有趣的密铺 教案-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该教案聚焦密铺的概念与条件，从校园地面翻新情境导入，第一课时通过观察蜂巢、地砖等生活实例抽象密铺特征，探究三角形、四边形密铺原理，第二课时延续“设计师”任务，通过剪补变形设计图案，构建从认识到应用的学习支架。 以项目式学习贯穿，融合空间观念、推理意识与创新意识。如学生动手拼接图形发现“拼接点内角和360°”规律，培养推理能力，正方形剪补变形为鱼形密铺结合埃舍尔作品欣赏，提升几何直观与创新意识。助力学生实践中深化理解，为教师提供结构化活动设计，促进素养落地。

五年级上册 综合实践活动 有趣的密铺 教学设计 第1课时 项目信息表 课题 有趣的密铺 课型 （内容层面）活动课 +（作用层面）新授课（种子课） 课时学习目标 1. 通过观察生活中密铺现象，能用自己的话说出什么是密铺，知道密铺的特征是没有重叠、没有空隙。 2. 借助学具操作和小组交流，能探究出三角形、四边形可以密铺的原因，发现"拼接点处各图形内角和为360°"的规律。 3. 通过对比实验，能解释圆、正五边形不能密铺的道理，培养初步的空间观念和推理意识。 核心素养关联 空间观念：在观察、操作中感知图形间的位置关系与密铺规律。 推理意识：通过三角形、四边形的内角和推出密铺条件。 应用意识：将密铺知识与校园地砖设计等生活情境联系起来。 学习重点 理解密铺的意义，发现任意三角形、任意四边形可以密铺的原理。 学习难点 理解"拼接点处各内角和为360°"是判断图形能否密铺的关键。 课前准备 教师：课件、多种形状的学具卡片（三角形、四边形、圆形、正五边形）、磁性教具、探究记录单。 学生：常规学具、提前观察家里或校园的地砖图案。 板书设计 有趣的密铺 图形之间既没有重叠也没有空隙地铺满整个平面，就是密铺。 密铺条件 拼接点处各内角和=360° ✓ 任意三角形 ✓ 任意四边形 ✗ 圆 ✗ 正五边形（108°×3=324°≠360°） 素养情境作业 学校操场边的休息区需要铺设新地砖，工人师傅送来了一批正五边形地砖样品。李明量了量，发现每个角都是108°。请问这种正五边形地砖能单独用来铺满地面吗？说说你的理由。 成效反思 一、情境导入 1. 播放校园航拍视频，聚焦操场边破损的休息区地面。 2. 谈话引入："后勤老师找到我，说学校要翻新这块地面，正在征集设计方案。要把地面铺得又整齐又漂亮，首先要研究一个问题——哪些形状能铺满地面呢？" 3. 揭示课题：在数学上，把这种没有重叠、没有空隙地铺满平面的现象叫做"密铺"（板书课题）。 开头用真实校园情境激发参与感，让学生感受到数学的实用价值。 二、活动探究 【活动1：火眼金睛找密铺】 活动要求： 1. 观察大屏幕上展示的六幅图案（蜂巢、厨房地砖、浴室墙砖、公园小道、足球场、拼图），找出哪些是密铺现象。 2. 和同桌说一说判断的理由。 3. 用一句话概括密铺的特征。 师生对话： 学生观察后汇报发现。预设学生能发现：蜂巢和厨房地砖是密铺，拼图边缘有空隙不是密铺。 教师追问："密铺和普通拼摆有什么不一样？" 学生回答："密铺要求每块图形都紧紧挨着，既不能叠在一起，也不能留出缝。" 教师点评："你抓住了关键——没有重叠、没有空隙。这就是密铺的两大特征。" 概括与分析： 通过大量生活实例让学生在观察中抽象出密铺的本质特征，建立初步概念。教师不直接给定义，而是引导学生自己概括，培养归纳能力。 引导学生用自己的语言描述密铺，比死记定义更能深化理解。 【活动2：动手实验探秘铺】 活动要求： 1. 每组领取一套图形卡片：三角形、四边形、圆形、正五边形各若干个。 2. 先用三角形卡片试着在桌面铺满，记录结果；再依次尝试其他图形。 3. 小组讨论：哪些图形能密铺？哪些不能？ 师生对话： 学生活动，教师巡视指导。 各组汇报实验结果。预设：三角形能密铺、四边形能密铺、圆形不能密铺、正五边形不能密铺。 教师追问："为什么三角形和四边形能密铺，圆形和正五边形却不行？"学生可能凭感觉回答，教师引导："别急，我们来仔细观察一下密铺成功的图形，它们在拼接点处有什么特点。" 概括与分析： 学生通过动手操作获得直接经验，产生认知冲突，为后续探究原理做铺垫。此处不急于给出答案，而是保留悬念，引导学生进入深度探究。 操作活动要给予充分时间，让每个学生都实际动手，避免"旁观者"现象。 【活动3：解剖拼点寻规律】 活动要求： 1. 拿出任意三角形学具，先标出三个内角的度数。 2. 把6个完全相同的三角形拼在一起，观察拼接点处有几个角？它们合起来是多少度？ 3. 用同样的方法观察四边形的密铺，拼接点处四个角的和是多少？ 师生对话： 学生操作后发现：三角形拼接点处有6个角，两两配对后相当于3个角，3×120°=360°（或直接说6个角刚好围成一圈）。 教师用磁性教具演示：任意三角形的三个内角加在一起是180°，6个三角形拼在一起，拼接点处有6个角，正好是180°的2倍，围成360°。 学生操作四边形后发现：拼接点处四个角分别来自四个不同的四边形，四个内角和是360°。 教师追问："现在你能解释为什么圆不能密铺吗？" 学生回答："圆是曲线，没有角，拼在一起要么重叠要么有空隙。" 教师追问："正五边形呢？每个内角108°，几个才能凑成360°？" 学生计算：108°×3=324°，还差36°；108°×4=432°，超过360°，所以不行。 概括与分析： 这是本课的核心发现。让学生通过测量、计算自主发现"拼接点处各内角和为360°"这一密铺的通用条件，渗透归纳推理思想。教师用教具直观演示，化抽象为具体。 引导学生从"凑360°"的角度重新审视密铺，形成统一的判断标准。 【活动4：小小裁判员】 活动要求： 1. 判断：正六边形能不能密铺？（提示：正六边形每个内角120°） 2. 先独立思考计算，再和小组同学讨论。 3. 用刚才学到的规律，解释判断理由。 师生对话： 学生计算：120°×3=360°，所以正六边形可以密铺！ 教师展示正六边形密铺的图案（蜂巢），让学生感受数学规律在自然界的神奇体现。 追问："还有哪些正多边形可以单独密铺？" 学生尝试：正三角形（60°×6=360°）可以，正四边形（90°×4=360°）可以，正六边形（120°×3=360°）可以，正七边形以上就不行了。 概括与分析： 学以致用环节，让学生用刚发现的金钥匙解决新问题，体会规律的价值。同时拓展到正多边形的密铺，为后续学习埋下伏笔。 适当引入蜂巢等自然界的密铺现象，让学生感受数学与生活的联系。 三、巩固练习 基本练习： 1. 下列图案中，哪些是密铺？打"√"，哪些不是？打"×"。 （出示：常见地砖图案、壁纸图案、拼图未完成状态） 设计意图： 巩固密铺的判断标准。 基础练习要简洁明了，直击核心概念。 综合练习： 2. 小明用一块三角形硬纸片密铺时，发现有一点点重叠，而小红用同样的三角形却铺得很整齐。他们铺的三角形有什么不同吗？ 设计意图： 深化理解——无论什么形状的三角形都能密铺，关键是角度要完全相同。 培养学生严谨的科学态度。 拓展练习： 3. 学校新建的图书馆地面准备用正八边形（内角135°）铺设，你觉得可以吗？如果不行，想个办法解决。 设计意图： 开放性问题，引导学生思考组合密铺的可能性，激发进一步探究的兴趣。 拓展题要有思维梯度，为第2课时的组合密铺做铺垫。 四、课堂小结 通过今天的学习，你有什么收获？ 引导学生从三个角度总结： 1. 知道了什么是密铺（没有重叠、没有空隙） 2. 发现了密铺的条件（拼接点处各内角和为360°） 3. 了解了哪些图形能密铺（任意三角形、任意四边形、正三角形、正四边形、正六边形） 教师补充："今天我们当了一回'地面质量检查员'，学会了判断哪些地砖形状能用。下一节课，我们就来当一回'地面设计师'，自己设计密铺图案！" 总结要结构化，帮助学生形成知识网络。 第2课时 课题 有趣的密铺 课型 （内容层面）活动课 +（作用层面）新授课（生长课） 课时学习目标 1. 通过回顾上节课学习的密铺原理，能说出"拼接点处各内角和为360°"是密铺的关键条件。 2. 借助图形的平移和旋转操作，能将正方形变形为可密铺的不规则图形，体验图形运动在密铺设计中的作用。 3. 通过创作密铺图案并展示交流，能感受数学之美与艺术之美的融合，提高创新意识和审美能力。 核心素养关联 空间观念：通过图形变换操作，想象密铺图案的形成过程。 几何直观：在方格纸上设计并呈现密铺图案。 创新意识：对正方形进行创意剪补，设计独特的密铺图案。 应用意识：将密铺知识应用于校园地面设计实践。 学习重点 运用图形的平移和旋转，将一种能密铺的图形变形为新的可密铺图形。 学习难点 理解"剪去的部分必须旋转后形状、大小完全吻合"是变形成功的关键。 课前准备 教师：课件、剪刀、彩色卡纸、方格纸、胶棒、提前制作好的教师示范作品。 学生：剪刀、彩纸、方格纸、彩笔、铅笔、尺子。 板书设计 有趣的密铺（续） 图形运动——让密铺更精彩！ 设计密铺的步骤 ① 确定基础图形 ② 剪去一部分 ③ 旋转后补上 ④ 检验能否密铺 埃舍尔密铺艺术欣赏 素养情境作业 美术老师想让你们为学校新建的"数学文化角"设计一幅密铺背景墙。请你先用方格纸设计草图，要求：主题健康向上、图案有创意、整体效果美观。选出优秀作品将实际制作展示。 成效反思 一、情境导入 1. 展示上节课学生探究密铺条件的照片，回顾学习成果。 2. 出示"校园地面设计师"招募令："上周我们学会了判断哪些形状能密铺，今天我们来挑战更高难度的任务——自己设计密铺图案！" 复习与新授自然衔接，保持任务的连贯性。 二、活动探究 【活动1：正方形变形记】 活动要求： 1. 拿出正方形纸片，在纸上画一画：能不能把正方形的某一部分剪下来，补到其他位置，变成一个新形状，但仍然能密铺？ 2. 先独立思考，画出你的剪补方案。 3. 和组内同学交流，看看谁的方案更有创意。 师生对话： 学生尝试画方案，教师巡视收集不同类型的创意。 请一位学生上台展示："我在正方形下面剪去一个三角形，然后把它补到上面去。" 教师追问："你剪去的部分和补上的部分大小一样吗？形状呢？" 学生回答："面积一样，形状也一模一样，只是位置变了。" 教师点评："你的眼睛真亮！剪补前后面积不变是密铺的基础，因为密铺要求没有重叠、没有空隙。" 概括与分析： 让学生先独立思考，培养自主探索能力。教师通过追问引导学生发现剪补的关键——面积相等、形状一致。 给学生充分思考时间，不要急于示范，让学生先经历"试错"过程。 【活动2：跟着教材学一招】 活动要求： 1. 打开教材第99页（教材96页），看"正方形变形"示例图。 2. 按照书上的步骤，用剪刀在正方形纸上操作：把下面一部分剪下来，旋转后补到上面。 3. 用这个变形后的图形在方格纸上试着密铺，检验是否成功。 师生对话： 学生按步骤操作。 教师演示关键步骤：在正方形下方画一个不规则图形，剪下来后绕某一点旋转，补到正方形上方。强调：旋转时要确保剪下的部分和空出的部分完全吻合！ 学生操作后展示成果。有的学生成功密铺，有的学生拼接处有缝隙。 教师请成功的同学分享经验："旋转的时候要看准点，转的角度要刚刚好。" 教师补充："其实就是利用了图形的旋转——把下面剪去的部分旋转180°补到上面，这个变形图形的每个内角实际上还是原来正方形的90°，所以能密铺。" 概括与分析： 教材示例是经典且有效的学法指导，让学生经历"看中学、做中悟"的过程。通过动手操作，学生深刻理解"图形运动"在密铺设计中的神奇作用。 操作步骤要明确，可提供微视频辅助。 【活动3：我来设计密铺图案】 活动要求： 1. 从以下三种基础图形中选择一种：正方形、等边三角形、平行四边形。 2. 设计两种变形方案（至少选一种做出来）。 3. 用剪刀和彩纸做出变形图形，然后在方格纸上密铺3×3的展示区。 4. 给你的作品起个名字。 师生对话： 学生自主创作，教师巡视指导。 发现有创意的作品及时展示："看这位同学的设计，他把正方形剪成一个可爱的鱼形，密铺后像一群小鱼在游动！" 有学生提出困难："老师，我想剪一个更复杂的形状，但不知道怎么转。" 教师指导："你可以先画一个对称的图案，剪去一半，转180°补到对面，就像做剪纸一样。" 学生继续创作，教师鼓励完成的学生帮助旁边有困难的同学。 概括与分析： 创作环节给予学生充分的自主空间，让学生体验"设计师"的工作。适当展示优秀作品可以激发更多创意，同学互助也能培养合作能力。 设计任务要有梯度，让不同水平的学生都能有所收获。 【活动4：数学与艺术的碰撞】 活动要求： 1. 欣赏教材第100页（教材97页）"小讲堂"中埃舍尔的密铺作品。 2. 说一说：艺术家的密铺和我们的有什么不同？ 3. 思考：艺术家是怎么做到让不规则的鸟和鱼完美密铺的？ 师生对话： 学生惊叹于埃舍尔的作品："太神奇了！鸟和鱼居然能拼得那么整齐！" 教师引导："仔细观察，相邻的鸟和鱼之间有什么关系？" 学生发现："鸟的翅膀伸出去，正好填进鱼的凹进去的地方。它们的边缘是完全吻合的！" 教师补充："埃舍尔正是利用了我们今天学的图形变换——平移和旋转。他在一种图形的基础上，通过平移得到另一种图形，再通过旋转形成更多变化。但不管怎么变，关键不变——相邻图形的边缘完全吻合，拼接点处仍然满足360°。" 教师展示自己用同样方法设计的"蝴蝶与花朵"密铺图案。 概括与分析： 通过欣赏大师作品，让学生感受数学之美的震撼，同时深化理解——万变不离其宗，"边缘吻合、凑成360°"是密铺的灵魂。这既是审美的提升，也是数学本质的回归。 适当介绍埃舍尔生平，激发学生艺术兴趣。 三、巩固练习 基本练习： 1. 下列变形方案中，哪个能使正方形变形后仍然能密铺？ A. 随机剪去一块不规则的图形 B. 剪去一块图形后，通过旋转或平移补到对面 C. 把正方形分成四块，重新拼接 设计意图： 巩固图形运动是密铺设计的关键手段。 基础练习要突出本课核心方法。 综合练习： 2. 小亮想把正六边形也进行变形设计，但他不知道该怎么做。你能给他一些建议吗？ 设计意图： 引导学生迁移运用剪补变形的方法。 综合练习要有开放性，鼓励学生提出多种方案。 拓展练习： 3. 挑战：能不能用两种不同的图形进行密铺？请设计一个简单的"双色密铺"图案。 设计意图： 开放性问题，让学生初步感受组合密铺的魅力。 拓展练习可作为课后探究任务。 四、课堂小结 今天我们当了一回"地面设计师"，你有什么收获和感想？ 引导学生从三个角度总结： 1. 学会了用剪补的方法设计密铺图案 2. 知道了平移和旋转是让密铺更多彩的关键 3. 欣赏了埃舍尔的密铺艺术，感受了数学之美 教师寄语："你们每个人都是小小的设计师。希望你们今后在生活中多观察、多思考，把数学和艺术结合起来，创造出更美好的作品！" 课后任务预告："下周我们将评选'最佳校园密铺设计方案'，优秀作品将在学校宣传栏展示，期待大家的设计！" 总结与课后任务衔接，保持学生参与热情。 1 学科网（北京）股份有限公司 $