第一章 特殊平行四边形 单元测试--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册“特殊的平行四边形”单元卷，聚焦矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过动态问题、跨图形综合题考查几何直观、推理能力和创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形判定（第2题）、菱形性质（第8题）、正方形综合（第10题）|结合坐标系（第3题）、运动轨迹（第4题），考查空间观念| |填空题|5/20|矩形动态最值（第11题）、菱形对角线计算（第13题）、正方形中垂线应用（第15题）|设置探究性问题（第15题），发展创新意识| |解答题|5/50|菱形与矩形综合证明（第17题）、正方形平移探究（第20题）|多问分层设计（第20题含结论探究与证明），强化推理能力|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 特殊的平行四边形 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第一章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（     ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 2．四边形对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合矩形的判定定理，逐一分析选项即可得到答案． 【详解】∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形。 A选项：是平行四边形本身具有的性质，不能判定平行四边形为矩形，错误． B选项：，∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴可以判定四边形是矩形，正确． C选项：，邻边相等的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，错误． D选项：，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，错误． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合轴可证平分；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长及点的坐标；根据矩形中心对称性求出点坐标；利用三角形面积公式求出矩形面积，逐项判断即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，且在轴上， ∴为矩形对角线交点， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴，即平分，故A正确； ∵，； ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，故B正确； ∵，，点在第一象限， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴，故C错误， ∵，故D正确. 4．如图（1），在菱形中，点从点出发，以的速度依次沿着边，，运动、到达点停止运动．设点运动的时间为（单位：）、的面积为（单位：），与之间的关系如图（2）所示，则菱形的较短的对角线的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图2可得点到达点时，，得出，连接交于点，则，根据菱形的性质可得，根据勾股定理可得，根据完全平方公式变形求得，，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：根据图2可得点到达点时，， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴ 如图，连接交于点，则， 设， ∴ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∵， ∴① ∵ ∴② 联立①②解得： ∴ 5．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 6．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 7．如图，动点H以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图②所示，若，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图②中点及，可得矩形另一边的长度，进而根据纵坐标为的点判断出动点所在的位置，求得相应的的面积即为的值． 【详解】解：观察图②可得：当点运动到点时，运动路程为，运动时间为秒， ∵动点以每秒的速度运动， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵观察图①、②可知， 当在上运动时，， 当在上运动时，， 当在上运动时，， ∴观察图②，即当在上运动时，不变，即． 8．如图，在菱形中，E，F分别在，上，且，与相交于点O，连结．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再求得，，根据菱形的性质及等腰三角形的性质证得即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， ， =， ， ， ， ， 9．如图，矩形的对角线，交于点O，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，过E作于，根据矩形和等腰直角三角形的性质得到，设，则可求出的度数，利用等腰三角形的性质求出的度数，进而求出的度数；利用反证法，易得到不等于，据此判断与的关系；利用勾股定理分别表示出和，设，则、，据此化简计算得出；根据矩形的性质结合，易证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，进而将、、转化到同一线段上，据此判断即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 、， 是等腰直角三角形、点是的中点， 、、、， 设， ， ， 、， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 若，则，即， 此时，显然不存在， 即不可能等于， 与不平行， 故②错误； 过E作于， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则、， 、， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 故③正确； ， ， ， 四边形是矩形， 、， 由结论①知， ， 是等腰直角三角形， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 10．如图，将两张宽为2的矩形交叉放置，交点分别为，，，，，则重叠部分四边形的周长是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据矩形的性质判定四边形为平行四边形，再根据两张矩形宽度相等证明其为菱形；接着利用菱形的性质和勾股定理求出边长，最后计算周长． 【详解】解：两张纸条均为矩形， ，， 四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点． 矩形宽度为， ． ， ， 四边形是菱形． ，， ． 在中，，， ∴，， ∴由勾股定理得， ． 菱形的周长为． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在中，，，，P是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为E、F，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】如图，连接，先证明四边形是矩形，由矩形性质得到，当时，线段最小，即最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ， ∴四边形是矩形， ， 是定点、是线段上的一个动点， 当时，线段最小，即最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 12．如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若，．则______________________ 【答案】 【分析】因为是等腰三角形，是高线，所以根据等腰三角形三线合一，可确定是中点，得到的长度．因为是中线，所以是中点，利用直角三角形斜边中线定理，先通过勾股定理求出的长度，再得到的长度． 【详解】解：∵，是的高线， ∴，且，是直角三角形， ∴， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴． 13．如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，连接，若，，则________ 【答案】 【分析】利用斜边的中线等于斜边的一半可求，根据菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理即可求． 【详解】解：∵，为中点， 在中，， ∴．又，菱形对角线互相垂直平分， ∴． 14．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质得到是的中点，利用三角形中位线定理证明，进而得到，通过计算线段长度证明是的中点，利用直角三角形斜边上的中线性质求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 四边形是平行四边形，对角线，交于点， 是的中点， 是的中位线， ， ． ，是的中点， ． ， ， ， ，即是的中点． 在中，是斜边上的中线， ． 15．已知中，．，过点C作于点O，点D是射线上一动点，在的中垂线上取一点E（点E在下方），连接，并延长至点F，使得，，连接、、，当时，的度数等于___． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形内角和为，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及等量代换推导即可． 【详解】解：．， ， ， ，， 点E在的中垂线上， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ，， 如图，连接，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，解得， ． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形． 【分析】直接利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，再利用矩形的性质以及菱形的判定方法得出答案． 【详解】略 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接，，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵在菱形中，对角线，相交于点， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； (2)2 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）由菱形的性质和矩形的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， ∴． 18．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，矩形的对角线交线段于点O，连接，，，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)20 【分析】（1）根据矩形的性质得到，则；根据，可证明四边形是平行四边形，再根据平分，等量代换，推出，据此可证明结论； （2）可证明为的中点，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理求出的值，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∵与交于点O， ∴为的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 19．如图，在中，点E、F分别是、的中点，过点F作，垂足为D，点M在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：点E、F分别是、的中点， 是的中位线， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； (2)15 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，进而得出四边形是平行四边形，再结合垂直得到直角，即可得证； （2）由三角形中位线定理可得，设，在中，利用勾股定理列方程求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：点E、F分别是、的中点， 是的中位线，， ， 设，则， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 解得：，即， ． 20．已知正方形，点、分别在、上 (1)若． ①如图1，点是的中点，与的数量关系是____________； ②如图2，点在上，满足，求证：； (2)如图3，若，将向右平移到得到矩形．射线交于点，交于点O，当，且是中点时，直接写出的值是____________． 【答案】(1)①； ②证明：延长至M，使，连接，延长交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，延长至I，使，连接并延长至点K，使，可知是的中位线，即，，，得到，证明，即可求出与的数量关系； ②延长至M，使，连接，延长交于点N，则，证明，得到，证明，得到，进而得到，可知，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可证明； （2）根据正方形的性质得到，，，证明，得到，进而可知，连接，根据等边对等角得到，则，根据矩形的性质证明，根据可知，取，连接，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质求出，可知，设，则，，可知，即可求出的值． 【详解】（1）①解：∵正方形， ∴，， 如图，延长至I，使，连接并延长至点K，使，连接， 可知是的中位线， 即，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略； （2）解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 取，连接， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 特殊的平行四边形 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第一章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（     ）． A．4 B．6 C．8 D．10 2．四边形对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 4．如图（1），在菱形中，点从点出发，以的速度依次沿着边，，运动、到达点停止运动．设点运动的时间为（单位：）、的面积为（单位：），与之间的关系如图（2）所示，则菱形的较短的对角线的长是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，动点H以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图②所示，若，则m的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，E，F分别在，上，且，与相交于点O，连结．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，矩形的对角线，交于点O，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，将两张宽为2的矩形交叉放置，交点分别为，，，，，则重叠部分四边形的周长是（） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在中，，，，P是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为E、F，则的最小值是_________． 12．如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若，．则______________________ 13．如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，连接，若，，则________ 14．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为__________． 15．已知中，．，过点C作于点O，点D是射线上一动点，在的中垂线上取一点E（点E在下方），连接，并延长至点F，使得，，连接、、，当时，的度数等于___． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．求证：四边形是菱形． 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接，，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 18．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，矩形的对角线交线段于点O，连接，，，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 19．如图，在中，点E、F分别是、的中点，过点F作，垂足为D，点M在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 20．已知正方形，点、分别在、上 (1)若． ①如图1，点是的中点，与的数量关系是____________； ②如图2，点在上，满足，求证：； (2)如图3，若，将向右平移到得到矩形．射线交于点，交于点O，当，且是中点时，直接写出的值是____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $