第七单元可能性（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学《可能性》单元复习讲义通过知识框架图系统梳理统计与概率板块核心内容，以“确定事件与随机事件”为起点，构建“事件类型-可能性规律-反向推理”的递进知识脉络，用对比表格呈现确定事件与随机事件特征，突出数量与可能性大小的对应关系等重难点。 讲义亮点在于“生活情境化”练习设计，如判断摸球游戏公平性、根据可能性大小设计球的数量等题型，培养数据意识与推理能力。易错指引针对性解决概念混淆等问题，分层例题和真题满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第七单元 可能性（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《可能性》是人教版五年级上册统计与概率板块的核心单元，是小学阶段概率知识的正式启蒙内容。本单元突破传统确定的数学计算思维，引入随机现象与不确定性思维，是学生从“绝对确定数学”向“随机概率数学”的重要思维跨越。本单元知识为后续六年级扇形统计图、概率初步、数据分析、随机事件判断等内容奠定基础，重点培养学生数据分析能力、随机推理能力、客观判断思维，是小学数学核心素养中统计观念的关键组成部分。 2. 核心学习内容 区分生活与数学中的确定事件、不确定事件；掌握事件发生的三种基础结果类型；理解随机事件的核心特征；掌握可能性大小的判断依据与变化规律；理解数量多少与可能性大小的对应关系；掌握可能性相等的均衡条件；学会根据可能性大小反向推理数量分布；梳理概率启蒙核心概念、易混辨析点与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 随机思想：打破绝对确定思维，认识生活中存在大量不确定随机现象；统计思想：依托数量分布判断事件发生的概率大小；推理思想：根据可能性大小正向判断、反向推理数量结构；建模思想：建立“数量多少决定可能性大小”的基础概率模型。 二、事件的三种基本类型（核心必考） 小学数学中将所有事件发生的结果分为三类：一定发生、不可能发生、可能发生，前两类属于确定事件，最后一类属于不确定事件（随机事件）。 1. 确定事件：一定发生 在一定条件下，结果唯一、必然会发生的事件，没有任何例外情况，结果完全确定。此类事件的发生概率是绝对的，不受随机条件影响，具备唯一性、必然性、确定性。 2. 确定事件：不可能发生 在一定条件下，绝对不会发生的事件，结果同样唯一确定，不存在发生的可能性。与“一定发生”同属确定事件，事件结果无随机性、无变数。 3. 不确定事件（随机事件）：可能发生 在一定条件下，结果不唯一，可能发生、也可能不发生的事件，是本单元重点研究内容。随机事件的结果具备偶然性、不确定性，单次结果无法精准预判，但大量重复试验下存在稳定的规律趋势。 三、三类事件的本质特征与区别 1. 确定事件整体特征 结果唯一、无变数、无偶然性，不受随机因素干扰，无论试验多少次，结果始终保持一致，可提前精准预判最终结果，属于绝对性事件。 2. 随机事件整体特征 结果不唯一、存在多种选择、具备偶然性；单次试验结果无法确定，无法提前预判；大量重复试验后，会呈现出稳定的可能性大小规律，具备宏观规律性、微观随机性。 3. 关键区分要点 一定、不可能 属于百分百确定；可能 属于不确定、有概率。不可混用词语描述事件，数学表述严谨固定，不同词汇对应不同事件属性。 四、可能性大小的核心规律（单元重难点） 1. 核心决定因素 在随机事件中，可能性的大小完全由对应物体的数量多少决定，在总数量固定的前提下，数量分布直接决定概率大小。 2. 完整对应规律 总数量不变时，某类物体数量越多，被抽取、被选中的可能性就越大；某类物体数量越少，被抽取、被选中的可能性就越小；各类物体数量相等时，对应的可能性大小相等，事件发生概率均衡。 3. 规律深层解读 可能性大小描述的是发生的概率趋势，不是绝对结果。数量多只能说明可能性大，不代表一定发生；数量少只能说明可能性小，不代表不可能发生。小概率事件有可能发生，大概率事件有可能不发生，这是随机事件的核心特征。 五、可能性相等的均衡条件 当几种不同物体的数量完全相等时，它们被抽取的可能性大小相等，此时各类事件发生的机会均等、概率均衡。均等可能性仅与数量是否一致有关，与物体形状、大小、颜色、材质等无关，只要数量相同，随机抽取的概率一致。 六、可能性的反向推理知识点 已知可能性大小，可以反向推理物体数量分布情况。可能性越大，对应物体数量大概率越多；可能性越小，对应物体数量大概率越少；可能性相等，对应物体数量基本相等。反向推理属于概率趋势推理，结果为大概率推测，不属于绝对确定结论，符合随机事件特征。 七、试验随机性与大量统计规律 1. 单次试验特征 单次随机试验结果具备偶然性、不确定性，无规律可循，无法预判单次结果，大概率事件可能落空，小概率事件可能发生。 2. 大量试验特征 重复试验次数越多，试验结果越接近理论可能性大小，整体数据越稳定，数量多少对应的概率趋势越明显，体现随机事件“微观随机、宏观规律”的核心特点。 八、数学规范表述规则 描述确定必然结果，统一使用“一定”；描述绝对无结果，统一使用“不可能”；描述不确定随机结果，统一使用“可能”。禁止混用“大概、也许、差不多”等口语化词汇，数学概率表述必须精准、规范、固定。 易错指引 1. 概念认知易错 混淆确定事件与随机事件，把大概率事件当成一定发生，把小概率事件当成不可能发生；不理解随机事件的偶然性，认为可能性大就必然发生、可能性小就不会发生。 2. 规律理解易错 忽略总数量固定的前提，单独用数量判断可能性；误认为可能性相等就代表每次试验结果交替出现，误解均等概率的含义；混淆单次随机规律和大量统计规律。 3. 反向推理易错 根据可能性大小绝对判定数量，把概率推测当成确定结论；认为可能性大的数量一定最多，忽略特殊随机偏差情况。 4. 表述规范易错 数学描述用词不严谨，混用可能、一定、不可能；生活口语替代数学规范表述，概念界定模糊，事件类型判断错误。 5. 条件判断易错 忽略事件发生的前提条件，脱离固定条件判断事件可能性；不理解条件改变，事件类型和可能性大小会随之改变，无法动态分析概率变化。 例题讲解 【例题】 1．用“0、2、5、8”中的两个数字组成两位数。组成的数是2的倍数算女生赢；组成的两位数是5的倍数算男生赢；组成的数是2和5的公倍数算平局。这个游戏规则( )。（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】先列举出用“0、2、5、8”组成的所有两位数，再根据2的倍数、5的倍数的特征找出2的倍数有几个，5的倍数有几个，2和5的公倍数有几个；然后根据可能性大小的判断方法得出这个游戏是否公平。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 【详解】“0、2、5、8”组成的两位数有：20、25、28、50、52、58、80、82、85； 2的倍数但不是5的倍数的有：28、52、58、82，有4个； 5的倍数但不是2的倍数的有有：25、85，有2个； 2和5的公倍数有：20、50、80，有3个； 4＞2，女生女生赢的可能性大。 所以，这个游戏规则不公平。 【例题】 2．豆包是AI智能助手，能答疑解惑。天天想在袋子里面放入大小相同的红、黄、蓝三种颜色球共9个，设计一个摸球游戏。先输入对话提示：如果任意摸一个，让摸到三种颜色球的可能性相同，每种颜色的球各放几个？豆包给出的答案是( )。又提示：要让摸到红色和黄色球的可能性相同，摸到蓝色球的可能性最小，每种颜色的球又各放几个？豆包给出的答案是( )。 【答案】 各放3个 红色4个，黄色4个，蓝色1个 【分析】因为要让摸到三种颜色球的可能性相同，所以每种颜色球的数量需相等，用总数9除以3，得到红、黄、蓝三种颜色的球各放3个； 要让摸到红色和黄色球的可能性相同，说明红、黄球数量相等，同时摸到蓝色球的可能性最小，说明蓝球数量最少，结合总数9个球的条件，最合理的分配是红4个、黄4个、蓝1个。 【详解】9÷3＝3（个） 所以如果任意摸一个，让摸到三种颜色球的可能性相同，每种颜色的球各放几个？豆包给出的答案是各放3个。又提示：要让摸到红色和黄色球的可能性相同，摸到蓝色球的可能性最小，每种颜色的球又各放几个？豆包给出的答案是红色4个，黄色4个，蓝色1个。 【例题】 3．小梅和小倩做数学游戏，每人依次轮流从下面的卡片（已打乱反扣）中任意抽取一张然后放回。如果抽取的数是质数，小梅获胜；如果抽取的数是合数，小倩获胜。这个游戏规则公平吗？说说你的理由。如果不公平，怎样修改能使游戏规则公平？ 【答案】不公平；理由见详解；修改见详解 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 一共有7个数，先找出质数和合数，并数出个数，如果个数相等，说明两人获胜的可能性相等，则游戏规则公平；如果个数不相等，说明两人获胜的可能性不相等，则游戏规则不公平。 如果这个游戏不公平，修改游戏规则为两人获胜可能性相等的规则即可。 【详解】在2、3、4、8、9、17、21中， 质数是：2、3、17，有3个； 合数是：4、8、9、21，有4个； 4＞3 合数比质数多，小倩获胜的可能性大，游戏规则不公平。 修改游戏规则如下： 在2、3、4、8、9、17、21中， 大于8的是：9、17、21，有3个； 小于8的是：2、3、4，有3个； 3＝3，游戏规则公平。 答：这个游戏规则不公平。因为这些数中合数比质数多，小倩获胜的可能性大，所以不公平。 游戏规则可以修改为：抽到大于8的小梅获胜，抽到小于8的小倩获胜，抽到8时重新抽。（答案不唯一） 【例题】 4．小明和小刚玩摸扑克牌游戏，有9张扑克牌，上面的点数分别是1－9点。游戏规则是：每次摸一张牌，摸后放回。 (1)若规定，摸到点数为奇数的牌时，小明赢；摸到点数为偶数的牌时，小刚赢。你认为公平吗？为什么？ (2)请你设计一种新的公平规则。 【答案】(1)不公平；因为摸到点数为奇数的可能性大。 (2)摸到点数小于5的牌时，小刚赢；摸到点数大于5的牌时，小明赢；摸到点数等于5的牌时，重新摸牌。（答案不唯一） 【分析】（1）从题意可知，每次都是从9张扑克牌中摸一张牌，看这9张牌中，点数是奇数牌和偶数牌各几张，然后进行比较，如果相同则公平，如果不相同则不公平。据此解答。 （2）设计规则：摸到点数小于5的牌时，小刚赢；摸到点数大于5的牌时，小明赢；摸到点数等于5的牌时，重新摸牌。点数小于5的牌有1、2、3、4，共4张；点数大于5的牌有6、7、8、9，共4张；点数等于5的牌有1张。当摸到5时重新摸牌，因此在实际游戏中，有效结果为点数小于5或大于5，各有4种可能，所以规则公平。 【详解】（1）在1－9中，奇数有1、3、5、7、9共5个数；偶数有2、4、6、8共4个数； 5＞4，摸到点数为奇数的可能性大，所以这个游戏规则不公平。 （2）摸到点数小于5的牌时，小刚赢；摸到点数大于5的牌时，小明赢；摸到点数等于5的牌时，重新摸牌。（答案不唯一） 真题拔高 二、填空题 5．给正方体的6个面上涂上红、蓝两种颜色，要想掷出红色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，至少应给( )个面涂上红色。 【答案】 4 【分析】正方体有6个面，红色面＞蓝色面，掷出红色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，据此分析。 【详解】6÷2＝3（面） 3＋1＝4（面） 要想掷出红色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，至少应给4个面涂上红色。 6．在跳棋比赛时，淘气和笑笑想用掷一枚一元硬币的方法决定谁先跳（正面朝上淘气先跳，反面朝上笑笑先跳），这个规则对双方是( )的。（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】掷一枚硬币，硬币只有正，反两面，所以掷出后，正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。 【详解】因为正面朝上淘气先跳，反面朝上笑笑先跳，而正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以淘气和笑笑先跳的可能性也相等。所以这个规则对双方是公平的。 7．一个不透明的口袋里有8颗白珠子、3颗黑珠子和6颗红珠子，任意摸出一颗珠子（珠子材质、大小相同），摸出( )珠子的可能性最大：如果要使摸到红珠子的可能性最大，至少要再放入( )颗红珠子。 【答案】 白 3 【分析】同种颜色的珠子越多，被摸到的可能性越大。要使摸到红珠子的可能性最大，至少放入的珠子数等于同种颜色最多的珠子数减去红珠子数加上1。 【详解】因为，即白珠子最多，黑珠子最少。 所以，摸出白珠子的可能性最大。 （颗） 如果要使摸到红珠子的可能性最大，至少要再放入3颗红珠子。 8．现有3枚黑棋，将它们放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到黑棋的可能性大；放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到白棋的可能性大。如果维维和奇奇玩游戏，规定摸出黑棋维维胜，摸出白棋奇奇胜，那么这3枚黑棋放进( )号箱中游戏最公平。（填序号） 【答案】 ③ ① ② 【分析】要判断摸到哪种棋子的可能性大，就看哪种棋子数量多；要游戏公平，就要让黑棋和白棋数量一样多。原来箱子里只有白棋，放入3枚黑棋后，分别看每个箱子中黑白两色棋子谁多谁少。 【详解】①号箱：原有6枚白棋，黑棋：3枚，白棋：6枚，白棋多，摸到白棋可能性大； ②号箱：原有3枚白棋，黑棋：3枚，白棋：3枚，黑棋、白棋同样多，游戏最公平； ③号箱：原有1枚白棋，黑棋：3枚，白棋：1枚，黑棋多，摸到黑棋可能性大。 因此，放入③号箱，黑棋数量多，摸到黑棋可能性大； 放入①号箱，白棋数量多，摸到白棋可能性大； 放入②号箱，黑棋、白棋数量相等，游戏最公平。 9．如下图，“双十二”期间，亿适家超市推出“购物抽奖”活动，用摸球的方式确定每位顾客获得一个什么奖品。 (1)如果王阿姨在①号袋子中摸球，那么她可能获得的奖品有( )种，获得( )的可能性最大。 (2)李奶奶不想要小玩偶，建议她在( )号袋子中摸球更合适。（填序号） 【答案】(1) 3 饮料 (2)② 【分析】（1）有几种颜色的球，获得奖品的种类就有几种；比较各种颜色的球，哪个颜色的数量最多，获得对应奖品的可能性就最大； （2）小玩偶对应的是白球，看哪个袋子里哪个没有白球就选哪个。 【详解】（1）①号袋子中有红球、黄球、白球，根据抽奖规则，王阿姨在①号袋子中摸球，她可能获得的奖品有纸巾、饮料、小玩偶，共3种； 5＞3＞1，黄球的数量最多，所以获得饮料的可能性最大。 （2）①号袋子中有白球，有可能摸到白球获得小玩偶；②号袋子中没有白球，所以不会摸到白球获得小玩偶，因为李奶奶不想要小玩偶，建议她在②号袋子中摸球更合适。 10．亮亮和聪聪玩数学游戏，现有1、6、8三张数字卡片，两人从中任意抽出两张，按抽出的先后顺序依次作为十位和个位组成一个两位数。约定：组成的两位数是单数，亮亮赢，组成的两位数是双数，聪聪赢，( )赢的可能性更大。要使游戏规则公平，可增加一张数字( )的卡片。 【答案】 聪聪 1/3/5/7/9 【分析】（1）列出所有可能组成的数，然后判断单数和双数的多少，即可知谁赢的可能性大； （2）要使游戏公平，那么单双数要一样多，也就是个位是单数和个位数是双数卡片一样多；据此解答。 【详解】用1、6、8三张数字卡片组成的两位数有：16、18、61、68、81、86； 双数有：16、18、68、86，共4个； 单数有：61、81，共2个。 所以聪聪赢的可能性更大。 双数多是因为 6、8 都是偶数，个位是偶数就是双数。要让单数和双数一样多，需要再增加一张单数卡片，让单数和双数卡片数量相等；这张卡片可以是1、3、5、7、9中的任意一张。 11．一个口袋里有大小相同的2个红球，3个白球，任意摸出一个，摸到( )球的可能性大；要使摸到两种球的可能性相等，应再放入( )球。 【答案】 白 红 【分析】球的数量越多，摸到的可能性越大；要使摸到两种球的可能性相等，需使红球和白球数量相等，所以应增加红球数量至与白球相同。 【详解】2＜3，所以摸到白球的可能性大。 要使摸到红球和白球的可能性相等，需使红球数量等于白球数量，即红球也应有3个，因此应再放入1个红球。 12．甲乙两人下跳棋，两人投骰子，点数大于3，甲先跳，点数小于3，乙先跳，则这个游戏规则( )公平的。（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】判断是否公平，看事件发生的可能性是不是一样，可能性一样，则公平，可能性不一样，则不公平。 【详解】骰子点数有1个，2个，3个，4个，5个，6个。点数小于3的有两种情况，点数大于3的有4个点、5个点、6个点三种情况，点数大于3的可能性大，所以不是公平的。 三、选择题 13．盒子里有2个白球、7个黑球，这些球除颜色外其他都一样。小雨摸出一个球放回盒中，连续8次都摸到黑球，第9次摸球结果（    ）。 A．一定是白球 B．一定是黑球 C．黑球可能性大 D．白球可能性大 【答案】C 【分析】因为每次摸出一个球后放回盒中，所以盒中白球和黑球的数量始终保持不变，且前8次摸球的结果不影响第9次摸球的结果。盒中有白球2个，黑球7个。比较两种球的数量：，即黑球的数量多于白球的数量。根据可能性大小的判断方法：在总数中，某种球的数量越多，摸到该种球的可能性越大。所以第9次摸球，摸到黑球的可能性大，摸到白球的可能性小，且两种球都有可能摸到，结果是不确定的。 【详解】A．可能是白球，也可能是黑球，不一定是白球，此选项错误； B．可能是白球，也可能是黑球，不一定是黑球，此选项错误； C．黑球数量多，摸到黑球的可能性大，此选项正确； D．白球数量少，摸到白球的可能性小，此选项错误。 14．盒子里有黄、蓝两种颜色的乒乓球各3个，闭上眼睛随意摸出一个然后放回，连续3次都摸到蓝色的乒乓球。当第4次摸球时，摸到黄色与蓝色乒乓球的可能性相比（    ）。 A．黄色可能性大 B．蓝色可能性大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】每次摸球都是独立进行的，并且摸出一个然后放回，盒子里球的数量和颜色分布每次摸球前都是一样的。前几次的结果不会影响下一次摸球的可能性。只需比较第4次摸球时两种颜色球的数量即可判断可能性大小。 【详解】盒子里有黄球3个，蓝球3个。因为每次摸出一个球后都放回，所以每次摸球前，盒子里球的总数和每种颜色球的数量都不变。第4次摸球时，盒子里仍有黄球3个，蓝球3个。因为，即黄球和蓝球的数量相等。根据可能性大小的判断方法，当两种球的数量相等时，摸到的可能性一样大，所以第4次摸到黄色与蓝色乒乓球的可能性一样大。 15．一个不透明的口袋里有3个黄球和3个红球，从中任意摸一个，要使摸到黄球的可能性大，可以（    ）。 A．拿出1个黄球 B．拿出1个红球 C．放入1个白球 D．放入1个红球 【答案】B 【分析】可能性的大小与物体数量的多少有关。在总数中，某种球的数量越多，摸到该种球的可能性就越大。原来黄球和红球数量相等，要使摸到黄球的可能性大，必须使黄球的数量多于红球的数量。 【详解】原来口袋里有黄球3个，红球3个。 A．拿出1个黄球，黄球还剩：3－1＝2（个），红球3个，2＜3，摸到黄球的可能性小，不符合题意； B．拿出1个红球，红球还剩：3－1＝2（个），黄球3个，3＞2，摸到黄球的可能性大，符合题意； C．放入1个白球，黄球3个，红球3个，3＝3，摸到黄球和红球的可能性相等，不符合题意； D．放入1个红球，红球有：3＋1＝4（个），黄球3个，3＜4，摸到黄球的可能性小，不符合题意。 16．淘气和笑笑玩掷骰子（正方体）的游戏，掷一次，看上面的点数，下列规则中不公平的是（    ）。 A．出现奇数淘气赢，出现偶数笑笑赢 B．出现质数淘气赢，出现合数笑笑赢 C．大于3则淘气赢，小于4则笑笑赢 D．出现1、2、5淘气赢，出现3、4、6笑笑赢 【答案】B 【分析】判断游戏规则是否公平，主要看双方获胜的可能性是否相等。对于掷骰子游戏，骰子有个面，点数分别为、、、、、，每个点数出现的可能性相同。分别统计各选项中符合双方获胜条件的点数个数，若个数相等则可能性相等，规则公平；若个数不相等则可能性不相等，规则不公平。 【详解】正方体骰子的点数为、、、、、，共种情况。 A．奇数有、、，共个；偶数有、、，共个。，双方获胜可能性相等，规则公平，此选项错误； B．质数有、、，共个；合数有、，共个（既不是质数也不是合数）。，双方获胜可能性不相等，规则不公平，此选项正确； C．大于的数有、、，共个；小于的数有、、，共个。，双方获胜可能性相等，规则公平，此选项错误； D．出现、、共个；出现、、共个。，双方获胜可能性相等，规则公平，此选项错误。 17．口袋里有大小、材质完全相同的3个红球、3个黄球和3个绿球。小明每次任意摸出一个球，然后放回再摸。前4次摸球的情况为绿、绿、绿、黄，则第5次小明摸球时，下列说法正确的是（    ）。 A．摸到红球的可能性大 B．摸到黄球的可能性大 C．摸到绿球的可能性大 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 【答案】D 【分析】事件发生的可能性大小与物体数量相关，在总数中物体数量越多，出现对应结果的可能性越大；物体数量相等，出现对应结果的可能性相等；解题关键在于理解“放回”的含义，即每次摸球时袋中球的数量和种类保持不变，前几次的结果不影响下一次摸球的可能性。 【详解】口袋里有红球、黄球、绿球各3个； 因为每次摸出一个球后放回，所以口袋中球的总数和各颜色球的数量保持不变； 前4次摸球的结果不影响第5次摸球的可能性； 由于红球、黄球、绿球的数量相等，即。 所以第5次摸球时，摸到三种颜色球的可能性一样大。 四、判断题 18．一个袋子中有除颜色外完全相同的3个黄球、5个蓝球和4个红球，从袋子中任意摸出1个球，摸到黄球的可能性最小。( ) 【答案】√ 【分析】在总数一定的情况下，哪种颜色的球的数量最少，摸到该颜色球的可能性就最小。 【详解】3＜4＜5，因为黄球的数量最少，所以从袋子中任意摸出1个球，摸到黄球的可能性最小，原说法正确。 故答案为：√ 19．投掷一枚硬币三次，第一次、第二次都是正面朝上，那么第三次正面朝上的可能性比反面朝上的可能性小。( ) 【答案】× 【分析】投掷硬币属于独立事件，每次投掷的结果互不影响。硬币只有正反两面，每次正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，与之前的投掷结果无关。 【详解】硬币只有正反两面，每次正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，与之前的投掷结果无关。原题说法错误。 故答案为：× 20．抛硬币决定：“正面朝上甲先走，反面朝上乙先走”，这个规则很公平。( ) 【答案】√ 【分析】判断一个游戏规则是否公平，关键是看代表双方的事件发生的可能性是否相等，硬币只有正面和反面两个面，抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，因此甲和乙先走的机会均等，游戏规则公平。 【详解】分析可知，抛硬币时，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币决定谁先走的游戏规则是公平的，题目说法正确。 故答案为：√ 21．用抛硬币的方法来决定比赛的先后顺序很公平。( ) 【答案】√ 【详解】抛硬币时，可能出现的结果有两种：正面朝上和反面朝上。每种结果出现的可能性都是 。因此，用抛硬币的方法来决定比赛的先后顺序，每个参与者获得先手或后手的机会是相等的，所以规则公平。 故答案为：√ 22．一个不透明的口袋里面有100个红球、1个蓝球，任意摸一个，一定能摸到红球。( ) 【答案】 × 【分析】根据题干，口袋中有100个红球和1个蓝球，共101个球。事件“一定能摸到红球”要求该事件是必然事件。但蓝球的存在表明摸到红球不是必然的。因此，结论错误。 【详解】因为口袋中有蓝球，所以任意摸一个球时，可能摸到蓝球，因此不一定能摸到红球。 故答案为：× 五、作图题 23．请你画一画。     摸一个图形不一定是○，但可能是○。     摸一个图形一定是△。     摸一个图形，不可能是☆，○的可能性大。 【答案】 【分析】第一个罐子的要求是：摸一个图形不一定是圆形，但可能是圆形。“不一定是圆形”说明里面不能全部都是圆形，一定有其他的图形，“可能是圆形”说明里面一定有圆形。那么我们可以在罐子里放几个圆形，再放几个其他图形（如正方形、三角形等）。这样摸的时候既有可能摸到圆形，也有可能摸到其他图形。 第二个罐子的要求是：摸到的一定是三角形。说明不论摸出哪一个图形，都是三角形，所以里面必须全部放三角形，不能放其它图形。那么罐子里面可以放几个三角形，这样能保证我们摸的时候一定是三角形。 第三个罐子的要求是：摸一个图形，不可能是五角星，圆的可能性大。“不可能是五角星”说明里面一个五角星也没有，“圆的可能性大”说明里面有圆形，且圆形的数量比较多，但里面还有别的图形（如三角形、正方形等），不能出现五角星。那么罐子里面可以放一个其他图形，再放四个或者五个圆形，这样既能保证摸出圆形的可能性更大，又能包含其他图形，同时罐子里不存在五角星。 【详解】根据要求绘图如下： 第一个罐子里有三个三角形和两个圆形；第二个罐子里有四个三角形；第三个罐子里有一个三角形和四个圆形。（答案不唯一） 六、解答题 24．明明和琳琳玩抽牌游戏，选出点数为5，6，7，8，9，10的6张扑克牌反扣在桌面上。游戏规则如下：明明从中任意抽一张，若抽到的点数是质数，明明获胜；若抽到的点数是合数，琳琳获胜。这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】 不公平；理由见详解；公平的游戏规则：抽到奇数，明明获胜；抽到偶数，琳琳获胜（答案不唯一）。 【分析】判断5，6，7，8，9，10六个数字中质数和合数的个数是否相等，若相等，则公平；若不相等，则不公平。要使游戏公平，可根据数字奇数、偶数的个数相同制定规则。 【详解】5，6，7，8，9，10六个数字中：5，7共2个数字是质数；6，8，9，10共4个数字是合数； 因为2＜4，所以游戏规则不公平。 5，6，7，8，9，10六个数字中：5，7，9共3个数字是奇数；6，8，10共3个数字是偶数； 因为3＝3，所以可以制定公平的游戏规则：抽到奇数，明明获胜；抽到偶数，琳琳获胜（答案不唯一）。 答：游戏规则不公平。公平的游戏规则：抽到奇数，明明获胜；抽到偶数，琳琳获胜（答案不唯一）。 25．小林和小军两人玩掷骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点数）游戏，掷到的点数大于3点小林赢，掷到的点数小于3点小军赢，掷到3点重来一次。你认为这个规则公平吗？如何修改，才能使这个规则对他俩都公平呢？ 【答案】见详解 【分析】判断游戏是否公平，关键看双方获胜的可能性是否相等。通过比较小林和小军获胜点数数量多少。若可能性不等，则规则不公平，需要修改规则使双方获胜的可能性相等。（规则有多种组合方式，修改时只需要把两个人的获胜点数调整一样即可，答案不唯一） 【详解】骰子的点数为1、2、3、4、5、6。 小林赢：点数大于3，有4、5、6，共3种情况。 小军赢：点数小于3，有1、2，共2种情况。 重来：点数为3，共1种情况。 3＞2，说明小林赢的可能性大，是不公平的 修改方案：掷到的点数大于3小林赢，掷到的点数小于或等于3小军赢。 答：这个规则不公平，可以将方案调整为“掷到的点数大于3小林赢，掷到的点数小于或等于3小军赢”，调整后这个规则对他俩都公平。 【点睛】关键点是通过寻找双方获胜的点数的数量多少来判断游戏是否公平，修改规则时要使双方获胜的点数的数量相等即可。 26．姐妹俩做了8颗幸运星，5颗红色的，3颗紫色的，把它们放在不透明的袋子中。两人轮流摸一颗幸运星，摸完后立即放回。妹妹摸到红色的就得1分，姐姐摸到紫色的就得1分，否则不得分。各摸10次，得分高者获胜。 (1)这个游戏公平吗？为什么？ (2)请你给姐妹俩设计一个公平的游戏规则。 【答案】(1)不公平；原因见详解 (2)见详解 【分析】（1）确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。袋子内有5颗红色幸运星，3颗紫色幸运星，红色幸运星与紫色幸运星的数量不同，所以游戏规则不公平。 （2）要让游戏公平，需让双方得分的可能性相等。可以通过调整幸运星数量（使红球、紫球数量相同）来实现。 【详解】（1）5＞3 答：游戏不公平。因为红色幸运星比紫色幸运星多，抽到的可能性更大。 （2）、、 答：通过调整幸运星数量使红球、紫球数量相同，可以把其中1颗红色的幸运星换成紫色的，换完后有4颗红色幸运星，4颗紫色幸运星，数量相等，抽到的可能性相等，游戏就公平了。 （答案不唯一） 27．为培养同学们强身健体、以体育人的良好习惯，学校强调每节课的课间十分钟时间同学们都应走出教室适度活动、远眺或做做游戏。课间，不马虎和笑笑做摸球游戏，盒子里有9个球，分别写着1～9这九个数字。从中任意摸一个球，摸到奇数不马虎赢，摸到偶数笑笑赢。你认为这个游戏规则公平吗？请写出你的判断并说明理由。 【答案】不公平；原因见解析 【分析】确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【详解】不公平，因为1～9这九个数字中，奇数有1、3、5、7、9共5个，偶数有2、4、6、8，共4个，5＞4，所以这个游戏规则不公平。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 可能性（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《可能性》是人教版五年级上册统计与概率板块的核心单元，是小学阶段概率知识的正式启蒙内容。本单元突破传统确定的数学计算思维，引入随机现象与不确定性思维，是学生从“绝对确定数学”向“随机概率数学”的重要思维跨越。本单元知识为后续六年级扇形统计图、概率初步、数据分析、随机事件判断等内容奠定基础，重点培养学生数据分析能力、随机推理能力、客观判断思维，是小学数学核心素养中统计观念的关键组成部分。 2. 核心学习内容 区分生活与数学中的确定事件、不确定事件；掌握事件发生的三种基础结果类型；理解随机事件的核心特征；掌握可能性大小的判断依据与变化规律；理解数量多少与可能性大小的对应关系；掌握可能性相等的均衡条件；学会根据可能性大小反向推理数量分布；梳理概率启蒙核心概念、易混辨析点与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 随机思想：打破绝对确定思维，认识生活中存在大量不确定随机现象；统计思想：依托数量分布判断事件发生的概率大小；推理思想：根据可能性大小正向判断、反向推理数量结构；建模思想：建立“数量多少决定可能性大小”的基础概率模型。 二、事件的三种基本类型（核心必考） 小学数学中将所有事件发生的结果分为三类：一定发生、不可能发生、可能发生，前两类属于确定事件，最后一类属于不确定事件（随机事件）。 1. 确定事件：一定发生 在一定条件下，结果唯一、必然会发生的事件，没有任何例外情况，结果完全确定。此类事件的发生概率是绝对的，不受随机条件影响，具备唯一性、必然性、确定性。 2. 确定事件：不可能发生 在一定条件下，绝对不会发生的事件，结果同样唯一确定，不存在发生的可能性。与“一定发生”同属确定事件，事件结果无随机性、无变数。 3. 不确定事件（随机事件）：可能发生 在一定条件下，结果不唯一，可能发生、也可能不发生的事件，是本单元重点研究内容。随机事件的结果具备偶然性、不确定性，单次结果无法精准预判，但大量重复试验下存在稳定的规律趋势。 三、三类事件的本质特征与区别 1. 确定事件整体特征 结果唯一、无变数、无偶然性，不受随机因素干扰，无论试验多少次，结果始终保持一致，可提前精准预判最终结果，属于绝对性事件。 2. 随机事件整体特征 结果不唯一、存在多种选择、具备偶然性；单次试验结果无法确定，无法提前预判；大量重复试验后，会呈现出稳定的可能性大小规律，具备宏观规律性、微观随机性。 3. 关键区分要点 一定、不可能 属于百分百确定；可能 属于不确定、有概率。不可混用词语描述事件，数学表述严谨固定，不同词汇对应不同事件属性。 四、可能性大小的核心规律（单元重难点） 1. 核心决定因素 在随机事件中，可能性的大小完全由对应物体的数量多少决定，在总数量固定的前提下，数量分布直接决定概率大小。 2. 完整对应规律 总数量不变时，某类物体数量越多，被抽取、被选中的可能性就越大；某类物体数量越少，被抽取、被选中的可能性就越小；各类物体数量相等时，对应的可能性大小相等，事件发生概率均衡。 3. 规律深层解读 可能性大小描述的是发生的概率趋势，不是绝对结果。数量多只能说明可能性大，不代表一定发生；数量少只能说明可能性小，不代表不可能发生。小概率事件有可能发生，大概率事件有可能不发生，这是随机事件的核心特征。 五、可能性相等的均衡条件 当几种不同物体的数量完全相等时，它们被抽取的可能性大小相等，此时各类事件发生的机会均等、概率均衡。均等可能性仅与数量是否一致有关，与物体形状、大小、颜色、材质等无关，只要数量相同，随机抽取的概率一致。 六、可能性的反向推理知识点 已知可能性大小，可以反向推理物体数量分布情况。可能性越大，对应物体数量大概率越多；可能性越小，对应物体数量大概率越少；可能性相等，对应物体数量基本相等。反向推理属于概率趋势推理，结果为大概率推测，不属于绝对确定结论，符合随机事件特征。 七、试验随机性与大量统计规律 1. 单次试验特征 单次随机试验结果具备偶然性、不确定性，无规律可循，无法预判单次结果，大概率事件可能落空，小概率事件可能发生。 2. 大量试验特征 重复试验次数越多，试验结果越接近理论可能性大小，整体数据越稳定，数量多少对应的概率趋势越明显，体现随机事件“微观随机、宏观规律”的核心特点。 八、数学规范表述规则 描述确定必然结果，统一使用“一定”；描述绝对无结果，统一使用“不可能”；描述不确定随机结果，统一使用“可能”。禁止混用“大概、也许、差不多”等口语化词汇，数学概率表述必须精准、规范、固定。 易错指引 1. 概念认知易错 混淆确定事件与随机事件，把大概率事件当成一定发生，把小概率事件当成不可能发生；不理解随机事件的偶然性，认为可能性大就必然发生、可能性小就不会发生。 2. 规律理解易错 忽略总数量固定的前提，单独用数量判断可能性；误认为可能性相等就代表每次试验结果交替出现，误解均等概率的含义；混淆单次随机规律和大量统计规律。 3. 反向推理易错 根据可能性大小绝对判定数量，把概率推测当成确定结论；认为可能性大的数量一定最多，忽略特殊随机偏差情况。 4. 表述规范易错 数学描述用词不严谨，混用可能、一定、不可能；生活口语替代数学规范表述，概念界定模糊，事件类型判断错误。 5. 条件判断易错 忽略事件发生的前提条件，脱离固定条件判断事件可能性；不理解条件改变，事件类型和可能性大小会随之改变，无法动态分析概率变化。 例题讲解 【例题】 1．用“0、2、5、8”中的两个数字组成两位数。组成的数是2的倍数算女生赢；组成的两位数是5的倍数算男生赢；组成的数是2和5的公倍数算平局。这个游戏规则( )。（填“公平”或“不公平”） 【例题】 2．豆包是AI智能助手，能答疑解惑。天天想在袋子里面放入大小相同的红、黄、蓝三种颜色球共9个，设计一个摸球游戏。先输入对话提示：如果任意摸一个，让摸到三种颜色球的可能性相同，每种颜色的球各放几个？豆包给出的答案是( )。又提示：要让摸到红色和黄色球的可能性相同，摸到蓝色球的可能性最小，每种颜色的球又各放几个？豆包给出的答案是( )。 【例题】 3．小梅和小倩做数学游戏，每人依次轮流从下面的卡片（已打乱反扣）中任意抽取一张然后放回。如果抽取的数是质数，小梅获胜；如果抽取的数是合数，小倩获胜。这个游戏规则公平吗？说说你的理由。如果不公平，怎样修改能使游戏规则公平？ 【例题】 4．小明和小刚玩摸扑克牌游戏，有9张扑克牌，上面的点数分别是1－9点。游戏规则是：每次摸一张牌，摸后放回。 (1)若规定，摸到点数为奇数的牌时，小明赢；摸到点数为偶数的牌时，小刚赢。你认为公平吗？为什么？ (2)请你设计一种新的公平规则。 真题拔高 二、填空题 5．给正方体的6个面上涂上红、蓝两种颜色，要想掷出红色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，至少应给( )个面涂上红色。 6．在跳棋比赛时，淘气和笑笑想用掷一枚一元硬币的方法决定谁先跳（正面朝上淘气先跳，反面朝上笑笑先跳），这个规则对双方是( )的。（填“公平”或“不公平”） 7．一个不透明的口袋里有8颗白珠子、3颗黑珠子和6颗红珠子，任意摸出一颗珠子（珠子材质、大小相同），摸出( )珠子的可能性最大：如果要使摸到红珠子的可能性最大，至少要再放入( )颗红珠子。 8．现有3枚黑棋，将它们放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到黑棋的可能性大；放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到白棋的可能性大。如果维维和奇奇玩游戏，规定摸出黑棋维维胜，摸出白棋奇奇胜，那么这3枚黑棋放进( )号箱中游戏最公平。（填序号） 9．如下图，“双十二”期间，亿适家超市推出“购物抽奖”活动，用摸球的方式确定每位顾客获得一个什么奖品。 (1)如果王阿姨在①号袋子中摸球，那么她可能获得的奖品有( )种，获得( )的可能性最大。 (2)李奶奶不想要小玩偶，建议她在( )号袋子中摸球更合适。（填序号） 10．亮亮和聪聪玩数学游戏，现有1、6、8三张数字卡片，两人从中任意抽出两张，按抽出的先后顺序依次作为十位和个位组成一个两位数。约定：组成的两位数是单数，亮亮赢，组成的两位数是双数，聪聪赢，( )赢的可能性更大。要使游戏规则公平，可增加一张数字( )的卡片。 11．一个口袋里有大小相同的2个红球，3个白球，任意摸出一个，摸到( )球的可能性大；要使摸到两种球的可能性相等，应再放入( )球。 12．甲乙两人下跳棋，两人投骰子，点数大于3，甲先跳，点数小于3，乙先跳，则这个游戏规则( )公平的。（填“是”或“不是”） 三、选择题 13．盒子里有2个白球、7个黑球，这些球除颜色外其他都一样。小雨摸出一个球放回盒中，连续8次都摸到黑球，第9次摸球结果（    ）。 A．一定是白球 B．一定是黑球 C．黑球可能性大 D．白球可能性大 14．盒子里有黄、蓝两种颜色的乒乓球各3个，闭上眼睛随意摸出一个然后放回，连续3次都摸到蓝色的乒乓球。当第4次摸球时，摸到黄色与蓝色乒乓球的可能性相比（    ）。 A．黄色可能性大 B．蓝色可能性大 C．一样大 D．无法确定 15．一个不透明的口袋里有3个黄球和3个红球，从中任意摸一个，要使摸到黄球的可能性大，可以（    ）。 A．拿出1个黄球 B．拿出1个红球 C．放入1个白球 D．放入1个红球 16．淘气和笑笑玩掷骰子（正方体）的游戏，掷一次，看上面的点数，下列规则中不公平的是（    ）。 A．出现奇数淘气赢，出现偶数笑笑赢 B．出现质数淘气赢，出现合数笑笑赢 C．大于3则淘气赢，小于4则笑笑赢 D．出现1、2、5淘气赢，出现3、4、6笑笑赢 17．口袋里有大小、材质完全相同的3个红球、3个黄球和3个绿球。小明每次任意摸出一个球，然后放回再摸。前4次摸球的情况为绿、绿、绿、黄，则第5次小明摸球时，下列说法正确的是（    ）。 A．摸到红球的可能性大 B．摸到黄球的可能性大 C．摸到绿球的可能性大 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 四、判断题 18．一个袋子中有除颜色外完全相同的3个黄球、5个蓝球和4个红球，从袋子中任意摸出1个球，摸到黄球的可能性最小。( ) 19．投掷一枚硬币三次，第一次、第二次都是正面朝上，那么第三次正面朝上的可能性比反面朝上的可能性小。( ) 20．抛硬币决定：“正面朝上甲先走，反面朝上乙先走”，这个规则很公平。( ) 21．用抛硬币的方法来决定比赛的先后顺序很公平。( ) 22．一个不透明的口袋里面有100个红球、1个蓝球，任意摸一个，一定能摸到红球。( ) 五、作图题 23．请你画一画。     摸一个图形不一定是○，但可能是○。     摸一个图形一定是△。     摸一个图形，不可能是☆，○的可能性大。 六、解答题 24．明明和琳琳玩抽牌游戏，选出点数为5，6，7，8，9，10的6张扑克牌反扣在桌面上。游戏规则如下：明明从中任意抽一张，若抽到的点数是质数，明明获胜；若抽到的点数是合数，琳琳获胜。这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。 25．小林和小军两人玩掷骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点数）游戏，掷到的点数大于3点小林赢，掷到的点数小于3点小军赢，掷到3点重来一次。你认为这个规则公平吗？如何修改，才能使这个规则对他俩都公平呢？ 26．姐妹俩做了8颗幸运星，5颗红色的，3颗紫色的，把它们放在不透明的袋子中。两人轮流摸一颗幸运星，摸完后立即放回。妹妹摸到红色的就得1分，姐姐摸到紫色的就得1分，否则不得分。各摸10次，得分高者获胜。 (1)这个游戏公平吗？为什么？ (2)请你给姐妹俩设计一个公平的游戏规则。 27．为培养同学们强身健体、以体育人的良好习惯，学校强调每节课的课间十分钟时间同学们都应走出教室适度活动、远眺或做做游戏。课间，不马虎和笑笑做摸球游戏，盒子里有9个球，分别写着1～9这九个数字。从中任意摸一个球，摸到奇数不马虎赢，摸到偶数笑笑赢。你认为这个游戏规则公平吗？请写出你的判断并说明理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $