第一章 特殊平行四边形 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 特殊平行四边形 知识归纳与题型总结 题型01 认识特殊平行四边形 一、菱形 1．定义：如果一个平行四边形存在一组相邻边长相等，那么该图形即为菱形。 2．轴对称性：属于轴对称图形，一共具备两条对称轴；两条对称轴对应图形两条对角线所在的直线。 3．中心对称性：属于中心对称图形，两条对角线相交的交点是它的对称中心点；将图形围绕对称中心旋转 180 度后，能够和初始图形完全重合。 二、矩形 1．定义：平行四边形中只要存在一个内角为直角，这类图形就称作矩形。 2. 轴对称性：该图形属于轴对称图形，总计拥有两条对称轴；两条对称轴为经过对边中点的直线。 3. 中心对称性：该图形属于中心对称图形，两条对角线相交形成的交点为对称中心；将图形围绕对称中心旋转 180°，图形能够和自身完全重合。 3、 正方形 1．定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 轴对称性：该图形属于轴对称图形，共有4 条对称轴：两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线；沿任意一条对称轴对折，直线两侧部分能完全重合。 3. 中心对称性：该图形属于中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；绕对角线交点旋转 180°后，能与自身完全重合。 【典例1-1】如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 【详解】解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 【典例1-2】如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【典例1-3】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质与折叠性质，首先由求出，再由折叠性质得． 【详解】解：由矩形性质知， ， 由折叠性质知． 题型02 菱形的性质与判定 一、菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 二、菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 三、菱形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 【典例2-1】如图，在平行四边形中，点，是对角线上的点，且，连接，． (1)求证：； (2)若，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2)证明：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，即， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得到，再证明，则可证明四边形是平行四边形，进而可证明； （2）证明四边形是菱形，得到，则可证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【典例2-2】如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，则，即可得证； （2）利用菱形的性质和勾股定理，得出，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，，， ，，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 【典例2-3】如图，已知菱形的周长为，点，分别为，的中点，连结，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，通过证明是的中位线，得到． 【详解】∵菱形的周长为， ∴， ∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 题型03 矩形的性质与判定 1、 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 2、 直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点，则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 3、 矩形的判定 1．根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．根据对角线：对角线相等的四边形是矩形． 3．根据角：有三个角是直角的四边形是矩形． 【典例3-1】如图，在中，，于点，点在线段上，连接，，点是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中，，， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【典例3-2】如图，在中，，，分别是的中线和高，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积法得到，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，即可解答． 【详解】解：在中，， 是的中线， ， 是的高， ，即， ． 【典例3-3】如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．连接，根据矩形中心的性质可得，根据等边三角形和矩形的性质可得，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 点是矩形的中心， 点是对角线的中点，即， 是等边三角形， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得（负值舍去）． 故选：C． 题型04 正方形的性质与判定 1、 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 2、 正方形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2．根据邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形． 3．根据角：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．根据对角线： ①对角线相等的菱形是正方形． ②对角线互相垂直的矩形是正方形． ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 【典例4-1】如图，矩形的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)四边形是正方形，证明如下： 四边形是矩形， ，，， ，分别平分，， ，， ， 同理，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形； (2)2 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，分别平分，，由角平分线的定义可得，，从而可得，同理，，，即可证明出四边形是矩形，再证明得出，最后证明出，即可得证； （2）由（1）可得、均为等腰直角三角形，四边形是正方形，结合勾股定理计算得出，，从而可得，最后由正方形的面积公式计算即可得出结果. 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得、均为等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 【典例4-2】如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．以为斜边在上方作，使．若中，，大正方形的面积为26，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】延长交于点Q，可得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理可得，从而得到，由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∵大正方形的面积为26， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例4-3】四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 【答案】(1)证明：如图，连接， 点，，，分别为，，，边的中点， 和分别是和的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形 (2)四边形是菱形 【分析】（1）连接对角线，依据三角形中位线定理，得到、均平行且等于的一半，推出一组对边平行且相等，即可证出四边形为平行四边形； （2）先延长、交于，证是等边三角形，结合推出、，用证，得对角线，再利用三角形中位线定理，得、，等量代换得邻边，最后由(1)知是平行四边形，从而证明四边形为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点，连接、，如图： ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， 由（1）知，， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 一、选择题 1．如图1，正方形的边长为，为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由题意易得，，，由图象可知：当时，点在边上，且当点与点重合时，的面积为，当时，点在上，此时面积仍为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，， 由图象可知：当时，点在边上，且当点与点重合时，的面积为， 当时，点在上，此时面积仍为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 2．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 【答案】D 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，即，且点是梯子的中点， ∴， ∵梯子的长度为定值， ∴的长度为定值，即点和点的距离始终不变． 3．如图，在四边形中，，，点是的中点，点是的中点，点在上，，与交于点，，则的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明且，结合已知条件证明四边形是平行四边形，从而得到，再利用直角三角形斜边中线定理求出的长即可． 【详解】解：连接， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， ，点在上， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，点是的中点， ， ， ， ． 4．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．1.6 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由矩形的性质和折叠的性质推导角度之间的关系，进而得到，设点坐标，利用线段和差表示出的长度，之后利用勾股定理求出点坐标，最后结合点坐标求出所在直线的函数表达式． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 沿直线折叠， ， ， ． ，，设，则， 在中，． ， ，解得，即． 直线经过点，设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 所在直线的函数表达式为． 6．如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得点是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】在菱形中，为对角线与的交点， 是的中点， 为边上的高， ， 在中，是斜边上的中线， ． 7．如图，的对角线相交于点，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点，连接，．则下列说法一定正确的是（     ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当时，则， ∴四边形不一定是菱形、矩形，故A、B不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C符合题意；D不符合题意． 8．如图，在矩形中，对角线与交于点，，垂足为点，且平分，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，可证，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵， ∴， 平分， ，且，， ， ． 9．如图，在四边形中，平分，，点是边的中点，则的长为（     ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，根据角平分线的定义可得，进而根据中位线的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，证明，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵，平分 ∴， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中，是斜边的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 10．如图，将矩形向上翻折，折痕为，点的对应点为点，点的对应点为点，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据矩形和折叠的性质，可得，，再根据矩形的判定，可得四边形和是矩形，从而可得，，进而根据，列出方程，求出x的值，最后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，令，相交于点， 设，， 矩形向上翻折，折痕为， ，，，， ， ， ， 四边形和是矩形， ，，， ， ， ， ，解得， ， 在中，， 则的长为． 二、填空题 11．如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 12．如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点E、F．请添加一个条件____________________，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由角平分线知、，结合可得，即，即可得证． 【详解】解：当时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 13．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为，的长为，当的长为________时，是菱形． 【答案】 【分析】由菱形面积公式，解得，故． 【详解】解：由题意，若是菱形， 则的面积， ∵的面积为，的长为， ∴．解得． ∵四边形是菱形， ∴． 14．如图，菱形的两条对角线，交于点，点为的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形，对角线，交于点，，， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵在中，点为的中点， ∴． 15．如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接，于点N，过点E作的平行线交正方形的外角的平分线于点G，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若点E为中点，点P为直线上的一个动点，连接，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【分析】即可判断①；在上取点，使，连接，然后证明，再结合平行四边形的判定定理证明四边形 是平行四边形，即可判断③；先证明，在上取点，使，连接、，则 ，那么 ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为 的长，再由勾股定理求解最小值，即可判断④． 【详解】 四边形 是正方形 ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， 故结论①正确； 在上取点，使，连接，如图2， 四边形 是正方形 ， ，， ∴，， ∴， 平分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形，故结论③正确； ∵点E为中点，正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴ 在上取点，使， 如图3，连接、， 平分， ∴点 、是 关于直线的对称点，连接， ∴， ∴ ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为 的长， ∵正方形中，， ∴， 的最小值是 ，故结论④错误， 对于②，现有条件不足以证明，故②错误， ∴正确的有①③． 三、解答题 16．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的重心． 【答案】(1)如图所示，的垂直平分线即为所求： (2)如图所示，的重心O即为所求： 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）分别作出的边的中点，连接交于点O，则点O为的重心． 【详解】（1）略 （2）略 17．已知：如图所示，正方形中，与相交于点O，E、F分别是延长线上的点，且．求证： 【答案】证明：∵正方形中，与相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 【分析】由正方形的性质得到，则可证明，进而可证明，则可证明 【详解】略 18．如图，在四边形中，，，连接．若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 则有， ， 平行四边形是矩形． 【分析】首先证明四边形是平行四边形，再根据勾股定理求出，，的关系，从而判断出即可得出结论． 【详解】略 19．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师让同学们探究“中点四边形”的性质． 【操作发现】 如图1，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当原四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． 【拓展探究】 如图2，在矩形中，，，，，，分别是，，，的中点． (3)求四边形的面积． (4)若点是矩形内部一动点，连接，，，，则，，，的数量关系是_________． 【答案】(1)证明：如图，连接，． 在中，，分别是，的中点， ，．      在中，，分别是，的中点， ，．     ，． ∴四边形是平行四边形． (2)解：当原四边形对角线相等时，四边形是菱形．理由如下：     由（1）知，． ， ． ∵四边形是平行四边形, ∴四边形是菱形． (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的中位线的性质与平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的判定推导即可； （3）证明，互相垂直平分，进一步求解即可； （4）过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，根据题意，设，则由勾股定理，分别求得，可得 . 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，，交点为，连接． ∵矩形， ∴，，，，， ，，，分别是，，，的中点， ∴，， ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴，， 结合（1）（2）可得：四边形是菱形， ∴，互相垂直平分．     ∴，．     ∴四边形的面积． （4）解：过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ∴. 20．综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，根据折叠的性质得出，，即可求出； （2）根据折叠的性质可得，根据等边对等角得到，可知，根据30度角的性质及勾股定理求出，根据30度角的性质得到，即可求出； （3）作交于点H，可知四边形是矩形，进而证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据30度角的性质得到，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕， ， ∴， ∴是等边三角形， ， 由折叠的性质得：，， ∴， 即； （2）略； （3）解：如图，作交于点H，可知四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 特殊平行四边形 知识归纳与题型总结 题型01 认识特殊平行四边形 一、菱形 1．定义：如果一个平行四边形存在一组相邻边长相等，那么该图形即为菱形。 2．轴对称性：属于轴对称图形，一共具备两条对称轴；两条对称轴对应图形两条对角线所在的直线。 3．中心对称性：属于中心对称图形，两条对角线相交的交点是它的对称中心点；将图形围绕对称中心旋转 180 度后，能够和初始图形完全重合。 二、矩形 1．定义：平行四边形中只要存在一个内角为直角，这类图形就称作矩形。 2. 轴对称性：该图形属于轴对称图形，总计拥有两条对称轴；两条对称轴为经过对边中点的直线。 3. 中心对称性：该图形属于中心对称图形，两条对角线相交形成的交点为对称中心；将图形围绕对称中心旋转 180°，图形能够和自身完全重合。 3、 正方形 1．定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 轴对称性：该图形属于轴对称图形，共有4 条对称轴：两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线；沿任意一条对称轴对折，直线两侧部分能完全重合。 3. 中心对称性：该图形属于中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；绕对角线交点旋转 180°后，能与自身完全重合。 【典例1-1】如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【典例1-2】如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【典例1-3】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型02 菱形的性质与判定 一、菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 二、菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 三、菱形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 【典例2-1】如图，在平行四边形中，点，是对角线上的点，且，连接，． (1)求证：； (2)若，连接，．求证：四边形是菱形． 【典例2-2】如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【典例2-3】如图，已知菱形的周长为，点，分别为，的中点，连结，则的长为（     ）． A． B． C． D． 题型03 矩形的性质与判定 1、 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 2、 直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点，则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 3、 矩形的判定 1．根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．根据对角线：对角线相等的四边形是矩形． 3．根据角：有三个角是直角的四边形是矩形． 【典例3-1】如图，在中，，于点，点在线段上，连接，，点是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【典例3-2】如图，在中，，，分别是的中线和高，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【典例3-3】如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型04 正方形的性质与判定 1、 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 2、 正方形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2．根据邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形． 3．根据角：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．根据对角线： ①对角线相等的菱形是正方形． ②对角线互相垂直的矩形是正方形． ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 【典例4-1】如图，矩形的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，直接写出四边形的面积． 【典例4-2】如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．以为斜边在上方作，使．若中，，大正方形的面积为26，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【典例4-3】四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 一、选择题 1．如图1，正方形的边长为，为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 3．如图，在四边形中，，，点是的中点，点是的中点，点在上，，与交于点，，则的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．1.6 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，的对角线相交于点，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点，连接，．则下列说法一定正确的是（     ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 8．如图，在矩形中，对角线与交于点，，垂足为点，且平分，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 9．如图，在四边形中，平分，，点是边的中点，则的长为（     ） A．5 B．7 C． D． 10．如图，将矩形向上翻折，折痕为，点的对应点为点，点的对应点为点，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 12．如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点E、F．请添加一个条件____________________，使四边形为菱形． 13．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为，的长为，当的长为________时，是菱形． 14．如图，菱形的两条对角线，交于点，点为的中点，若，，则的长为________． 15．如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接，于点N，过点E作的平行线交正方形的外角的平分线于点G，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若点E为中点，点P为直线上的一个动点，连接，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题 16．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的重心． 17．已知：如图所示，正方形中，与相交于点O，E、F分别是延长线上的点，且．求证： 18．如图，在四边形中，，，连接．若，求证：四边形是矩形． 19．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师让同学们探究“中点四边形”的性质． 【操作发现】 如图1，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当原四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． 【拓展探究】 如图2，在矩形中，，，，，，分别是，，，的中点． (3)求四边形的面积． (4)若点是矩形内部一动点，连接，，，，则，，，的数量关系是_________． 20．综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $