第一章 特殊平行四边形【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的知识，以“平行四边形+特殊条件”为逻辑主线，通过定义-性质-判定的框架，结合韦恩图展示四边形关系，构建完整知识网络。 其亮点在于设置易混易错对比和分层练习题，如通过“对角线相等判定矩形”等陷阱辨析培养推理意识，例3用三种方法证明菱形发展创新思维。口诀总结和规范几何语言助力学生巩固，教师可利用其精准突破重难点。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 章末总结 第一章 特殊平行四边形 第一章 特殊平行四边形 全章知识点总结+经典习题 本章在普通平行四边形的基础上，拓展学习三种特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形。核心学习逻辑：普通平行四边形＋一个特殊条件＝特殊平行四边形。所有题型、证明、计算均围绕「性质正向运用、判定逆向证明」展开，是八年级几何重点、难点、必考内容。 一、核心知识点汇总（必背） 1. 矩形（1.3） 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 性质（比普通平行四边形多2条）： - 四个角都是90° - 对角线相等且互相平分 判定方法： - 平行四边形＋一个直角 → 矩形 - 平行四边形＋对角线相等 → 矩形 - 任意四边形＋三个直角 → 矩形 常见结论：矩形对角线平分相等，会出现等腰三角形；出现60°角可构造等边三角形，常用勾股定理计算边长、对角线。 2. 菱形（1.2） 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 性质（比普通平行四边形多2条）： - 四条边全部相等 - 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 判定方法： - 平行四边形＋邻边相等 → 菱形 - 平行四边形＋对角线垂直 → 菱形 - 任意四边形＋四条边相等 → 菱形 常见结论：有一个内角为60°的菱形，短对角线与邻边构成等边三角形；菱形面积=对角线乘积的一半。 3. 正方形（1.4） 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 性质：兼具平行四边形、矩形、菱形全部性质。四边相等、四角直角、对角线垂直、相等、互相平分且平分内角，对角线与边夹角为45°。 判定方法（三大核心）： - 矩形＋邻边相等 → 正方形 - 菱形＋一个直角 → 正方形 - 平行四边形＋对角线垂直且相等 → 正方形 二、易混易错对比（必考陷阱） 1. 对角线相等 ➜ 只能判定矩形（平行四边形前提下），不能判定菱形、正方形 2. 对角线垂直 ➜ 只能判定菱形（平行四边形前提下），不能判定矩形 3. 对角线垂直且相等 ➜ 平行四边形才是正方形，普通四边形不是 4. 矩形无四边相等、无对角线垂直；菱形无四角直角、无对角线相等 三、全章综合经典练习题 （一）选择题 1. 下列图形中，对角线一定相等的是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 普通平行四边形 D. 任意四边形 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角线垂直 C. 对角相等 D. 对角线相等 3. 既是矩形又是菱形的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 （二）填空题 1. 平行四边形添加条件________可变为矩形；添加条件________可变为菱形。 2. 正方形的对角线长为$$8\sqrt{2}$$，则边长为________。 3. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是________。 （三）证明计算题 1. 已知平行四边形ABCD，AC=BD，求证：四边形ABCD是矩形。 2. 已知平行四边形ABCD，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。 3. 已知矩形ABCD，AB=AD，求证：四边形ABCD是正方形。 四、参考答案与解析 （一）选择题 1.B 解析：矩形专属对角线相等；2.B 解析：菱形对角线垂直，矩形对角线不垂直；3.D 解析：正方形兼具矩形和菱形所有性质。 （二）填空题 1. 对角线相等（或一个内角为90°）；邻边相等（或对角线垂直） 2. 8 3. 正方形 （三）证明题 1. 证明：∵ABCD是平行四边形，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，得证。 2. 证明：∵ABCD是平行四边形，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证。 3. 证明：∵ABCD是矩形，∴四个角为直角，又AB=AD（邻边相等），根据邻边相等的矩形是正方形，得证。 五、全章总结口诀 平行四边是基础，直角变矩等边菱； 矩形对角等且平，菱形对角垂且分； 正方集满所有性，垂直相等四方正； 判定切记看前提，先定四边再补形。 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形的性质 菱形的判定 矩形的性质 矩形的判定 正方形的性质 正方形的判定 知识点1 特殊的平行四边形 1.定义： 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形。 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。 知识点1 特殊的平行四边形 2.四边形之间的关系 四边形 平行四边形 梯形 矩形 菱形 正方形 知识点1 特殊的平行四边形 3.菱形、矩形、正方形的对称性 图形 对称性 对称轴 对称轴条数 对角线所在直线 过对边中点的直线 对角线所在直线及过对边中点的直线 2条 2条 4条 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，BE=DF。 (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)AC交EF于点O，延长AC至点G，使EG=AE。求证:四边形AEGF是菱形。 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD//BC，AB//DC，∠BAD=90°，AB=AD， ∴ ∠B+∠BAD=180°， ∠D+∠BAD=180°， ∴ ∠B=∠D=90°。 ∵ BE=DF，AB=AD， ∴ △ABE≌△ADF(SAS)。 例1 证明:(2)∵四边形ABCD是正方形， ∴ BC=DC。 ∵ BE=DF， ∴ CE=CF， ∴点C在EF的垂直平分线上。 ∵ △ABE≌△ADF， ∴ AE=AF， ∴点A在EF的垂直平分线上， 如图，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC和CD上，BE=DF。(1)求证：△ABE≌△ADF。 (2)AC交EF于点O，延长AC至点G，使EG=AE。求证：四边形AEGF是菱形。 例1 ∴ AC垂直平分EF， ∴ EG=FG。 ∵ EG=AE， ∴ AF=EG，AE=FG， ∴四边形AEGF是平行四边形。 ∵ EG=AE， ∴四边形AEGF是菱形。 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，AC上的点，G是AB延长线上的点，且EF//CD， ∠BEG= ∠CDF。 求证：DF=EG。 证明:如图，连接BF。 ∵ AC所在直线是菱形ABCD的对称轴， ∴ ∠CDF=∠CBF，DF=BF。 ∵ ∠BEG=∠CDF， ∴ ∠BEG=∠CBF， ∴ BF//EG。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ DC//AB，又EF//CD， ∴ EF//BG， ∴四边形FBGE是平行四边形， ∴ BF=EG， ∴ DF=EG。 例2 知识点2 菱形的性质与判定 1.菱形的性质 定理1：菱形的四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD。 定理2：菱形的对角线互相垂直。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。 A C B D O 四边形 边 角 对角线 对称性 菱形 对边平行， 四条边相等 互相垂直平分 对角相等 中心对称图形， 轴对称图形 知识点2 菱形的性质与判定 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角。 (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。 1.菱形的性质 A C B D O 知识点2 菱形的性质与判定 2.菱形的面积 菱形的面积： 方法一：菱形的面积 = 底×高。 S菱形ABCD=BC·AE。 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半。 S菱形ABCD=AC·BD。 A B C D E O 知识点2 菱形的性质与判定 3.菱形的判定 判定方法 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形是菱形。 ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形。 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形。 知识点2 菱形的性质与判定 四条边 。 对角线互相 。 有一组邻边 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB 的平行线，交AC于点E，交AB于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 解：方法一 ∵DE//AC，DF//AB， ∴四边形AEDF为平行四边形。 ∵AD是△ABC的角平分线，　 ∴∠BAD=∠CAD， 又∵DE//AC， ∴∠EDA =∠FAD， ∴∠EDA =∠BAD ， ∴AE=DE， ∴四边形AEDF为菱形。 例3 知识点2 菱形的性质与判定 方法二 ∵AD是△ABC的角平分线，　 ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE//AC，DF//AB， ∴∠EDA =∠FAD，∠EAD =∠ADF， ∴∠EDA =∠EAD =∠ADF=∠FAD， ∴AE=DE，AF=DF。 ∵AD=AD，∴△AED≌△AFD， ∴AE=DE=AF=DF。 ∴四边形AEDF为菱形。 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB 的平行线，交AC于点E，交AB于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 解：方法三 连接EF。 ∵DE//AC，DF//AB， ∴四边形AEDF为平行四边形。 ∵AD是△ABC的角平分线，　 ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE//AC，DF//AB， ∴∠EDA =∠FAD，∠EAD =∠ADF， ∴∠EDA =∠EAD ，∠ADF=∠FAD， ∴AE=DE，AF=DF。 例3 知识点2 菱形的性质与判定 ∴EF垂直平分AD, ∴EF⊥AD， ∴四边形AEDF为菱形。 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是AB的 中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF。若 A′E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长。 解：情况一：如图，连接AC，过点E作EG⊥AD于点G。 在菱形ABCD中，AD=DC，DC∥AB， ∴∠DAC=∠DCA，∠CAB=∠DCA， ∴∠DAC=∠CAB=∠DAB＝30°。 当A′E∥AC时，∠CAE=∠A′EB＝30°， ∴∠AEA′=150°，∴∠AEF=∠A′EF=75°， ∴∠AFE=180°-∠DAB-∠AEF=45°， 例4 知识点2 菱形的性质与判定 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是AB的 中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF。若 A′E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长。 ∴∠GEF=90°-∠AFE=45°=∠AFE， ∴GF=GE, ∵点E是AB的中点，∴AE=AB=2， ∵∠DAB＝60°，∴∠GEA＝30°， ∴AG=AE=1，∴GE=, ∴AF=1+， ∴DF=3-。 例4 知识点2 菱形的性质与判定 情况二：如图，连接BD。 将△AEF沿EF折叠，点A落在AD上的A′处， ∴∠AA′E=∠BAD＝60°， 在菱形ABCD中，AD=AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°=∠AA′E， ∴将△AEF沿EF折叠，点A落在AD上的A′处时，A′E//BD， ∴DF=AD-AF=4-1=3。 知识点2 菱形的性质与判定 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是AB的 中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF。若 A′E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长。 例4 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，P是对角线BD上一动点。若M，N分别是边BC，CD的中点，求PM+PN的最小值。 如图，作点M关于BD的对称点Q，连接NQ，PQ。 由轴对称的性质，知PQ=PM， ∴PM+PN=PQ+PN。 根据两点之间线段最短，知PM+PN的最小值为QN的长。 由菱形的对称性及M是BC的中点，易知Q为AB的中点， ∴ AQ=AB。 ∵N为CD的中点， ∴DN= CD。 ∵四边形ABCD为菱形， 例5 知识点2 菱形的性质与判定 ∴ AB=CD， ∴ AQ=DN。 又∵ AQ//DN， ∴四边形AQND是平行四边形， ∴ AD=NQ。 ∵四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8， ∴ OA=3，OD=4，∠AOD=90°。 在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD== =5， ∴ QN=5，即PM+PN的最小值为5。 知识点2 菱形的性质与判定 知识点3 矩形的性质与判定 1.矩形的性质 定理1：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理2：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且 相等 互相平分且相等 四个角都是 直角 中心对称图形， 轴对称图形 知识点3 矩形的性质与判定 矩形的其他性质： 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 1.矩形的性质 A B D C O 知识点3 矩形的性质与判定 2.矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴□ABCD是矩形。 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 A B D C O 知识点3 矩形的性质与判定 有三个角是 。 对角线 。 有一个角是 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点3 矩形的性质与判定 3. 直角三角形斜边上中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO为AC上的中线， ∴BO=AC。 C B A O 如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，沿EF折叠，点B恰好与点D重合，点C落在点G处，求折痕EF的长度。 解：由折叠可知，∠DEF=∠BEF，DE=BE。 在矩形ABCD中，CD//AB ， ∴∠DFE=∠FEB，即∠DEF=∠DFE， ∴DF=DE=BE，设BE=x，则DE=DF=x，则AE=8-x。 在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2。 ∴62+(8-x)2=x2，解得x=，∴AE=。 过点E作EH⊥CD于点H， 在Rt△EHF中，HF2+HE2=EF2, ∴62+2=EF2，∴EF=。 H 知识点3 矩形的性质与判定 例6 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P。若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=( ) A.95° B.100° C.110° D.145° C 知识点3 矩形的性质与判定 例7 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE交于点E。 (1)求证:四边形CODE是矩形。 (2)若AB= ，CE=2DE，求四边形CODE的周长。 (1)证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形CODE是平行四边形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD， ∴∠COD=90°， ∴四边形CODE是矩形。 知识点3 矩形的性质与判定 例8 (2)解:由(1)知四边形CODE是矩形， ∴∠E=90°，DO=CE，CO=DE。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD。 在Rt△DCE中，CD²=CE²+DE²， 又AB=，CE=2DE， ∴ 5=4DE²+DE²，解得DE=1(负值已舍去)， ∴四边形CODE的周长为2(CE+DE)=6。 知识点3 矩形的性质与判定 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE交于点E。 (1)求证:四边形CODE是矩形。 (2)若AB= ，CE=2DE，求四边形CODE的周长。 例8 知识点4 正方形的性质与判定 1.正方形的性质 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD。 A B C D O 四边形 边 角 对角线 对称性 正方形 对边平行， 四条边都等 对角线互相垂直平分且相等 四个角都是 直角 中心对称图形， 轴对称图形 知识点4 正方形的性质与判定 1.正方形的性质 A B C D O 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 定义:顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 形状：中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 原四边形对角线关系 不相等 不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 图示 平行四边形 菱形 矩形 正方形 1.如图，四边形ABCD的两条对角线分别为AC 和BD，且满足AC⊥BD，AC·BD＝18，那么依次连接它的各边中点得到的四边形EFGH的面积为_______。 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F。求证：四边形CEDF是正方形。 解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CEDF是矩形。 ∵CD是△ABC的角平分线， 且DF⊥AC，DE⊥BC，　 ∴DF＝DE，　 ∴四边形CEDF是正方形。 3.如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG。求证:矩形DEFG是正方形。 证明:(1)如图，分别过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， 则∠EMF=∠ENC=∠DNE=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCN=90°， ∴四边形EMCN是矩形， ∴∠MEN=90°， ∵在矩形DEFG中， ∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF=90° -∠FEN。 由正方形的轴对称性可知∠DCA=∠BCA。 又∵ EM⊥BC，EN⊥CD， ∴ EM=EN。 在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠EMF，EN=EM，∠DEN=∠MEF， ∴ △DEN≌△FEM(ASA)， ∴ DE=EF。 又∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形。 3.已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG. 求证:矩形DEFG是正方形. 考点1 菱形的性质与判定 1. [2025内江] 按如下步骤作四边形 （如图）：（1）画；（2）以点 为 圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交 D A. B. C. D. ，于点，;（3）分别以点和点 为圆心，1个单位 长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，， .若 ，则 的度数是( ) 考试考法 40 【点拨】根据作图可得， 四边形 是菱形.， 又 ， . 返回 考试考法 41 2. 小颖买了一盏简单 而精致的吊灯（图①），其正面 的平面图如图②所示，四边形 （1）求证：四边形内部框架 为菱形; 是一个菱形外框架，对角线，相交于点 ，四边 形是其内部框架，且点，在上， . 考试考法 42 【证明】 四边形 是菱形， ,, . , . 四边形 是平行四边形. , 平行四边形 是菱形. 考试考法 43 （2）若，为 的 中点， ，求四边形 的周长. 考试考法 44 【解】, 是直角 三角形. 为的中点， . 四边形 是菱形， . 四边形 为菱形, . 考试考法 45 在中， , . 菱形的周长为 . 返回 考试考法 考点2 矩形的性质与判定 3. 如图，在矩形中，，垂足为 ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 47 4.如图，菱形的对角线，相交于点，过点 作 ，且，连接 . （1）求证：四边形 为矩形； 考试考法 48 【证明】 四边形 是菱形， ， . ， . , 四边形 是平行四边形. 又 ， 平行四边形 是矩形. 考试考法 49 （2）若，，求菱形 的面积. 【解】 四边形是菱形，， ， 菱形的面积 . 返回 考试考法 50 考点3 直角三角形斜边上的中线的性质 5.如图，在矩形中，点在边上，点是 的中点， ，，则 的长为_____. （第5题） 考试考法 51 $