2.3 有理数的乘除运算（十一大题型）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以12类题型构建有理数乘除运算训练体系，从基础运算到实际应用，层层递进培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型一至五（1-15题）|含新定义运算、运算律辨析，覆盖乘法法则、倒数概念|从两个有理数乘法到多个有理数乘法，结合运算律形成完整运算方法链| |应用拓展|题型六至十（16-30题）|包含行程、工程、阶梯收费等实际问题，结合除法应用|以实际情境为载体，体现运算的工具性，强化模型意识| |综合提升|题型十一至十二（31-36题）|数轴上数的位置判断、翻折问题，融合数形结合|从数的运算过渡到形的分析，深化符号意识与几何直观|

2.3 有理数的乘除运算 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 2．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 题型二 多个有理数的乘法运算 4．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 5．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 6．不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 【答案】(1)负 (2)正 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算．通过计数每个表达式中负因数的个数来确定乘积的符号．负因数个数为奇数时，积为负；为偶数时，积为正． （1）根据负因数个数为3即可判断． （2）根据负因数个数为2即可判断． 【详解】（1）解：式子中有三个负因数：、、， 负因数个数为3，是奇数， 所以积为负． （2）解：式子中有两个负因数：、， 负因数个数为2，是偶数， 所以积为正． 题型三 有理数乘法运算的实际运算 7．某酒店想将10个无障碍停车位设置在酒店入口附近，准备规划每个停车位的长度为6米，宽度为2米，并且停车位旁设置宽度为1米的下车区，相邻的停车位可以共享下车区．若以下图的方式让这些停车位相邻，且两个相邻的停车位之间皆有下车区，则图中的停车位及下车区的总宽度是（   ） A．29 B．30 C．69 D．80 【答案】A 【分析】图中共有10个停车位，9个下车区，计算它们的总宽度即可． 【详解】解：（米）． 8．某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【答案】2458 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键． 根据阶梯电价标准，年用电量5000度超过4700度，需分三部分计算电费：3000度及以下部分、超过3000度但不超过4700度部分、超过4700度部分． 【详解】解：第一阶梯电费为元； 第二阶梯电费为元； 第三阶梯电费为元； ∴总电费为元． 故答案为： 9．焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【答案】(1)在地的南方，相距千米 (2)共耗油升 (3)需要加油，至少升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用． （1）把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米． （2）绝对值相加，乘以每千米耗油量即可． （3）总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量. 【详解】（1）解： （千米） 答：在地的南方，相距千米． （2）解：（千米） （升） 答：这天共耗油升． （3）解： ， （升） 答：需要加油，至少升. 题型四 倒数 10．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 11．有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 12．如图是一个几何体表面的展开图． (1)这个几何体的名称是______； (2)图中的展开图经过折叠围成几何体后，数“a”与其相对面上的数互为相反数，数“b”与其相对面上的数互为倒数，求的值． 【答案】(1)正方体 (2) 【分析】本题考查了正方体展开图的识别，正方体相对面的确定，倒数、相反数的定义及代数式求值． （1）根据题意可得这个几何体是正方体； （2）根据题意求得a，b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得这个几何体的名称是正方体， 故答案为：正方体． （2）解：根据展开图可得：，， 解得，， ∴． 题型五 有理数乘法运算律 13．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 14．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 15．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 题型六 有理数的除法运算 16．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 17．计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．2025年10月19日吉水金滩十里画廊半程马拉松比赛圆满谢幕．前一天一辆巡逻车在沿江路上负责巡查路况．如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下：，． (1)当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离多少千米？此时，巡逻车在出发地点的南面还是北面？ (2)若车辆每100千米耗油5升，每升油需要8元，问这天下午的行程需要花费多少油钱？ 【答案】(1)当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离为2千米，此时，巡逻车在出发地点的北面； (2)这天下午的行程需要花费48元油钱． 【分析】本题考查了正负数的应用，乘除混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义，进行列式计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， 即当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离为2千米，此时，巡逻车在出发地点的北面； （2）解： （元）， 即这天下午的行程需要花费48元油钱． 题型七 有理数除法的应用 19．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 20．龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 21．为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 【答案】(1)162次 (2)总积分为56分 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的混合运算，掌握平均数的计算方法以及有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据积分规则计算得分即可． 【详解】（1）解： （次）． （次）． 答：七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳162次． （2）解：方法1： （分）． 方法2：（分）． 答：七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分为56分． 题型八 有理数乘除混合运算 22．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 23．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 有理数四则混合运算 25．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 26．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 27．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 28．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 【详解】解：4 筐萝卜的总质量为千克． 29．体育课上七年级某班女生进行了国标800米测试，达标成绩为4分26秒．下面是某小组8名女生的成绩记录（单位：秒）：，，，，，，，，其中“”号表示成绩多于4分26秒．“”号表示成绩少于4分26秒．该小组女生的平均成绩为________． 【答案】4分23秒 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，求出成绩记录的平均数，再加上4分26秒，即可得出结果． 【详解】解：（秒）； （秒）； 故该小组女生的平均成绩为4分23秒； 故答案为：4分23秒 30．某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东为正，向西为负，一天中的行驶记录如下（单位：）：，，，，，， (1)收工时，检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若每千米耗油0.1升，则这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)检修小组在A地的东边，距离地 (2)5.6升 【分析】（1）求出各数的代数和，再利用正负数的意义解答即可； （2）先求出各数的绝对值的和，再根据每千米耗油0.1升，计算这一天的总耗油量． 【详解】（1）解：， 故检修小组在A地的东边，距离地； （2）解：， 耗油：（升）， 答：这一天共耗油5.6升． 题型十一 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 31．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的特点，数形结合确定代数式的符号，由此即可求解． 【详解】解：由数轴可知：，B选项正确，不符合题意； ∴，A选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 32．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 33．已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、倒数的定义、有理数的运算； （1）由数轴可得，，，即可得出答案； （2）的倒数为，再将表示在数轴上即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，． 故答案为：；； （2）解：的倒数为， 在数轴上表示如图所示； （3）解：∵ ∴， 即点在数轴上表示的数是． 题型十二 数轴上的翻折 34．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴翻折问题，解题的关键是理解翻折点是两对称点的中点． 首先判断出的位置，结合的长度以及翻折的特性，判断出或的长度，通过点或点A的位置，即可判断出点C所表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数为9，且在点B的右边， ∴表示的数为12， ∴， 根据翻折的性质，点C为的中点， ∴， 因为表示的数为12，C在的左边， ∴C表示的数为． 故选D． 35．如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 36．已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出点表示的数，再结合折叠性质求出点A表示的数； （2）先求出的长度，再根据折叠性质求出的长度． 【详解】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘除运算 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 2．计算： ______． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 题型二 多个有理数的乘法运算 4．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 6．不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 题型三 有理数乘法运算的实际运算 7．某酒店想将10个无障碍停车位设置在酒店入口附近，准备规划每个停车位的长度为6米，宽度为2米，并且停车位旁设置宽度为1米的下车区，相邻的停车位可以共享下车区．若以下图的方式让这些停车位相邻，且两个相邻的停车位之间皆有下车区，则图中的停车位及下车区的总宽度是（   ） A．29 B．30 C．69 D．80 8．某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 9．焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 题型四 倒数 10．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．有理数的倒数为_____________． 12．如图是一个几何体表面的展开图． (1)这个几何体的名称是______； (2)图中的展开图经过折叠围成几何体后，数“a”与其相对面上的数互为相反数，数“b”与其相对面上的数互为倒数，求的值． 题型五 有理数乘法运算律 13．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 14．计算的结果是________． 15．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 题型六 有理数的除法运算 16．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 17．计算：________． 18．2025年10月19日吉水金滩十里画廊半程马拉松比赛圆满谢幕．前一天一辆巡逻车在沿江路上负责巡查路况．如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下：，． (1)当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离多少千米？此时，巡逻车在出发地点的南面还是北面？ (2)若车辆每100千米耗油5升，每升油需要8元，问这天下午的行程需要花费多少油钱？ 题型七 有理数除法的应用 19．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 20．龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 21．为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 题型八 有理数乘除混合运算 22．（     ） A．2 B． C．1 D．4 23．计算：________． 24．计算： (1) (2) 题型九 有理数四则混合运算 25．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 26．定义新运算，则______________． 27．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 28．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 29．体育课上七年级某班女生进行了国标800米测试，达标成绩为4分26秒．下面是某小组8名女生的成绩记录（单位：秒）：，，，，，，，，其中“”号表示成绩多于4分26秒．“”号表示成绩少于4分26秒．该小组女生的平均成绩为________． 30．某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东为正，向西为负，一天中的行驶记录如下（单位：）：，，，，，， (1)收工时，检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若每千米耗油0.1升，则这一天共耗油多少升？ 题型十一 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 31．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 32．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 33．已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 题型十二 数轴上的翻折 34．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 35．如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 36．已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $