“”的否定为“”，B正确； 选项C：因为， 则， 当且仅当时等号成立，故最小值为4，C正确； 选项D：对任意实数恒成立， 需满足判别式，解得，D错误. 10. 已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对 A，令抽象函数式中，代入等式直接求解的值进行判断；对 B，令，再通过奇偶定义验证函数奇偶性；对 C，令，求导即可判断；对 D，对两边求导，求出，在区间内判断导函数正负，依据导数与单调性的关系判定函数增减性. 【详解】对于A：令，代入原式得，解得，A正确； 对于B：令，所以， 所以，所以是奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C：令，则， 求导得，即，C正确； 对于D：因为， 对两边求导得，， 又，所以， 当，，因此在上单调递增，D正确. 11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A导函数零点个数转化为方程的实根个数，由在取最小值且时有一根；B由和得，利用对数平均不等式得到；C等差条件代入相乘得，即成等比；D设公差，由C得，再对得到的等式取对数得. 【详解】函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点， 即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点. 由于， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确. 已知，​，取对数相减得， 由对数平均不等式得​​，得，B错误. 若​成等差数列，则​. 因为​，​，​， 两式相乘得， 代入得， 满足等比中项性质，故成等比数列，C正确. 设等差数列公差为，则，， 由C的结论得，舍去得. 又，代入，​得， 两边取对数得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 13. 已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 14. 已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据为闭区间可得要对任意的恒成立，据此可求的范围. 【详解】不妨设，由，得， 记，，，，集合， 要使（其中）的取值范围为闭区间，需不存在空隙，即所有介于最小值和最大值之间的数都能取到， 在正数范围内，到可被的差覆盖， 下一个最小的正差为，因此若， 则区间内的数无法取到，存在空隙， 故要求对任意（），都有， 代入等比数列通项，化简得： 约去正数后整理得： 当时，，不等式左边，恒成立； 当时，，由于，当时， ，不等式左边趋向，必存在使得不等式不成立，存在空隙， 因此的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据自变量分别代入对应分段解析式算出与，再将两数值相加得到结果； （2）按分段边界分两类讨论，时解对数不等式，时解指数不等式，最后合并两段有效解集． 【小问1详解】 ，， 所以； 【小问2详解】 当时， ， 所以， 当时， ， 所以， 综上，不等式的解集为． 16. 设数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）已知与的关系，结合等比数列的定义求通项公式； （2）观察，应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求和. 【小问1详解】 当时，，即，解得， 当时，由，得， 所以，即， 所以，，所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 所以①， 则②， ①② 得， ， ， ， ， ， 所以. 17. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求的值和数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设差分构造等差数列，通过等差中项求出首项和公差，进而可求的通项公式； （2）将通项裂项为相邻两项之差，通过裂项相消求和，进而证明不等式成立. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. ，则的公差为2，首项为6，则，即， 则 . 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 则， 因为，则，则，得证. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，函数恒成立，求实数a的取值范围； （3）设．求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 【答案】（1）； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）求导后再求出切点坐标和切线斜率，从而得到切线方程； （2）分和讨论即可； （3）利用数列单调性定义判断出数列单调递增，再根据（2）中结论即可得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为．所以曲线在点处的切线方程为 即切线方程为． 【小问2详解】 因为对任意，均有恒成立， 即恒成立， 则， 令，对称轴 ①当时，，即在上单调递增， 又，所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以恒成立，即恒成立，符合题意； ②当时，，又， 又的两个根分别为， 所以，且当时，，即，则单调递减， 又，所以当时，，即，与矛盾，故不成立． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 由题意得， 一方面， ， 所以，则数列单调递增， 而，所以； 另一方面，由（2）知，当且仅当时，取“”， 令，则，则， 所以． 所以． 综上所述，的小数点后第一位数字为6． 19. 设全集为U，，定义域为D的函数是关于x的“函数组”，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为R的函数，当时，有，等．若存在非空集合满足当且仅当时，函数在D上存在零点，则称是A上的“跳跃函数”． （1）设，，若函数是A上的“跳跃函数”，求集合A； （2）设，，若不存在集合A使为A上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合U的并集； （3）设，为A上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求实数a的最大值，使得对于任意，均有的零点． 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ）由递推式累加得： ， 令即， 在上，，故，， 当n为奇数时，与矛盾，方程无解，无零点； 当n为偶数时，方程化简为， 令，则，当时， 根据函数的连续性知存在使，即有零点， 因此当且仅当n为正偶数时在D上有零点，即. （ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）将函数零点存在问题转化为方程在上有解的问题，判断函数的单调性从而求出其值域，即可根据方程有解列出应满足的不等式； （2）不存在集合A使为A上的“跳跃函数”，则对，在上均没有零点，因此利用分离参数法求出使在上无零点的n的取值范围，所有满足条件的都是该集合的子集，其并集就是这个范围本身； （3）（ⅰ）通过累加由递推关系求出的通项，再分析零点存在性与n为奇偶性的关系即可；（ⅱ）对每个偶数n，设零点为，满足，分析的单调性从而求出的范围即可确定a的最大值. 【小问1详解】 若在上存在零点，即方程在上有解， 令，在上单调递减， 因为且，所以当时，， 因为方程在上有解， 所以，解得且， 又，所以，则. 【小问2详解】 ， 因为，所以的零点由函数决定， 令，当时， 令，， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减. ，， 当时，，当时，， 所以当时，， 若在时无解，则， 当时方程无解. 所以当时，在上无零点， 所以所有满足条件的集合U的并集为. 【小问3详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设n为偶数，令，方程化为：， 对偶数，对同一的值比增长得快得多，因此方程的解更靠近，即，故严格递减， 对两边取对数得：，， 当时，即， 因此，且对所有偶数n，， 所以a的最大值为2. 【点睛】新定义题第一步永远是“翻译”：把陌生概念转化为熟悉的零点存在性问题.第（2）问分离参数时注意是奇点，值域分为两段.第（3）问n为奇数时不是“可能无解”而是必然无解（正负号矛盾），这是最简洁的判断方式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $