精品解析：山东滨州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题

高二数学试题 2026.7 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由函数，求导得，所以.   2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】由随机变量，且， 得. 3. 已知是虚数单位，复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】复数，所以. 4. 学校要从2个语言类节目和5个歌舞类节目中选出3个节目进行文艺汇演，要求选出的节目中至少有1个语言类节目，则不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 15种 C. 20种 D. 25种 【答案】D 【解析】 【详解】从7个节目中选出3个节目有种，其中没选出语言类节目的有种， 所以所求不同的选法共有种. 5. 甲、乙、丙三家工厂加工同一型号的零件，甲厂生产1000个，乙、丙两厂各生产500个，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙三厂加工的次品率分别为2%，2%，4%.现从中任取一个零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.025 B. 0.07 C. 0.08 D. 0.125 【答案】A 【解析】 【分析】先求出次品的总数，再求出零件总数，最后由古典概型问题求解即可. 【详解】由题意可得所有的次品数为个， 所以从个零件中任取一个，为次品的概率为. 6. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为①，②，…，⑥，则小球最终落入⑤号格子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】小球从顶端下落到底部共需要经过5次碰撞，每次碰钉后都有向左、向右2种等可能选择， 因此总路径数为种，其中落入⑤号格子需要4次向右、1次向左，路径数为种， 所以小球最终落入⑤号格子的概率为. 7. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果． 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图象为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 8. 设整数，，，若和除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为. 若，，则的值可以是（ ） A. 15 B. 50 C. 201 D. 354 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形并求出除以17的余数，进而逐项计算判断. 【详解】依题意得， 因此除以17的余数为16，而除以17的余数分别为， 所以的值可以是50，故B正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 经验回归直线至少经过个样本点，，，中的一个 B. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 若，，，，的平均数为2，则，，，，的平均数为5 D. 若随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，经验回归直线经过样本中心点，可以不过任何一个样本点，A错误； 对于B，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确； 对于C，由的平均数为2，得的平均数为，C正确； 对于D，随机变量，则，D正确. 10. 随机事件，满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，由事件与事件相互独立，所以求解可判断D选项. 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B错误； 由可得，即可知C正确； 由于， 因为事件与事件相互独立，所以，故D错误. 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递减 B. 当时，函数的最小值为2 C. 若在处取得极值，则 D. 若对任意，恒成立，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性、极值、最值，结合恒成立问题分离参数得到恒成立，逐一判断各选项即可 【详解】对于A项，，当时，令，得到， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，故A错误； 对于B项，，令，得到， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 函数的最小值为，故B正确； 对于C项，若在处取得极值，则，即， 验证：时，两侧导数符号改变，确为极值点，故C 正确； 对于D项，，即恒成立， 令，则， 时，， 故，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得. 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可确定二项式展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为， 当第一个因式取1时，第二个因式应取含的项，则对应系数为： ； 当第一个因式取时，第二个因式应取含的项，则对应系数为： ； 则的展开式中的系数为， 故答案为：. 【点睛】本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式展开式的通项为，考查推理能力与计算能力，是中档题. 14. 定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用单调性求解不等式. 【详解】令，则，则在上单调递减， 等价于，则，得， 则不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂抽取件电子元件检测，记录首次出现故障的时间（单位：天），绘制成如下的频率分布直方图： （1）估计这种电子元件首次出现故障的时间的中位数和平均数； （2）在区间和内，用分层随机抽样的方法抽取6件电子元件，再从这6件电子元件中随机抽取3件，设为抽取的3件电子元件出现故障的时间落在内的件数，求的分布列，数学期望和方差． 【答案】（1）中位数为，平均数为 （2） ， 【解析】 【分析】（1）先算出每个区间对应的频率，进而求出中位数和平均数； （2）计算分层抽样比例，确定抽取件数，确定分布类型，计算分布列，进而计算期望和方差． 【小问1详解】 组距为，各组频率如下： ：； ：； ：； ：； ：； ：； ：； ：； 累计频率到时为， 到时为， 中位数落在区间内， 故中位数为：； 平均数为： ． 【小问2详解】 区间的频数：， 区间的频数：， 两组数量比为：，分层抽取6件时： 中抽取件； 中抽取件； 表示抽取的3件中落在内的件数，的可能取值为，服从超几何分布： ； ； ； 分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为：， ， ． 16. 如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到，，从而证明出线面垂直； （2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为三棱柱为直三棱柱， 所以，又因为，，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为正方形，所以， 故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以，， 因为平面，， 所以平面， 【小问2详解】 由（1）可知：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得：，令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某工厂为了检查甲、乙两条自动流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品，并对每件产品给出合格或不合格的评价，得到下面的列联表： 甲流水线 乙流水线 合计 合格 93 97 190 不合格 7 3 10 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与流水线有关联？附：，其中. 临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）该工厂抽取5组产品数据，开展不合格品相关性统计分析.统计得到百件产品中，对应不合格品的数量为件，相关数据如下表所示： （单位：百件） 1 3 4 5 7 （单位：件） 5 14 21 24 36 根据统计数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.建立关于的经验回归方程，并预测生产10百件产品时不合格品的件数（精确到1）. 附：参考数据： 参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，不能认为产品是否合格与流水线有关联。 （2）经验回归方程为，预测生产10百件产品时不合格品约为51件。 【解析】 【分析】（1）提出零假设后计算卡方统计量，与临界值对比得出独立性检验结论； （2）先计算样本均值，用最小二乘估计求解回归方程参数，再代入预测值计算结果。 【小问1详解】 零假设为：产品是否合格与流水线无关联， 由列联表得， 不推翻零假设，所以依据小概率值的独立性检验，不能认为产品是否合格与流水线有关联。 【小问2详解】 计算样本均值， 则，， 所以， 所以， 所以， 当时，，即预测不合格品约为51件. 18. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）知，当，在上单调递减，在上单调递增； 所以， 要证，即证， 即证：， 因为，即证：， 令，所以， 且， 令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 所以恒成立，即成立，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数与切线斜率关系即可求解； （2）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间． （3）结合（2）可知，从而将问题转化为证明，令，利用导数研究的最小值即可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 所以， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 的定义域为 ， 求导数，得 ， 若 ，则，此时在上单调递增， 若 ，则由得，当时， ，当时， ， 此时在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略. 19. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人下棋比赛，假设每局比赛中甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙两人进行3局2胜制比赛（累计先胜2局者获得最终胜利），甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. （1）若，求3局2胜制比赛中甲获得最终胜利的概率； （2）记局胜制（）比赛中甲获得最终胜利的概率为，记局胜制比赛中，在第一局甲胜的条件下，甲获得最终胜利的概率为.证明：； （3）教室里有一盒白粉笔和一盒彩粉笔，其中白粉笔有支，彩粉笔有支，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，使用后不放回.记白色粉笔先被用完的概率为.证明：. 【答案】（1） （2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制比赛中，甲第一局胜的条件下，甲要获得最终胜利, 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. 所以，得证. （3）不妨设有无数支粉笔，则题意“用了支白粉笔时，至多用了支彩色笔”     “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布直接求解即可； （2）讨论甲第一局胜的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【小问1详解】 设事件为“3局2胜”制游戏中甲获得最终胜利 事件等效于甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局. 记3局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2026.7 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 已知是虚数单位，复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 学校要从2个语言类节目和5个歌舞类节目中选出3个节目进行文艺汇演，要求选出的节目中至少有1个语言类节目，则不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 15种 C. 20种 D. 25种 5. 甲、乙、丙三家工厂加工同一型号的零件，甲厂生产1000个，乙、丙两厂各生产500个，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙三厂加工的次品率分别为2%，2%，4%.现从中任取一个零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.025 B. 0.07 C. 0.08 D. 0.125 6. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为①，②，…，⑥，则小球最终落入⑤号格子的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设整数，，，若和除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为. 若，，则的值可以是（ ） A. 15 B. 50 C. 201 D. 354 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 经验回归直线至少经过个样本点，，，中的一个 B. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 若，，，，的平均数为2，则，，，，的平均数为5 D. 若随机变量，则 10. 随机事件，满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递减 B. 当时，函数的最小值为2 C. 若在处取得极值，则 D. 若对任意，恒成立，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则_____. 13. 的展开式中的系数为________． 14. 定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂抽取件电子元件检测，记录首次出现故障的时间（单位：天），绘制成如下的频率分布直方图： （1）估计这种电子元件首次出现故障的时间的中位数和平均数； （2）在区间和内，用分层随机抽样的方法抽取6件电子元件，再从这6件电子元件中随机抽取3件，设为抽取的3件电子元件出现故障的时间落在内的件数，求的分布列，数学期望和方差． 16. 如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某工厂为了检查甲、乙两条自动流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品，并对每件产品给出合格或不合格的评价，得到下面的列联表： 甲流水线 乙流水线 合计 合格 93 97 190 不合格 7 3 10 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与流水线有关联？附：，其中. 临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）该工厂抽取5组产品数据，开展不合格品相关性统计分析.统计得到百件产品中，对应不合格品的数量为件，相关数据如下表所示： （单位：百件） 1 3 4 5 7 （单位：件） 5 14 21 24 36 根据统计数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.建立关于的经验回归方程，并预测生产10百件产品时不合格品的件数（精确到1）. 附：参考数据： 参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 18. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 19. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人下棋比赛，假设每局比赛中甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙两人进行3局2胜制比赛（累计先胜2局者获得最终胜利），甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. （1）若，求3局2胜制比赛中甲获得最终胜利的概率； （2）记局胜制（）比赛中甲获得最终胜利的概率为，记局胜制比赛中，在第一局甲胜的条件下，甲获得最终胜利的概率为.证明：； （3）教室里有一盒白粉笔和一盒彩粉笔，其中白粉笔有支，彩粉笔有支，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，使用后不放回.记白色粉笔先被用完的概率为.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $