精品解析：河北唐山市2025-2026学年度第二学期期末学业水平测试高二年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末学业水平测试 高二年级数学 本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，使用0.5mm黑色签字笔，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此. 而是所有属于但不属于A的元素构成的集合， 代入，可得. 而 是所有既属于又属于B的元素构成的集合， 代入，可得. 2. 设复数，且满足是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数，则， 由是纯虚数，得，所以. 3. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变. 【详解】对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误； 对B，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据， 从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，， 所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据． 对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误； 对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误. 故选：B. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】可知，当时，， 所以在点处的切线方程为，化简得. 5. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（ ） A. 20 B. 60 C. 125 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】根据5名同学每名都可以有3种选择按照分步乘法计数原理进行相乘即可. 【详解】5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座， 由于这5名同学每名都可以有3种选择，所以共有种选择. 故选：D. 6. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，且， ，即，得，，. . 7. 如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且， 所以， 故， 所以， 所以. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 二、选择题：本题有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 为等差数列 【答案】BCD 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，所以， 即，所以，由条件无法确定的值，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为（常数），所以为等比数列，故C正确； 因为数列是等差数列，所以， 所以，所以（常数）， 所以为等差数列，故D正确. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 11. 设函数，则函数（ ） A. 最小正周期为 B. 最大值为3 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】先说明是的一个正周期，然后利用反证法证明是函数的最小正周期判断A；根据三角函数的有界性及正余弦函数取最大值的条件判断B；根据对称性的定义列式验证判断C；求出导函数，利用导数法判断单调性判断D. 【详解】对于选项A，显然成立， 若存在，使得成立， 则必有，， 即，， 化简得，． 又，故不存在，因此是函数的最小正周期，故A正确． 对于选项B，根据三角函数的有界性，， 当且仅当且时等号成立，其中，显然取不到等号，故B错误． 对于选项C，由于， 则函数的图象不关于直线对称，故C错误． 对于选项D，由于， 则当时，，则在区间上单调递增，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题有3个小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上. 12. 展开式中的第5项的系数为______． 【答案】240 【解析】 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】展开式通项公式为 所以展开式中的第5项的系数为． 13. 已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，，解得， 则抛物线的焦点，抛物线的焦点， 所以的面积. 14. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 四、解答题：本题有5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； 【小问2详解】 由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 16. OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：，其中. 【答案】（1） 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联． （2） 【解析】 【分析】（1）通过列联表数据补全表格，再利用卡方检验公式计算统计量，通过与临界值对比，判断出“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄存在显著关联，核心是卡方独立性检验的步骤应用． （2）以调查频率估计概率，先分别算出不同年龄段员工喜欢使用OpenClaw的概率，再利用对立事件的概率公式，求出两人中至少有 1 人喜欢使用的概率，关键是对立事件思想的运用． 【小问1详解】 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 根据卡方检验公式 ，代入： ， 由于 ，故拒绝原假设，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联． 【小问2详解】 设从不超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为 ，从超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为 ， 则两人中至少有1人喜欢使用的概率为：． 17. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值，并求的单调区间与极值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. 【小问2详解】 存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形. （1）求证：平面； （2）若M为棱的中点，求直线与平面所成角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知求出棱长，然后利用勾股定理证明，，然后可证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，用向量法直接计算可得. 【小问1详解】 ，则， 取中点为H，连接，，∵为等边三角形，∴，， 又，，平面，平面， ∴面，∴，H为中点，AH为PB的垂直平分线， ∴， ∴，∴，同理由，得， 又，平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 底面是是正方形，由（1）可知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则有B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，M(0，0，) 设平面的法向量为，∵，， 则有：， 取得，又有 设直线与平面所成角为，∴. 19. 已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）根据椭圆的性质，利用几何法求出，求出表达式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值，进而求出的最小值． 【小问1详解】 由题意，点，分别是椭圆左、右顶点，，故，得， 离心率，故，则， 故的方程为：． 【小问2详解】 由（1）知，，设在椭圆上，且， 则， 直线与交于点，则，解得， 直线与交于点，则，解得， 故， ，故， 又， 故， 令，求导得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 故在处取得最小值， ， 故， 当时，，即时，取得最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学业水平测试 高二年级数学 本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，使用0.5mm黑色签字笔，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，且满足是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（ ） A. 20 B. 60 C. 125 D. 243 6. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、选择题：本题有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 为等差数列 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 11. 设函数，则函数（ ） A. 最小正周期为 B. 最大值为3 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 三、填空题：本题有3个小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上. 12. 展开式中的第5项的系数为______． 13. 已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____. 14. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 四、解答题：本题有5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 16. OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：，其中. 17. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值，并求的单调区间与极值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形. （1）求证：平面； （2）若M为棱的中点，求直线与平面所成角 的正弦值. 19. 已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $