精品解析：山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高二数学试题

2025－2026学年度第二学期质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案必须使用铅笔按《填涂样例》正确填图，非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用铅笔作答，字体工整、笔迹清洗. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数相等的两类等价关系，结合组合数上标的取值限制求解. 【详解】根据组合数性质：若，则要么，要么，且组合数上标需满足、，本题中， 分情况讨论： 若，解得，此时，，符合组合数定义； 若，化简得，解得，此时，，符合组合数定义， 综上的取值为2或4. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线关于均值对称，得到，求出区间的概率，再平分得到左半区间的概率。 【详解】由，得正态曲线关于对称， 所以， 所以 ． 4. 若为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”， 当时，不妨取，此时，即“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算出，再代入函数即可. 【详解】因为，所以. 6. 已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 所以. 7. 已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数的对称性与单调性，将函数值不等式转化为自变量到对称轴距离的绝对值不等式求解. 【详解】由，可得函数的图象关于直线对称； 对，且都有， 则在上单调递减， 由对称性可得在上单调递增； 结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即； 所以不等式等价于，即； 即，展开整理得，解得. 故不等式的解集是. 8. 如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】设点处的数字为，每条线段上数字之和为，得到是的倍数，求出的所有可能取值，进而求解. 【详解】设点处的数字为，每条线段上数字之和为， 则， 因为，所以是的倍数，又， 所以的取值可能为， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 综上，共有种. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在6道不同试题中有4道选择题、2道填空题，每次从中随机抽出1道，抽出的题不再放回.设事件“第1次抽到选择题”，“第2次抽到填空题”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用排列、组合计数问题求出古典概率判断A；利用全概率公式计算判断B；求出条件概率判断C；利用概率的基本性质计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，， 因此，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D正确. 10. 已知，则（ ） A. 当时，的展开式中存在常数项 B. 当时，的展开式中各项系数和为 C. 当时，的展开式中的系数为 D. 当，时，能被15整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，令的次数为0，求得对应参数，判断A；利用赋值法，令，求得的展开式中各项系数和，判断B；当时，，根据通项为，讨论项对应的的取值，求得其系数，判断C；求出，利用二项式定理分析除以15的余数，判断D. 【详解】 选项A，当时，， 展开式通项为， 令得，故A错误. 选项B，当时，，令，得展开式各项系数和为，故B正确. 选项C，当时，， 通项为， 要得到项，需使中的次数为. 又，所以，即或. 当时，，中的对应项为， 中的对应项为； 当时，，中的对应项为， 中的对应项为； 所以当时，的展开式中的系数为. 故C正确. 选项D，当时，. 则， （）， 因为每一项均能被15整除， 所以能被15整除，故D正确. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 当时，函数共有9个零点 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意得，，进而得，即是以为周期的周期函数，利用周期即可判断AB，根据函数零点的定义即可判断C，由，先求一个周期的解集，利用周期即可判断D. 【详解】由题意得：，又为奇函数，所以， 所以，所以，所以是以为周期的周期函数， 所以，故A正确； 又，， 所以，故B错误； 由是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是的零点， 又为奇函数，所以， 所以，所以是的零点， 又当时，，所以， 所以，所以是的零点， 又， 所以是的零点， 所以的零点为：共有9个，故C正确； 又，所以，当时，， 解得，又是以为周期的周期函数， 当时，， 所以，不满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以不等式的解集为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量，且，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由随机变量，且，， 得且，所以. 13. 2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下： 性别 世界杯 合计 关注 不关注 女生 男生 合计 根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯有关”，则被调查的女生中关注世界杯的最少为________人. （附参考数据： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 参考公式：，） 【答案】 6 【解析】 【分析】先根据列联表数据推导卡方统计量关于的表达式，结合对应的临界值列不等式求解的范围，再结合人数为整数的约束得到最小值. 【详解】由列联表得，， 根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯”有关， 所以，即， 所以. 又，即为正偶数， 所以被调查的女生中关注世界杯的最少为人. 14. 已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用换元法将转换为一元函数，然后利用导数讨论函数最值，最终利用函数单调性可得参数的最大值. 【详解】由题可得，,则. 设，则由，要求的最大值，可知此时，则. 所以，又因为，所以，所以 所以. 设， 考虑，，. 当时，恒成立，所以在单调增. 又因为，由零点存在定理可知,使得.所以在单调减，在单调增.又因为.又,故时，单调递增，且时，，所以在 的最大值为，故，即. 【点睛】利用换元法将转换为一元函数最值问题进行求解是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，分情况讨论即可； （2）首先根据代入函数表达式，整理得到与的和为定值；再将所求式与该定值结合，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得， 所以实数的取值范围是。 【小问2详解】 已知，代入函数得：， 整理得：， 因为，所以，且可变形为， 令，则，目标式变为：， ， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 代入，得，，此时，， 因此：， 所以的最小值为. 16. 已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数，讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合定义域、值域求出解析式. （2）由（1）求出，再利用导数按分类求解函数的单调性. 【小问1详解】 由幂函数，得，解得或， 当时，的定义域、值域分别为，不符合题意， 当时，的定义域、值域都为，符合题意， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，函数， 函数的定义域为，求导得， 当时，，由，得或；由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 17. 甲、乙两人分别从，，，，中取2个数字，其中.设随机变量表示两人取到相同数字的个数. （1）若，求的分布列和期望； （2）设事件“甲乙至少有一人取到数字1”，事件“甲、乙两人取到的2个数字均相同”，若，求的值. 【答案】（1） 0 1 2 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）根据题意，求得和，结合条件概率的公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，甲乙两人从5个数字中取2个，总的基本事件为， 其中随机变量的可能取值为， 可得，， ， 所以变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. 【小问2详解】 解：设为所求的数值，可得， ， 因为，可得，可得， 即，解得或（舍去），所以的值为. 18. 某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 （1）请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） （2）通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ （3）为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 【答案】（1）经验回归方程为；第5天的残差. （2）（ⅰ）；（ⅱ）模型②拟合效果更好. （3）连续天后优化时效最好 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘估计可算出，的值，即可得到经验回归方程. （2）（ⅰ）由可得，再利用最小二乘估计即可；（ⅱ）计算出，再跟比较即可得结果. （3）计算出回归时效函数，利用导数判断的单调性，求出取得最大值时的值. 【小问1详解】 由已知得， 所以. 所以. 所以经验回归方程为. 第5天的残差. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以. 所以 所以关于的非线性经验回归方程为 （ⅱ）模型①中的决定系数， 已知模型②中的决定系数，即，所以模型②拟合效果更好. 【小问3详解】 根据（2）结果选择模型②， 则 所以 令，即，得. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. 因为，则，. 所以. 所以在连续天后优化时效最好. 19. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数有三个极值点，，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由. 【答案】（1）当时，，可得， 当时，，可得，单调递减； 当时，，可得，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以，即. （2）（i）；（ii）2条 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到的单调性，求得，即可证得； （2）（i）求得，转化为有两个不等于的实数根，设，利用导数求得的单调性和最小值，得到的范围，结合题意，即可求解； （ii）设切线为，则，，转化为 ，根据的单调性，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）由，可得， 因为函数有三个极值点，所以有三个根， 其中，即是的一个根， 所以方程有两个不等于的实数根，即有两个不等于的实数根， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以， 要使得和的图象有两个交点，则满足， 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，且是方程的两个根， 设切线为，则， ，整理得， 等价于 由（i）在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，即，所以， 由，可得， 所以，， 所以此时切线方程为， 当时，，即，所以， 由，可得， 所以，， 所以此时切线方程为， 当时，令， 则， 因为，所以，所以在上单调递减， 又因为， 由，且在上单调递增，可得， 即，所以存在唯一的实数使得， 此时，符合题意， 综上可得，过点可以作曲线的2条切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案必须使用铅笔按《填涂样例》正确填图，非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用铅笔作答，字体工整、笔迹清洗. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 若为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 6. 已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在6道不同试题中有4道选择题、2道填空题，每次从中随机抽出1道，抽出的题不再放回.设事件“第1次抽到选择题”，“第2次抽到填空题”，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 当时，的展开式中存在常数项 B. 当时，的展开式中各项系数和为 C. 当时，的展开式中的系数为 D. 当，时，能被15整除 11. 已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 当时，函数共有9个零点 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量，且，，则________. 13. 2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下： 性别 世界杯 合计 关注 不关注 女生 男生 合计 根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯有关”，则被调查的女生中关注世界杯的最少为________人. （附参考数据： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 参考公式：，） 14. 已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若，，，求的最小值. 16. 已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数，讨论的单调性. 17. 甲、乙两人分别从，，，，中取2个数字，其中.设随机变量表示两人取到相同数字的个数. （1）若，求的分布列和期望； （2）设事件“甲乙至少有一人取到数字1”，事件“甲、乙两人取到的2个数字均相同”，若，求的值. 18. 某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 （1）请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） （2）通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ （3）为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 19. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数有三个极值点，，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $