湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二 下学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。（在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.若复数z=1+),则=() A.1 B.2 C.2 D.3 2.已知集合A={xx-6x-7≤0}，B={x1+x>3},则AnB=() A.(2,7] B.(-2,1] c.[-1,2) D.「-l,+w) 3.在二项式(1+2x)4的展开式中，x的系数为() A.32 B.16 C.8 D.4 已知双曲线C、-a>06>0的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为() A B.2V5 D. v10 3 3 5.己知圆C:x2+y2=4,直线：y=x+√2，圆上到直线的距离等于1的点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知空间向量a=(2,-1,2),=(1,-2,1),则向量在向量a上的投影向量是() 424 424 A.9'9 B.(2,-1,2) C.333 D.(1,-2,1) 7。.设48是一个随机试验中的两个随机事件，且24)-写P叫到-分，P4+列-}，则 P(B|A)=() A月 R号 c D E 8.已知函数f(x)=k-1-a,8(x)=a-cos(πx),若f(x)与g(x)的图象有唯一公共点，则a的 值为() 第1页共4页 A.0 c.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。（在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列a,}满足4-1a:142aaeN),则下列结论正确的有（） A.数列 是等差数列 B.数列 是等比数列 a C.{a}的通项公式为a= 1 D.数列{a}是递增数列 2n-1 10.过抛物线C:y=4x的焦点F的直线1与C交于A,B两点，A在x轴上方，则() A.抛物线C的准线方程为x=-1 B.当1的倾斜角为时，4=4 11 C.当1垂直于x轴时，弦长AB吲最小 D. A丽网+B丽2 11.已知函数f(x)=a-a(a>1),则下列说法正确的有（) A.对任意的a>1,f(x)均有两个零点 B.若方程f(x)=m有两实根，则m∈(-o, C.若正实数s,t满足f(s)+f(t)=0,则s+t≥2 D.若s+t=0,则f(s)+f(t)≥0 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.om 13.已知函数f(x)=x2-3x+nx,则函数f(x)的极大值点为 ,极大值为 14.己知球O是棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D的内切球，点M为球O表面上一动点， 且满足BM/平面ACD,则MC+MB2的最大值为 第2页共4页 四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，∠BAC=90°，AB=AC=V2A4,点M, N分别为AB,BC1的中点. (1)证明：MN//平面AACC1: M (2)求直线AB与平面WC所成角的正弦值. 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V3 asin B-bcosA=b. (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 17.(15分)设等差数列{a}的公差为d(d>0),前n项和为S,等比数列{b}的公比为9， 己知b=a1,b=3,9=d+1,S3=9. (1)求{an},{bn}的通项公式： )记c,方，求数列{C}的前n项和平 18.(17分)某高中研究小组为研究学生学习效果与主动 频率 组距 预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机0.0200 抽取100名学生进行调查.经统计，其中主动预习的有 0.0125 0.0100 45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在540,640 0.0050 0.0025 内)的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600 0540560580600620640成绩/分 分的为优秀，其余为合格. 第3页共4页 主动预习 不主动预习 合计 合格 优秀 10 合计 100 (1)根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数： (2)请完成上面的2×2列联表，依据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为学生的成 绩优秀与主动预习有关？ (3)若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中 主动预习的人数为Y,求Y的均值和方差 附：x2= n(ad-bc)月 其中a+b+c+d=n. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(xzx) 0.050 0.010 0.001 6 3.841 6.635 10.828 19.(17分》已如陆周C:苦苦-a>6~的离心率为分，过点4〔) (1)求C的方程： (2)已知点B(0,V3),过点P(4,0)的直线1交C于E,F两点(E,F在x轴的下方)，直线Br 交直线x=1于点M. (i)设直线MB的斜率为k,直线MF的斜率为k,判断k+k是否为定值，并说明理由； （ⅱ)证明：直线ME过定点. 第4页共4页湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二 下学期期末考试数学参考答案 一、单选题 1~5:BAADC 6.C【详解】由题意得ā-b=2x1+(-1)x(-2)+2×1=6,d=√2+(-1+22=3，所以向量万在 士金he臀骨合a传 ab a 7A【详解】因为P4)-片P(®到 P(4+列=P4)PPa)-专号P- 解得P(方所以Pa-以1回旦」 ΓP(A)14 8.B【详解】g(x)的图象关于x=1对称，∫(x)的图象也关于x=1对称， 将x=1代入g(x),可得g(1)=a-cos(π)=a+1, 可得函数f(x)与g(x)的图象有唯一的公共点1，a+), 代入f)=--a,可得-a=a+1,解得a=方所以实数a的值为-号 二、多选题 9.AC 10.ABC 11,AC【详解】对于A,f()=0→a=a,即x=l,A正确： 对于B,f'()= 所以f(x)在(-0,0)和(0，+∞)上单调递增， 注意x趋近于-o时，f(x)趋近于-1， x从小于0一侧趋近于0时，f(x)趋近于1， x从大于0一侧趋近于0时，f(x)趋近于-0， x趋近于+0时，f(x)趋近于+0， 第1页共8页 故若方程f(x)=m有两实根，∈(-1，)，B错误； 1 1 对于C,由f(s)+ f八s a-as+as-m=0,又f(x)在(0，+∞)上单调递增， 如果1≠，则0 1 则f(s)+f)≠0矛盾， S 故有t=,故5+t=5+上≥2，当且仅当s=1时取等号，C正确， ,1 对FDs0s1圆oti0=i©Hf9aa+a-。azf号7 由于g0=t+}在Q,+0)上单调递增， 当ve0)时.1d≤af+fo0=gd)g<0, 当se0时时.1<d1oj0ga）gdo, 当s=1时，f()+f(t)=0,D错误， 故选：AC 三、填空题 12.3 2 143【详解】如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，可得4B/1CD,AG/MAC, 因为ABt平面AD,C,CDC平面AD,C,所以AB/平面ADC, 同理可证：AC/1平面ADC, 又因为AB⌒AC=A,且AB,ACC平面ABC,所以平面ABC1/1平面AD,C, 要使得BM/平面AD,C,且点M为球O表面上一动点， 所以点M在平面ABC1与球O的截面圆上，且截面圆恰为△ABC1的内切圆， 因为正方体的楼长为1，可得正△4BC的边长为V反，其内切圆的半径为，=√ 6 以CB所在直线为x轴，以C,B的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 第2页共8页 可得B( ,0,C(- 经0，内切圈的方物中 y 6 设M(x,y),则 +w=a-9少+-9-r-x+1ww1 因为√(x-0)+(y-0)2表示内切圆上点到原点的距离， 可得内切圆与y轴的交点为 0, 3 时，距离最大，最大距离为d=2,=6 则MC2+MB的最大值为2× +1= A B 0 B B 四、解答题 15【答案】(1)略：(2)2V巨 3 【详解】(1)解法1：连接AB1,AC1, 因为在直三棱柱ABC-A,B,C,中，四边形A4B,B为平行四边形， 所以M为AB,中点，又N为B,C1的中点，所以MN/AC1· …3分 因为Nd平面AAC,C,AC,c平面AACC,所以N/I平面AACC. …5分 A P B ----222 第3页共8页 解法2：证明：AB,取中点P,连结MP,PN,由M,N分别是AB,与B,C,的中点， 所以MP1/BB,//AA1, 又因为MP￠平面A4CC,AA,C平面A4CC, 所以MP/1平面A4CC. 同理，NP//平面A4CC. …3分 又MP∩NP=P,MP、NPc平面MPN, 所以面MPN/面A4CC. 而NC平面PN,所以MN//平面AAC,C. …5分 (2)以AB,AC,AA}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-x)2, B N M、 设A4=1,则AB=AC=√2， )cfo..).o) …7分 a。小点 …9分 设平面MNC的一个法向量为i=（x,y,:), 则nMN=0,n.CN=0. 「V21 y+。z=0 2 2 即 ，令y=1,则x=3,z=-√2. 2y+2=0 第4页共8页 所以平面NC的一个法向量为元=(3,1，-V2）. ………11分 设直线AB与平面MNC所成角为0，又AB=（√2,0，-1)： 则sin0= cos AB,列 4W22w2 2W3×33 所以直线4，B与平面MNC所成角的正弦值为 …13分 3 16.解(1)由正弦定理及题意得 \3sin Asin B-sin Bcos A=sin B, …2分 又inB≠0，所以V3simA-cosA=1, 3 即周日 …5分 固为A0,.所以4-(8 6 所以A-6石即4骨 661 …7分 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA, …9分 所以4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4， …11分 当且仅当b=c时，等号成立， 所以sBc=bcsin A≤lX4x3-V3, 2 2 所以△ABC面积的最大值为V3, …15分 17.(1)由题意 3a+3a9解得=1或4-3 ∫4(d+1)=3 d=2或d=0 (舍去) 所以a.=1+2(n-1)=2n-1, …3分 则4=4=1g=d+1=3,所以b.=1x31=3 ………6分 8面c,8-2-图 …8分 第5页共8页 世为z=君旧s目+-a写。 -雷，+写)s写+e-小周 …10分 两式相减得 -g+…0- …12分 =1+2× 1-1 a間 3 1+l-3-a* ……14分 故7n=3-n+1 3n-1 …15分 18.(1)由频率分布直方图得，众数为590： 0.005×20+0.010×20=0.3,0.005×20+0.010×20+0.020×20=0.7, 中位数为580+(0.5-0.005×20-0.010×20)÷0.02=590. …4分 (2)由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有 100×20×(0.0050+0.0100+0.0200)=70人，则成绩优秀的有30人. 补全2×2列联表如下： 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 ……7分 提出假设H,：学生成绩优秀与主动预习无关， 第6页共8页 因为x2-100×(25×10-45x20)2_16900 8.129>6.635=01' …11分 70×30×45×55 2079 所以依据小概率值=0.01的独立性检验，推断H,不成立. 即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关 …13分 45 (3)由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为 =0.45, 100 则Y~B(20,0.45). ………15分 所以E(Y)=20×0.45=9,D(0=20×0.45×1-0.45)=4.95. …17分 a 2 b=V3'所以椭圆C的方程为￡+卫 a=2 19.(1)由题可知： a2=b2+c2 ，解得 431 -+ 3)2 2 =1 63 …4分 (2)(i)k+飞3不为定值.理由如下.设点M(1,t),E(:,),F(x2,为)， 设1：x=y+4,由 4+3=1得(3m2+4)y2+24+36=0, x=y+4 由△>0，得(240)2-4×36×(3m2+4)>0,解得m>2或<-2， 又点E,F在x轴下方，则>2， 市达定其gg5动”年有转：，即2为-0小因内为 号长会子 5-1 所以k+k=当1+当'4-0-1+3-1-) x1-1x2-1 (-1)(x2-1) （丛-t)(my+3)+(m+3)(凸-t）_2m4+(3-tm)y+h)-6t -tm(y+)-6t 201+5)+9 3m 3, (%+3)(%3+3) my3+3m(%+为)+9 3m- 所以飞+k不是定值. …13分 第7页共8页 )805M=1-5由0得名=-=-k-同寻点 1-0 则直线B的方程为y-1(+5x-,即3-3x+36=1⑧-5x), 当时，得y-所以证必过定点 …17分 5 第8页共8页