精品解析：河北邢台市2025-2026学年高二下学期期末学业水平调研数学试题

数学学业水平调研 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册占80%，集合、逻辑、不等式、函数占20%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查集合的交集和并集运算，解题的关键是先求出与的交集，再将所得交集与求并集. 【详解】，. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【详解】先判断命题的真假： 分式不等式等价于且，解得或， 恰好对应命题给出的取值范围， ∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题. 再判断命题的真假： 不等式化简得，即， ∵ ，∴ 不等式等价于，解得， 即当时，成立，例如取，，满足条件， ∴ ，成立，故为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题，A选项正确. 3. 展开式中第6项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】展开式中第6项的系数为. 4. 已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解. 【详解】因为是奇函数，所以. 又因为的图象关于直线对称， 所以. 已知，故， 所以. 5. 已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由随机变量，且， 得，所以. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 则由可得， 即，，所以， 因为在上单调递增，所以. 故不等式的解集为. 7. 已知球O的半径为3，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为，圆锥的高为，则，圆锥的体积，利用导数求得圆锥的体积的最大值. 【详解】设圆的半径为，圆锥的高为，则. 圆锥的体积， 令函数，则. 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以，故圆锥的体积的最大值为. 8. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（ ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，所以以4个拨号盘中的个数来分类讨论即可得出答案. 【详解】因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3， 所以4个拨号盘上的数字可分为以下情况： ①4个有，有种， ②个有，每种有种，共有：种， ③个有则有种，有种，共有种. ④个有，有种. 所以一共有：种. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为0 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于AB，，当且仅当时取等号，A正确，B错误； 对于CD，，当且仅当时取等号，D正确，C错误. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得是的极大值点 B. 若恰有1个零点，则b的取值范围为 C. 若是增函数，则b的取值范围为 D. 若的极小值大于0，则b的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义判断A；由函数零点个数求出范围判断B；利用给定单调性列出不等式求解判断C；利用极小值大于0列出不等式组求解判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，若是的极大值点，则，此方程无解， 因此不存在实数，使得是的极值点，A错误； 对于B，由，得或，由恰有1个零点， 得方程无实根，，解得， 因此b的取值范围为，B正确； 对于C，由是增函数，得，恒成立，则， 解得，因此b的取值范围为，C正确； 对于D，由的极小值大于0，得恰有1个零点，且方程有两个不等的正实根， 则，解得，因此b的取值范围为，D正确. 11. 在一个不透明的盒子中装有2个白球、1个红球，小球除颜色外其他均相同．随机从盒子中取出一个球，若取出红球，红球不放回，换一个白球放回，若取出白球，白球不放回，换一个红球放回，重复取球n次，在第n次取球时，记盒子中有0，1，2，3个白球的概率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据第二次取球时，盒子里至少都有一个白球即可求解；对于B，根据题意可知任意时刻盒子里白球数量只能是0,1,2,3其中一种即可判断；对于C，D选项，由题可得，令，，利用构造法即可求解. 【详解】对于A，表示第二次取球时，盒子里没有白球，根据题意，第二次取球时，盒子里至少都有一个白球，则,故A错误； 对于B，根据题意可知任意时刻盒子里白球数量只能是0,1,2,3其中一种，所以，故B正确； 对于C，D选项，当时，，，，， 若第次取球时盒子里没有白球，则第次取球时，盒子里只有1个白球，且第次取的是白球，则， 若第次取球时盒子里只有1个白球，则第次取球时，若盒子里没有白球，且第次取的是红球，若盒子里只有2个白球，且第取的是白球，则， 若第次取球时盒子里只有2个白球，则第次取球时，若盒子里有1个白球，且第次取的是红球，若盒子里只有3个白球，且第取的是白球，则， 若第次取球时盒子里只有3个白球，则第次取球时，若盒子里有2个白球，且第次取的是红球，则， 所以 令，，则 所以 即， 所以，所以是公比为的等比数列， 由于， 所以， 所以，故C正确； 所以，故D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 . 13. 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程，则_______． x 3 4 5 6 7 y 10 12 15 16 19 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 将代入回归方程，可得，解得. 14. 已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数为偶函数，将问题转化为函数有两个不同零点，由零点的意义分离参数并构造函数，再利用导数求解. 【详解】依题意，函数是上的偶函数， 由有四个不同的零点，得函数有两个不同零点， 由，得，显然，则，令， 依题意，直线与函数的图象有两个不同交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当时，，当时，， 因此当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且． （1）估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数； （2）假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望． 【答案】（1）5人 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率，进而估计人数. （2）由（1）的结论，利用超几何分布的期望公式求解. 【小问1详解】 由成绩近似服从正态分布，且， 得， 所以这100名学生中成绩在95分以上的学生人数约为. 【小问2详解】 由（1）得，100名学生中安全意识极高的学生共5人， 从100人中抽取20人，安全意识极高的人数服从超几何分布， 所以的期望. 16. 已知三对夫妻坐成一排照相． （1）求不同的排列数； （2）求每对夫妻两人均相邻的排列数； （3）求同性别的人均不相邻的排列数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据题设要求，选择捆绑法，插空法，特殊位置优先法，以及分步乘法，分类加法计数原理求解即得. 【小问1详解】 6人坐成一排，不同的排列数为； 【小问2详解】 要求每对夫妻均相邻，使用捆绑法，将每对夫妻看作1个整体，共得到3个整体， 则不同的排列数为； 【小问3详解】 要求同性别的人均不相邻，仅存在两种性别排列方式：男女男女男女；女男女男女男， 则不同的排列数为. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，再对参数分情况讨论即可得到单调性. （2）将条件转化为不等式恒成立问题，再构造函数，判断单调性求出最值即可证明结论. 【小问1详解】 . 当时，是减函数. 当时，令，解得. 当时，；当. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ，即. 令，则，所以. 因为在上单调递增，所以，即. 令 当时，；当. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 故的取值范围为. 18. 甲、乙、丙三人打羽毛球，约定：第一场甲、乙对打，丙轮空；每场对打的胜者与轮空者进行下一场对打，负者下一场轮空（在没有人连续打了3场的前提下）；若某人连续打了3场，则其下一场轮空，另外两人对打．设每场对打双方获胜的概率都为． （1）求第四场乙、丙对打的概率； （2）求第五场乙、丙对打的概率； （3）若甲、乙、丙三人共打了6场，其中甲参与了X场，求X的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）X的分布列为 3 4 5 期望为． 【解析】 【分析】（1）第四场乙、丙对打，即第四场甲轮空，有甲连胜三场，或第三场甲败两大类共3种情况分析，可得第四场乙、丙对打的概率； （2）第五场乙、丙对打，即第五场甲轮空，所以第四场甲一定参赛，且比赛失败，由此依次分析前三场的情况，即可求得第五场乙、丙对打的概率； （3）列出当第一场比赛甲胜出时，各场比赛的对战情况，结合比赛对甲乙的对称性，求得甲参赛的可能场数及其相应的概率，从而得到的分布列，并根据期望公式求得期望. 【小问1详解】 第四场乙、丙对打，即第四场甲轮空，共有3种情况： 第1种情况，甲连胜三场，概率为； 第2种情况，第一场甲胜，第二场甲胜，第三场甲败，概率为； 第3种情况，第一场甲败，第二场甲轮空、丙胜，第三场甲败，概率为. 所以第四场乙、丙对打的概率为. 【小问2详解】 第五场乙、丙对打，即第五场甲轮空， 共有3种情况： 第1种情况，第一场甲胜，第二场甲败丙胜，第三场甲轮空，乙丙对打，丙败，第四场甲败， 概率为； 第2种情况，第一场甲败，第二场甲轮空，丙胜，第三场甲胜，第四场甲败， 概率为； 第3种情况第一场甲败，第二场甲轮空，乙胜，第三场不论甲乙哪方胜出，乙已经连打三场， 所以第四场甲丙比赛，甲败， 概率为. 综上所述，第五场乙、丙对打的概率为. 【小问3详解】 若甲、乙、丙三人共打了6场， 当第一场比赛甲胜出时，各场对战情况如下： 括号内的一方代表该场比赛的胜方 丙参加场数 乙参加场数 甲参加场数 1 2 3 4 5 6 3 4 5 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（甲） 乙丙（乙） 甲乙（甲） 甲丙 3 4 5 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（甲） 乙丙（乙） 甲乙（乙） 甲丙 3 4 5 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（甲） 乙丙（丙） 甲丙（甲） 甲乙 4 4 4 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（甲） 乙丙（丙） 甲丙（丙） 乙丙 3 4 5 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（乙） 乙丙（乙） 甲乙（甲） 甲丙 3 4 5 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（乙） 乙丙（乙） 甲乙（乙） 甲丙 3 4 5 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（乙） 乙丙（丙） 甲丙（甲） 甲乙 4 4 4 甲乙 甲丙（甲） 甲乙（乙） 乙丙（丙） 甲丙（丙） 丙乙 3 4 5 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（乙） 甲乙（甲） 甲丙（甲） 甲乙 4 4 4 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（乙） 甲乙（甲） 甲丙（丙） 乙丙 4 4 4 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（乙) 甲乙（乙） 乙丙（乙） 甲丙 4 4 4 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（乙） 甲乙（乙） 乙丙（丙） 甲丙 4 3 5 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（丙） 丙甲（甲） 甲乙（甲） 甲丙 4 4 4 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（丙） 丙甲（甲） 甲乙（乙） 乙丙 4 3 5 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（丙） 丙甲（丙） 甲乙（甲） 甲丙 4 4 4 甲乙 甲丙（丙） 丙乙（丙） 丙甲（丙） 甲乙（乙） 乙丙 如果第一场比赛甲赢， 则甲共参加4场的情况有8种，参加5场的情况有8种； 乙参加3场的情况有2种，参加4场的情况有14种. 所以如果第一场比赛乙赢， 则乙共参加4场的情况有8种，参加5场的情况有8种； 甲参加3场的情况有2种，参加4场的情况有14种. 因此，若进行六场比赛， 甲参加3场的情况有2种，参加4场的情况有种，参加5场的情况有种. 所以X的取值可能是. ， ， ， 所以X的分布列为 3 4 5 所以期望为． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：当时，． （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）当时，不等式， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，因此当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 因此当时，，即， 所以当时，. （3）0 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数证得，再利用差值法证得即可. （3）利用导数按分段确定函数的单调性，进而求出最大值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的定义域为，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，函数在上单调递减，，而， 则当时，，函数在上单调递增； 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，，则，函数，即在上单调递减， ，函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，所以函数在处取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学业水平调研 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册占80%，集合、逻辑、不等式、函数占20%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 展开式中第6项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球O的半径为3，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（ ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为0 D. 的最小值为 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得是的极大值点 B. 若恰有1个零点，则b的取值范围为 C. 若是增函数，则b的取值范围为 D. 若的极小值大于0，则b的取值范围为 11. 在一个不透明的盒子中装有2个白球、1个红球，小球除颜色外其他均相同．随机从盒子中取出一个球，若取出红球，红球不放回，换一个白球放回，若取出白球，白球不放回，换一个红球放回，重复取球n次，在第n次取球时，记盒子中有0，1，2，3个白球的概率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 13. 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程，则_______． x 3 4 5 6 7 y 10 12 15 16 19 14. 已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且． （1）估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数； （2）假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望． 16. 已知三对夫妻坐成一排照相． （1）求不同的排列数； （2）求每对夫妻两人均相邻的排列数； （3）求同性别的人均不相邻的排列数． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 18. 甲、乙、丙三人打羽毛球，约定：第一场甲、乙对打，丙轮空；每场对打的胜者与轮空者进行下一场对打，负者下一场轮空（在没有人连续打了3场的前提下）；若某人连续打了3场，则其下一场轮空，另外两人对打．设每场对打双方获胜的概率都为． （1）求第四场乙、丙对打的概率； （2）求第五场乙、丙对打的概率； （3）若甲、乙、丙三人共打了6场，其中甲参与了X场，求X的分布列及期望． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：当时，． （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $