第二单元 小数乘法（讲义）2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学《小数乘法》单元复习讲义以转化、迁移等数学思想为核心构建知识体系，通过知识框架图梳理小数乘整数与小数的意义、计算法则、积的规律等内容，用对比表格呈现易错点（如小数点定位、近似数0的处理），清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“算理-规律-应用”三阶练习设计，如结合阶梯水费计算（例：13t水费计算）培养模型意识，通过积与因数大小规律判断题（如“a×b＜a则b＜1”）发展推理意识。例题与真题分层设置，基础题巩固运算能力，拔高题提升应用意识，助力学生自主复习和教师精准教学。

第二单元 小数乘法（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《小数乘法》是人教版五年级上册数学第一单元核心基础单元，是学生在熟练掌握整数四则运算、小数的意义与性质、小数加减法后的重点进阶运算内容。本单元实现整数乘法向小数乘法的知识延伸，是小学小数运算体系的核心组成部分，承接整数算理，为后续小数除法、小数四则混合运算、分数小数综合运算、方程计算及实际问题解决奠定关键基础，是小学阶段计算能力拔高的重要转折点。 2. 核心学习内容 掌握小数乘整数、小数乘小数的数学意义；熟练掌握小数乘法通用计算法则、小数点定位规则；掌握积的小数位数补足、末尾0化简规范；理解积与因数的大小变化规律；掌握小数乘法的验算方法；学会用四舍五入法求取积的近似数；掌握整数乘法运算定律在小数乘法中的推广与简便运算；掌握小数倍数的实际意义及基础数量关系；梳理单元全部重难点、概念辨析与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 转化思想：将小数乘法转化为整数乘法计算，化陌生为熟悉；迁移思想：把整数乘法的算理、运算定律、验算方法完整迁移至小数运算；数形结合思想：依托小数计数意义理解乘积大小变化规律；建模思想：固化小数乘法计算模型、近似数取值模型、简便运算模型。 二、小数乘法的数学意义 1. 小数乘整数的意义 与整数乘法意义完全一致，一是表示几个相同小数相加的和的简便运算，二是表示一个小数的整数倍是多少。核心用于简化多个相同小数累加的计算过程，是整数乘法意义在小数领域的拓展延伸。 2. 小数乘小数的意义 是整数乘法意义的进阶拓展，核心表示求一个数的几分之几是多少。当第二个因数是小于1的小数时，表示求第一个数的十分之几、百分之几、千分之几；当第二个因数是大于1的小数时，表示求这个数的几倍是多少，完整覆盖小数倍的数量含义。 3. 小数倍数的核心概念 倍数不局限于整数倍数，小数倍数同样成立。一个数的小数倍可以大于1倍、等于1倍或小于1倍，对应数量的增多、不变、减少，打破整数倍数只能成倍扩大的认知局限，贴合生活实际数量关系。 三、小数乘法通用计算法则（核心必考） 1. 小数乘整数计算规则 先按照整数乘法的计算法则算出乘积，不考虑小数点；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起向左数出对应位数，精准点上小数点；积的小数部分末尾如果有0，可根据小数的性质去掉末尾的0，对结果进行化简，保证结果最简。 2. 小数乘小数计算规则 整体计算逻辑与小数乘整数一致，统一遵循先整数化、再定点、后化简的流程。先将两个小数全部看作整数，按照整数乘法算出积；再统计两个因数中所有小数位数的总位数；从积的右边起数出总小数位数，点上小数点；最后化简末尾多余的0。 3. 小数位数不足补0规则 当计算得到的整数乘积位数，少于因数总共的小数位数时，需要在积的最左侧用0补足空缺位数，再点上小数点。这是小数乘法特殊规范，专门解决乘积位数不足、小数点无法正常定位的问题。 4. 结果化简规范 小数乘法计算完成后，小数部分末尾的0必须去掉化简，不保留多余占位0；若化简后整数部分为0，需保留整数位的0，保证小数书写规范完整。 四、积与因数的大小变化规律（无需计算可判断） 针对任意不为0的数进行小数乘法运算，存在固定大小变化规律，可用于快速比较大小、验算结果合理性、规避计算错误。 一个数（0除外）乘大于1的小数，积大于它本身，数量整体扩大；一个数（0除外）乘等于1的小数，积等于它本身，数量保持不变；一个数（0除外）乘小于1的小数，积小于它本身，数量整体缩小。 核心原理：大于1的因数起到放大原数的作用，小于1的因数起到缩小原数的作用，等于1的因数不改变原数大小，是小数乘法独有的数值变化特征。 五、小数乘法验算知识点 1. 核心验算原理 依托乘法各部分之间的关系、乘法交换律完成验算，保证计算结果准确，是小数乘法必备答题步骤。 2. 两种标准验算方法 交换因数位置验算：根据乘法交换律，交换两个因数的位置重新计算，两次乘积一致则结果正确；除法逆运算验算：利用积÷一个因数=另一个因数，通过除法反向验证乘法结果是否准确。 六、积的近似数知识点 1. 取值依据 在实际生活场景中，小数乘法的精确结果位数过多、无实际意义，需要根据题目要求或生活精度需求，对积求取近似数。 2. 四舍五入取值规则 先计算出小数乘法的完整精确积；再看需要保留的小数位数的下一位数字；下一位数字大于或等于5则向前一位进1，小于5则直接舍去后面所有尾数；最终保留指定小数位数。 3. 近似数书写规范 求取近似数后，小数末尾的0不能随意去掉，末尾0代表保留的精度位数，体现取值的精准程度，去掉后会改变精度等级，属于格式错误。 七、整数乘法运算定律推广到小数 1. 定律适用范围 整数乘法的三大运算定律完全适用于小数乘法，运算定律的含义、公式、使用逻辑不发生任何改变，是小数简便运算的核心依据。 2. 三大运算定律完整内容 乘法交换律：两个小数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律：三个小数相乘，先算前两个数的积或先算后两个数的积，积不变；乘法分配律：两个数的和或差与一个小数相乘，可以把这两个数分别与小数相乘，再把积相加或相减，是小数简便运算中应用最广泛的定律。 3. 小数简便运算核心思路 通过交换、结合、拆分、凑整，将可凑成整数、整十、整百的小数优先计算，简化复杂小数乘法运算，减少小数点定位、多位数相乘的计算误差，提升运算速度与准确率。 八、小数乘法基础数量关系 求一个数的小数倍是多少，用乘法计算，基础数量模型：标准量×小数倍数=对应比较量。该模型是小数乘法实际应用的核心，延续整数倍数问题逻辑，适配所有小数倍、小数增减的基础应用题。 易错指引 1. 小数点定位易错 数错因数总小数位数，导致积的小数点位置偏移；小数位数不足时忘记补0，直接随意定点；先点小数点再化简、先化简再计算，颠倒运算顺序；混淆整数乘法与小数乘法的收尾步骤。 2. 数值规律易错 默认乘法计算结果一定变大，忽略小于1的小数会使乘积缩小；忘记规律适用前提（0除外），错误判断0乘小数的结果；无法根据因数大小快速预判结果、自查对错。 3. 近似数易错 未算出完整积就提前取舍，取值不准确；保留小数位数后随意去掉末尾占位0，破坏精度；四舍五入判断失误，进位、取舍错误。 4. 简便运算易错 混淆乘法结合律与乘法分配律适用场景；分配律漏乘、少乘部分项；不会拆分小数凑整，只会硬算；无依据随意变形算式，违背运算定律规则。 5. 概念理解易错 不理解小数乘小数的意义，固化整数乘法成倍扩大的思维；混淆小数末尾0化简规则与近似数0保留规则；无法区分精确值与近似值的书写差异。 例题讲解 【例题】 1．3.7×0.195的积是( )位小数，7.5÷0.36的商的最高位是( )位。 【答案】 4 十 【分析】当两个因数相乘，积的末尾没有0，积的小数位数等于因数小数位数之和；先把除数转化成整数，被除数扩大相应的倍数，商不变，据此解答即可。 【详解】3.7×0.195的积是4位小数， 7.5÷0.36＝750÷36，所以商的最高位是十位。 【点睛】本题考查小数乘除法，解答本题的关键是掌握小数乘除法的计算方法。 【例题】 2．根据56×1.3＝72.8，直接写出下面各题的结果。 56×13＝( )       0.56×1.3＝( ) 【答案】 728 0.728 【分析】根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大几倍（0除外）积也扩大相同的倍数，两个因数都扩大时，积扩大的倍数等于两个因数扩大倍数的乘积；如果一个因数扩大10倍，另一个因数缩小为原来的十分之一积不变；由此解答。 【详解】因为56×1.3＝72.8 56×（1.3×10）＝728 （56÷100）×1.3＝0.728 所以，56×13＝728       0.56×1.3＝0.728 【点睛】此题主要考查小数乘法的计算方法和因数与积的变化规律、积不变的规律。 【例题】 3．张涛存钱45.65元，王凯存的钱是张涛的17倍，两人一共存钱多少元？ 【答案】821.7元 【分析】先利用乘法求出王凯存的钱数，再加上张涛存的，求出两人一共存钱多少元。 【详解】45.65×17＋45.65 ＝776.05＋45.65 ＝821.7（元） 答：两人一共存钱821.7元。 【点睛】本题考查了小数乘法的应用，求一个数的几倍是多少，用乘法。 【例题】 4．为了提高居民节水意识，某地自来水公司实行阶梯式计费，收费标准如下。 用水质量 10t及10t以下 11t~20t部分 20t以上部分 每吨价格 2.70元 3.20元 4.50元 安阳家12月份用水13t，应付水费多少元？ 【答案】36.6元 【分析】分析用水量的分段：安阳家用水13吨，分为两段计算：10吨及以下部分：这部分按每吨2.70元收费，11t - 20t部分：13吨超出10吨的部分是3吨，这部分按每吨3.20元收费，然后，将两段费用相加。 【详解】10×2.70＝27（元） 13－10＝3（t） 3×3.20＝9.6（元） 27＋9.6＝36.6（元） 答：应付水费36.6元。 真题拔高 二、填空题 5．根据402×29＝11658，不计算，在下面的括号里填上适当的数。 4.02×2.9＝( )          ( )×0.29＝116.58 【答案】 11.658 402 【分析】已知402×29＝11658，根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”可知：4.02×2.9中，因数4.02是两位小数，因数2.9是一位小数，则它们的积是三位小数即11.658。（  ）×0.29＝116.58中，积116.58是两位小数，其中一个因数0.29是两位小数，那么另一个因数一定是整数，即402。 【详解】根据402×29＝11658，可得： 4.02×2.9＝11.658 402×0.29＝116.58 6．笔算12.34－2.5时，要先把小数点对齐，也就是把( )对齐；竖式里减数2.5中的数字“5”应该和被减数12.34中的数字( )对齐。 【答案】 相同数位 3 【分析】小数加减法计算时，首先要把小数点对齐，而小数点对齐的本质是相同数位对齐（个位对个位、十分位对十分位、百分位对百分位……），这样才能保证相同计数单位的数相减。 【详解】笔算小数减法时，把小数点对齐，就是把相同数位对齐。 减数2.5中的数字“5”在十分位上，被减数12.34的十分位上的数字是“3”，所以“5”要和“3”对齐。 7．15×6＝( ) 121×8＝( ) 150×60＝( ) 210×80＝( ) 【答案】 90 968 9000 96800 【分析】先计算15×6以及121×8，再根据积的变化规律，求出150×60以及210×80的积。 【详解】15×6＝90 121×8＝968 150×60＝9000 210×80＝96800 【点睛】积的变化规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数。 8．一个环形，内圆半径是4cm，外圆半径是6cm，求这个环形面积的算式是( )，结果是( )。 【答案】 3.14×62－3.14×42/3.14×（62－42） 62.8cm2/62.8平方厘米 【分析】圆面积＝πr2，圆环的面积＝外圆面积－内圆面积。据此将数据代入公式，先列式，再求出圆环的面积即可。 【详解】3.14×62－3.14×42 ＝3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（cm2） 所以，求这个环形面积的算式是（3.14×62－3.14×42），结果是62.8cm2。 9．根据算式35×18＝630填一填。 35×36＝( )            70×180＝( )                35×( )＝70 【答案】 1260 12600 2 【分析】积的变化规律：（1）如果一个因数扩大几倍或缩小为原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一。（2）如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小为原来的几分之一，那么积不变；据此解答即可。 【详解】35×36＝35×（18×2）＝630×2＝1260 70×180＝（35×2）×（18×10）＝630×2×10＝12600 35×（18÷9）＝35×2＝630÷9＝70 【点睛】熟练掌握积的变化规律是解决本题的关键。 10．在简算2.5×44时，若运用乘法结合律，则把44拆成( )；若运用乘法分配律，则需把44拆成( )。 【答案】 4×11 40＋4 【分析】在简算2.5×44时，若运用乘法结合律，需要将44拆成两个数的乘积，以便与2.5结合，使计算简便。由于2.5×4＝10，因此将44拆成4×11，先计算2.5×4＝10，再计算10×11＝110。若运用乘法分配律，需要将44拆成两个数的和，以便将2.5分配到每个加数上。将44拆成40＋4，然后计算2.5×40＝100和2.5×4＝10，最后将100和10相加得110。据此解答。 【详解】根据分析可知，在简算2.5×44时，若运用乘法结合律，则把44拆成4×11；若运用乘法分配律，则需把44拆成40＋4。 11．两个因数的积是18，一个因数不变，另一个因数乘40，积是( )。 【答案】720 【分析】一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也要乘（或除以）几，据此即可解答。 【详解】18×40＝720 【点睛】熟练掌握积的变化规律是解答本题的关键。 12．两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位小数，这个乘积最大是( )，最小是多少( )。 【答案】 6.54 6.45 【分析】分两种情况讨论： 1.四舍：百分位上的数字小于5，直接舍去百分位，十分位不变，还是5。所以想要原数最大，十分位固定5，百分位取最大能舍去的数字4。 2.五入：百分位大于或等于5，向十分位进1后，十分位变成5，所以进位前十分位是5－1＝4；百分位最小取5。 【详解】最大值：通过“四舍”得到6.5，百分位最大是4，所以最大是6.54； 最小值：通过“五入”得到6.5，十分位原本是5－1＝4，百分位最小是5，所以最小是6.45。 三、选择题 13．一个数乘0.01，也就是把这个数缩小到它的（    ）。 A． B． C．10倍 D．不确定 【答案】B 【分析】一个数乘0.01，相当于这个数除以100，也就是把原数的小数点向左移动两位，据此解答。 【详解】3×0.01＝0.03，3的小数点向左边移动两位，缩小到它的。 故答案为：B 【点睛】掌握小数点移动的规律是解答题目的关键。 14．下列算式中（    ）与0.36×2.05的积相同。 A．205×3.6 B．0.205×36 C．20.5×0.36 D．0.205×3.6 【答案】D 【分析】将各个算式的结果先计算出来，再选出和0.36×2.05的积相同的算式即可。 【详解】0.36×2.05＝0.738，205×3.6＝738，0.205×36＝7.38，20.5×0.36＝7.38，0.205×3.6＝0.738，所以，0.205×3.6与0.36×2.05的积相同。 故答案为：D 【点睛】本题考查了小数乘法，有一定运算能力是解题的关键。 15．下面的说法正确的是（    ）。 ①2.87×3.6与28.7×0.36的积相等。 ②两位小数乘三位小数，积不可能是六位小数。 ③小数乘整数，积比整数小。 ④0.19×9.9的简便算法可以写作0.19×10－0.19。 A．①② B．①③ C．②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】①②小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ③一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数小；乘小于1的数，积比原数大，举例说明即可； ④将9.9拆成（10－0.1），根据乘法分配律，0.19分别与小括号里的数相乘，再相减。 【详解】①2.87×3.6与28.7×0.36都是先按287×36求出积，因数中都有三位小数，积都是三位小数，2.87×3.6与28.7×0.36的积相等，说法正确。 ②两位小数乘三位小数，2＋3＝5（位），积最多是五位小数，不可能是六位小数，原说法正确。 ③小数乘整数，积比整数小，说法错误，如1.2×5＝6。 ④0.19×9.9 ＝0.19×（10－0.1） ＝0.19×10－0.19×0.1 ＝0.19×10－0.019→由此判断原计算过程错误 ＝1.9－0.019 ＝1.881 0.19×9.9的简便算法可以写作0.19×10－0.19，过程错误。 说法正确的是①②。 故答案为：A 16．一块长方形玻璃的长是1.8米，宽比长少0.6米，求这块玻璃的面积是多少平方米，列综合算式是（    ）。 A．（1.8＋0.6）×1.8 B．（1.8＋0.6）×2 C．（1.8－0.6）×1.8 D．不确定 【答案】C 【分析】先用玻璃的长减去0.6求出玻璃的宽，再根据长方形的面积＝长×宽，代入相关数据求出玻璃的面积，据此解答。 【详解】根据分析可得：列式为（1.8－0.6）×1.8。 故答案为：C 【点睛】本题考查了长方形的面积，学生应熟练掌握并灵活运用。 17．a×b＜a，b一定（    ）。 A．比1大 B．等于1 C．比1小 D．不确定 【答案】C 【分析】一个非0的数，乘大于1的数，积大于这个数，乘小于1的数，积小于这个数，乘等于1的数，积等于这个数，据此即可解答。 【详解】a×b＜a，b一定小于1。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查学生对积与乘数的大小关系的掌握和灵活运用。 四、判断题 18．0.78×6.1＝47.58。( ) 【答案】× 【分析】根据小数乘法的计算法则，看因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点，可据此解答。 【详解】0.78是两位小数，6.1是一位小数，2＋1＝3积是三位小数，则0.78×6.1＝4.758，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握小数乘法的计算法则，注意要数出两个因数的小数位数和是解此题的关键。 19．一个数（0除外）的3.4倍比原来的数大。( ) 【答案】√ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数，据此解答即可。 【详解】一个数×3.4＞一个数（0除外），原题说法正确； 故答案为：√。 【点睛】本题属于基础性题目，熟练掌握规律能够提高解答速度，也可以举例。 20．计算2.5×（4＋0.4）＝2.5×4＋2.5×0.4是运用了乘法分配律。( ) 【答案】√ 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【详解】2.5×（4＋0.4） ＝2.5×4＋2.5×0.4→乘法分配律 ＝10＋1 ＝11 计算2.5×（4＋0.4）＝2.5×4＋2.5×0.4是运用了乘法分配律，说法正确。 故答案为：√ 21．0.05×3的积是0.15，积的小数位数和因数的小数位数相同。( ) 【答案】√ 【分析】先数出所有因数的小数位数相加，算出总小数位数，再算出算式的积，对比积的小数位数和因数总小数位数是否相等，以此判断题干对错。 【详解】0.05有两位小数，3是整数无小数位，因数小数位数总和为2位。 0.05×3＝0.15 积0.15是两位小数，和因数总小数位数相同，所以原题说法正确。 故答案为：√ 22．一个数乘分数，乘积会小于这个数本身。( ) 【答案】× 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原数，据此进行判断。 【详解】如6×＝9，6＜9；原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查乘数与积的关系，以及分数乘法。 五、计算题 23．直接写出得数。 2.5×4＝        9.5＋0.95＝     0.15×8＝     0.4×0.4＝   50×2.4＝        1.2＋4.5＝      0.1－0.01＝      100×0.7＝ 0.9－0.52＝    10.1×8.99≈         12.5×0.8＝     0.22×4＝ 100－35.33＝    2.5×3.5×0.4＝ 【答案】10；10.45；1.2；0.16 120；5.7；0.09；70 0.38；89.9；10；0.88 64.67；3.5 【详解】略 六、解答题 24．估一估，算一算。 （1）苹果每千克7.2元，买1.8千克苹果应付多少元？ （2）橘子每千克3.6元，买4.2千克橘子应付多少元？ 【答案】大约14元；12.96元 大约16元；15.12元 【分析】（1）根据单价×数量＝总价，用每千克苹果价格乘买的千克数，就是应付多少元。估算时可以把1.8千克看成2千克，7.2元看成7元，用7乘2即可。 （2）根据单价×数量＝总价，用每千克橘子价格乘买的千克数，就是应付多少元。估算时可以把4.2千克看成4千克，3.6元看成4元，用4乘4即可。 【详解】（1）1.8≈2 7.2≈7 2×7＝14（元） 7.2×1.8＝12.96（元） 答：买1.8千克苹果大约付14元，买1.8千克苹果应付12.96元。 （2）4.2≈4 3.6≈4 4×4＝16（元） 3.6×4.2＝15.12（元） 答：买4.2千克橘子大约应付16元，买4.2千克橘子应付15.12元。 25．不计算把下面每组方程中代表数值最大的字母圈出来。 （1）a＋2＝12    b＋3＝12     c＋4＝12      d＋5＝12    （2）a－2＝12     b－3＝12     c－4＝12      d－5＝12 （3）2a＝12      3b＝12      4c＝12      5d＝12 （4）a÷2＝12   b÷3＝12    c÷4＝12     d÷5＝12 【答案】（1）a （2）d （3）a （4）d 【分析】（1）加法运算中，和相同则两个加数的关系为：随着一个加数的增加，则另一个加数会随之减小，据此可判断4个式子中字母大小关系； （2）减法运算中，差相同，减数越小，则被减数越小，反之亦然； （3）乘法运算中，积相同，一个乘数增大，则另一个乘数随之减小，进而得出答案； （4）除法运算中，商一定，除数越大，则被除数越大，反之亦然。 【详解】（1）四个加法等式中的和都是12，一个加数分别是2、3、4、5，则a、b、c、d中a最大； （2）四个减法等式中的差都是12，减数分别是2、3、4、5，则被减数a、b、c、d中d最大； （3）四个乘法等式中的积都是12，乘数分别是2、3、4、5，另一个乘数分别是a、b、c、d中a最大； （4） 四个除法等式中的商都是12，除数分别是2、3、4、5，则被除数a、b、c、d中d最大。 【点睛】本题主要考查的是四则运算定理及用字母表示数，解题的关键是合理运用四则运算定理，进而得出答案。 26．一位小朋友把80×（0.1＋9）当成80×0.1＋9计算了，得到的结果与正确结果相差多少？ 【答案】711 【分析】把式子80×（0.1＋9）和80×0.1＋9的结果都算出来，再相减，即可求出得到的结果与正确结果相差多少，据此解答。 【详解】80×（0.1＋9） ＝80×0.1＋80×9 ＝8＋720 ＝728 80×0.1＋9 ＝8＋9 ＝17 728－17＝711 答：得到的结果与正确结果相差711。 27．某市实行用电分时计费，计费方式如下：高峰时段（8：00—21：00）每千瓦·时0.55元；低谷时段（21：00—次日8：00）每千瓦·时0.35元。小明家有一台空调，使用时每小时耗电2千瓦·时，在高温的7月，每天都从晚上19：00使用到次日7：30，这台空调7月共产生电费多少元？ 【答案】296.05元 【分析】分析题目，先算出每天高峰的用电时长，再乘2即可求出每天用电多少千瓦·时，再乘0.55即可得到每天高峰时段的电费；再算出每天低谷的用电时长，乘2求出用电多少千瓦·时，再乘0.35即可得到每天低谷时段的电费；再把每天高峰时段的电费和低谷时段的电费相加即可得到每天的电费，再根据7月有31天用每天的电费乘31即可解答。 【详解】高峰时段使用时间：21时－19时＝2（时） 低谷时段使用时间：24时－21时＝3（时） 3时＋7时30分＝10时30分 10小时30分钟＝10.5小时 2×2×0.55＋10.5×2×0.35 ＝4×0.55＋21×0.35 ＝2.2＋7.35 ＝9.55（元） 9.55×31＝296.05（元） 答：这台空调7月共产生电费296.05元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 小数乘法（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《小数乘法》是人教版五年级上册数学第一单元核心基础单元，是学生在熟练掌握整数四则运算、小数的意义与性质、小数加减法后的重点进阶运算内容。本单元实现整数乘法向小数乘法的知识延伸，是小学小数运算体系的核心组成部分，承接整数算理，为后续小数除法、小数四则混合运算、分数小数综合运算、方程计算及实际问题解决奠定关键基础，是小学阶段计算能力拔高的重要转折点。 2. 核心学习内容 掌握小数乘整数、小数乘小数的数学意义；熟练掌握小数乘法通用计算法则、小数点定位规则；掌握积的小数位数补足、末尾0化简规范；理解积与因数的大小变化规律；掌握小数乘法的验算方法；学会用四舍五入法求取积的近似数；掌握整数乘法运算定律在小数乘法中的推广与简便运算；掌握小数倍数的实际意义及基础数量关系；梳理单元全部重难点、概念辨析与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 转化思想：将小数乘法转化为整数乘法计算，化陌生为熟悉；迁移思想：把整数乘法的算理、运算定律、验算方法完整迁移至小数运算；数形结合思想：依托小数计数意义理解乘积大小变化规律；建模思想：固化小数乘法计算模型、近似数取值模型、简便运算模型。 二、小数乘法的数学意义 1. 小数乘整数的意义 与整数乘法意义完全一致，一是表示几个相同小数相加的和的简便运算，二是表示一个小数的整数倍是多少。核心用于简化多个相同小数累加的计算过程，是整数乘法意义在小数领域的拓展延伸。 2. 小数乘小数的意义 是整数乘法意义的进阶拓展，核心表示求一个数的几分之几是多少。当第二个因数是小于1的小数时，表示求第一个数的十分之几、百分之几、千分之几；当第二个因数是大于1的小数时，表示求这个数的几倍是多少，完整覆盖小数倍的数量含义。 3. 小数倍数的核心概念 倍数不局限于整数倍数，小数倍数同样成立。一个数的小数倍可以大于1倍、等于1倍或小于1倍，对应数量的增多、不变、减少，打破整数倍数只能成倍扩大的认知局限，贴合生活实际数量关系。 三、小数乘法通用计算法则（核心必考） 1. 小数乘整数计算规则 先按照整数乘法的计算法则算出乘积，不考虑小数点；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起向左数出对应位数，精准点上小数点；积的小数部分末尾如果有0，可根据小数的性质去掉末尾的0，对结果进行化简，保证结果最简。 2. 小数乘小数计算规则 整体计算逻辑与小数乘整数一致，统一遵循先整数化、再定点、后化简的流程。先将两个小数全部看作整数，按照整数乘法算出积；再统计两个因数中所有小数位数的总位数；从积的右边起数出总小数位数，点上小数点；最后化简末尾多余的0。 3. 小数位数不足补0规则 当计算得到的整数乘积位数，少于因数总共的小数位数时，需要在积的最左侧用0补足空缺位数，再点上小数点。这是小数乘法特殊规范，专门解决乘积位数不足、小数点无法正常定位的问题。 4. 结果化简规范 小数乘法计算完成后，小数部分末尾的0必须去掉化简，不保留多余占位0；若化简后整数部分为0，需保留整数位的0，保证小数书写规范完整。 四、积与因数的大小变化规律（无需计算可判断） 针对任意不为0的数进行小数乘法运算，存在固定大小变化规律，可用于快速比较大小、验算结果合理性、规避计算错误。 一个数（0除外）乘大于1的小数，积大于它本身，数量整体扩大；一个数（0除外）乘等于1的小数，积等于它本身，数量保持不变；一个数（0除外）乘小于1的小数，积小于它本身，数量整体缩小。 核心原理：大于1的因数起到放大原数的作用，小于1的因数起到缩小原数的作用，等于1的因数不改变原数大小，是小数乘法独有的数值变化特征。 五、小数乘法验算知识点 1. 核心验算原理 依托乘法各部分之间的关系、乘法交换律完成验算，保证计算结果准确，是小数乘法必备答题步骤。 2. 两种标准验算方法 交换因数位置验算：根据乘法交换律，交换两个因数的位置重新计算，两次乘积一致则结果正确；除法逆运算验算：利用积÷一个因数=另一个因数，通过除法反向验证乘法结果是否准确。 六、积的近似数知识点 1. 取值依据 在实际生活场景中，小数乘法的精确结果位数过多、无实际意义，需要根据题目要求或生活精度需求，对积求取近似数。 2. 四舍五入取值规则 先计算出小数乘法的完整精确积；再看需要保留的小数位数的下一位数字；下一位数字大于或等于5则向前一位进1，小于5则直接舍去后面所有尾数；最终保留指定小数位数。 3. 近似数书写规范 求取近似数后，小数末尾的0不能随意去掉，末尾0代表保留的精度位数，体现取值的精准程度，去掉后会改变精度等级，属于格式错误。 七、整数乘法运算定律推广到小数 1. 定律适用范围 整数乘法的三大运算定律完全适用于小数乘法，运算定律的含义、公式、使用逻辑不发生任何改变，是小数简便运算的核心依据。 2. 三大运算定律完整内容 乘法交换律：两个小数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律：三个小数相乘，先算前两个数的积或先算后两个数的积，积不变；乘法分配律：两个数的和或差与一个小数相乘，可以把这两个数分别与小数相乘，再把积相加或相减，是小数简便运算中应用最广泛的定律。 3. 小数简便运算核心思路 通过交换、结合、拆分、凑整，将可凑成整数、整十、整百的小数优先计算，简化复杂小数乘法运算，减少小数点定位、多位数相乘的计算误差，提升运算速度与准确率。 八、小数乘法基础数量关系 求一个数的小数倍是多少，用乘法计算，基础数量模型：标准量×小数倍数=对应比较量。该模型是小数乘法实际应用的核心，延续整数倍数问题逻辑，适配所有小数倍、小数增减的基础应用题。 易错指引 1. 小数点定位易错 数错因数总小数位数，导致积的小数点位置偏移；小数位数不足时忘记补0，直接随意定点；先点小数点再化简、先化简再计算，颠倒运算顺序；混淆整数乘法与小数乘法的收尾步骤。 2. 数值规律易错 默认乘法计算结果一定变大，忽略小于1的小数会使乘积缩小；忘记规律适用前提（0除外），错误判断0乘小数的结果；无法根据因数大小快速预判结果、自查对错。 3. 近似数易错 未算出完整积就提前取舍，取值不准确；保留小数位数后随意去掉末尾占位0，破坏精度；四舍五入判断失误，进位、取舍错误。 4. 简便运算易错 混淆乘法结合律与乘法分配律适用场景；分配律漏乘、少乘部分项；不会拆分小数凑整，只会硬算；无依据随意变形算式，违背运算定律规则。 5. 概念理解易错 不理解小数乘小数的意义，固化整数乘法成倍扩大的思维；混淆小数末尾0化简规则与近似数0保留规则；无法区分精确值与近似值的书写差异。 例题讲解 【例题】 1．3.7×0.195的积是( )位小数，7.5÷0.36的商的最高位是( )位。 【例题】 2．根据56×1.3＝72.8，直接写出下面各题的结果。 56×13＝( )       0.56×1.3＝( ) 【例题】 3．张涛存钱45.65元，王凯存的钱是张涛的17倍，两人一共存钱多少元？ 【例题】 4．为了提高居民节水意识，某地自来水公司实行阶梯式计费，收费标准如下。 用水质量 10t及10t以下 11t~20t部分 20t以上部分 每吨价格 2.70元 3.20元 4.50元 安阳家12月份用水13t，应付水费多少元？ 真题拔高 二、填空题 5．根据402×29＝11658，不计算，在下面的括号里填上适当的数。 4.02×2.9＝( )          ( )×0.29＝116.58 6．笔算12.34－2.5时，要先把小数点对齐，也就是把( )对齐；竖式里减数2.5中的数字“5”应该和被减数12.34中的数字( )对齐。 7．15×6＝( ) 121×8＝( ) 150×60＝( ) 210×80＝( ) 8．一个环形，内圆半径是4cm，外圆半径是6cm，求这个环形面积的算式是( )，结果是( )。 9．根据算式35×18＝630填一填。 35×36＝( )            70×180＝( )                35×( )＝70 10．在简算2.5×44时，若运用乘法结合律，则把44拆成( )；若运用乘法分配律，则需把44拆成( )。 11．两个因数的积是18，一个因数不变，另一个因数乘40，积是( )。 12．两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位小数，这个乘积最大是( )，最小是多少( )。 三、选择题 13．一个数乘0.01，也就是把这个数缩小到它的（    ）。 A． B． C．10倍 D．不确定 14．下列算式中（    ）与0.36×2.05的积相同。 A．205×3.6 B．0.205×36 C．20.5×0.36 D．0.205×3.6 15．下面的说法正确的是（    ）。 ①2.87×3.6与28.7×0.36的积相等。 ②两位小数乘三位小数，积不可能是六位小数。 ③小数乘整数，积比整数小。 ④0.19×9.9的简便算法可以写作0.19×10－0.19。 A．①② B．①③ C．②④ D．①②③ 16．一块长方形玻璃的长是1.8米，宽比长少0.6米，求这块玻璃的面积是多少平方米，列综合算式是（    ）。 A．（1.8＋0.6）×1.8 B．（1.8＋0.6）×2 C．（1.8－0.6）×1.8 D．不确定 17．a×b＜a，b一定（    ）。 A．比1大 B．等于1 C．比1小 D．不确定 四、判断题 18．0.78×6.1＝47.58。( ) 19．一个数（0除外）的3.4倍比原来的数大。( ) 20．计算2.5×（4＋0.4）＝2.5×4＋2.5×0.4是运用了乘法分配律。( ) 21．0.05×3的积是0.15，积的小数位数和因数的小数位数相同。( ) 22．一个数乘分数，乘积会小于这个数本身。( ) 五、计算题 23．直接写出得数。 2.5×4＝        9.5＋0.95＝     0.15×8＝     0.4×0.4＝   50×2.4＝        1.2＋4.5＝      0.1－0.01＝      100×0.7＝ 0.9－0.52＝    10.1×8.99≈         12.5×0.8＝     0.22×4＝ 100－35.33＝    2.5×3.5×0.4＝ 六、解答题 24．估一估，算一算。 （1）苹果每千克7.2元，买1.8千克苹果应付多少元？ （2）橘子每千克3.6元，买4.2千克橘子应付多少元？ 25．不计算把下面每组方程中代表数值最大的字母圈出来。 （1）a＋2＝12    b＋3＝12     c＋4＝12      d＋5＝12    （2）a－2＝12     b－3＝12     c－4＝12      d－5＝12 （3）2a＝12      3b＝12      4c＝12      5d＝12 （4）a÷2＝12   b÷3＝12    c÷4＝12     d÷5＝12 26．一位小朋友把80×（0.1＋9）当成80×0.1＋9计算了，得到的结果与正确结果相差多少？ 27．某市实行用电分时计费，计费方式如下：高峰时段（8：00—21：00）每千瓦·时0.55元；低谷时段（21：00—次日8：00）每千瓦·时0.35元。小明家有一台空调，使用时每小时耗电2千瓦·时，在高温的7月，每天都从晚上19：00使用到次日7：30，这台空调7月共产生电费多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $